Закон всемирного тяготения

 

 Закон  всемирного тяготения объясняет  механическое устройство Солнечной  системы, и законы Кеплера,  описывающие траектории движения  планет, могут быть выведены из  него. Для Кеплера его законы  носили чисто описательный характер  — ученый просто обобщил свои  наблюдения в математической форме, не подведя под формулы никаких теоретических оснований. В великой же системе мироустройства по Ньютону законы Кеплера становятся прямым следствием универсальных законов механики и закона всемирного тяготения. То есть мы опять наблюдаем, как эмпирические заключения, полученные на одном уровне, превращаются в строго обоснованные логические выводы при переходе на следующую ступень углубления наших знаний о мире.

 

 Ньютон первый высказал мысль  о том, что гравитационные силы  определяют не только движение  планет Солнечной системы; они  действуют между любыми телами  Вселенной. Одним из проявлений  силы всемирного тяготения является  сила тяжести - так принято  называть силу притяжения тел к Земле вблизи ее поверхности.

 

 Если M – масса Земли, RЗ –  ее радиус, m – масса данного  тела, то сила тяжести равна

 

 

 

 

9

 

 где g – ускорение свободного  падения;

 

 у поверхности Земли

 

 

 

 

 Сила тяжести направлена  к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения.

 

 Среднее значение ускорения  свободного падения для различных  точек поверхности Земли равно  9,81 м/с2. Зная ускорение свободного  падения и радиус Земли (RЗ  = 6,38·106 м), можно вычислить массу Земли

 

 

 Картину устройства солнечной  системы, вытекающую из этих  уравнений и объединяющую земную  и небесную гравитацию, можно  понять на простом примере.  Предположим, мы стоим у края  отвесной скалы, рядом пушка  и горка пушечных ядер. Если просто сбросить ядро с края обрыва по вертикали, оно начнет падать вниз отвесно и равноускоренно. Его движение будет описываться законами Ньютона для равноускоренного движения тела с ускорением g. Если теперь выпустить ядро из пушки в направлении горизонта, оно полетит — и будет падать по дуге. И в этом случае его движение будет описываться законами Ньютона, только теперь они применяются к телу, движущемуся под воздействием силы тяжести и обладающему некой начальной скоростью в горизонтальной плоскости. Теперь, раз за разом заряжая в пушку всё более тяжелое ядро и стреляя, вы обнаружите, что, поскольку каждое следующее ядро вылетает из ствола с большей начальной скоростью, ядра падают всё дальше и дальше от подножия скалы.

 

 Теперь представим, что мы  забили в пушку столько пороха, что скорости ядра хватает, чтобы облететь вокруг земного шара. Если пренебречь сопротивлением воздуха, ядро, облетев вокруг Земли, вернется в исходную точку точно с той же скоростью, с какой оно изначально вылетело из пушки. Что будет дальше, понятно: ядро на этом не остановится и будет и продолжать наматывать круг за кругом вокруг планеты.

 

 Иными словами, мы получим  искусственный спутник, обращающийся  вокруг Земли по орбите, подобно  естественному спутнику — Луне.

 

 Так поэтапно мы перешли от описания движения тела, падающего исключительно под воздействием «земной» гравитации (ньютоновского яблока), к описанию движения спутника (Луны) по орбите, не изменяя при этом природы гравитационного воздействия с «земной» на «небесную». Вот это-то прозрение и позволило Ньютону связать воедино считавшиеся до него различными по своей природе две силы гравитационного притяжения.

10

 

 При удалении от поверхности  Земли сила земного тяготения  и ускорение свободного падения  изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния r до центра Земли. Примером системы двух взаимодействующих тел может служить система Земля–Луна. Луна находится от Земли на расстоянии rЛ = 3,84·106 м. Это расстояние приблизительно в 60 раз превышает радиус Земли RЗ. Следовательно, ускорение свободного падения aЛ, обусловленное земным притяжением, на орбите Луны составляет

 

 

 

 

 С таким ускорением, направленным  к центру Земли, Луна движется  по орбите. Следовательно, это  ускорение является центростремительным  ускорением. Его можно рассчитать по кинематической формуле для центростремительного ускорения

 

 

 где T = 27,3 сут – период  обращения Луны вокруг Земли.

 

 Совпадение результатов расчетов, выполненных разными способами,  подтверждает предположение Ньютона  о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести.

 

 Собственное гравитационное  поле Луны определяет ускорение  свободного падения gЛ на ее  поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а  ее радиус приблизительно в  3,7 раза меньше радиуса Земли.

 

 Поэтому ускорение gЛ определится выражением

 

 

 В условиях такой слабой  гравитации оказались космонавты, высадившиеся на Луне. Человек  в таких условиях может совершать  гигантские прыжки. Например, если  человек в земных условиях  подпрыгивает на высоту 1 м, то на Луне он мог бы подпрыгнуть на высоту более 6 м.

 

 Рассмотрим вопрос об искусственных  спутниках Земли. Искусственные  спутники Земли движутся за  пределами земной атмосферы, и  на них действуют только силы  тяготения со стороны Земли.

 

 В зависимости от начальной скорости траектория космического тела может быть различной. Рассмотрим случай движения искусственного спутника по круговой околоземной орбите. Такие спутники летают на высотах порядка 200–300 км, и можно приближенно принять расстояние до центра Земли равным ее радиусу RЗ. Тогда центростремительное ускорение спутника, сообщаемое ему силами тяготения,

11

 

приблизительно равно ускорению  свободного падения g. Обозначим скорость спутника на околоземной орбите через  υ1 – такая скорость называют первой космической скоростью. Используя кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получим

 

 

 

 

 Двигаясь с такой скоростью,  спутник облетал бы Землю за  время

 

 

 

 На самом деле период обращения  спутника по круговой орбите  вблизи поверхности Земли несколько превышает указанное значение из-за отличия между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли. Движение спутника можно рассматривать как свободное падение, подобное движению снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу Земли.

 

 Для спутников, движущихся  по круговым траекториям на  значительном удалении от Земли,  земное притяжение ослабевает  обратно пропорционально квадрату  радиуса r траектории. Таким образом, на высоких орбитах скорость движения спутников меньше, чем на околоземной орбите.

 

 Период обращения спутника  растет с увеличением радиуса  орбиты. Нетрудно подсчитать, что  при радиусе r орбиты, равном приблизительно 6,6 RЗ, период обращения спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом обращения, запущенный в плоскости экватора, будет неподвижно висеть над некоторой точкой земной поверхности. Такие спутники используются в системах космической радиосвязи. Орбита с радиусом r = 6,6 RЗ называется геостационарной.

 

 Второй космической скоростью  называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому  кораблю у поверхности Земли,  чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный  спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

 

 Рисунок 5 иллюстрирует космические  скорости. Если скорость космического  корабля равна υ1 = 7.9·103 м/с и  направлена параллельно поверхности  Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ1, но меньших υ2 = 11,2·103 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

 

12

 

 

Рисунок 5 - Космические скорости

 

 

 Указаны скорости вблизи  поверхности Земли: 1) υ = υ1 –  круговая траектория;

 

2) υ1 < υ < υ2 – эллиптическая  траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно  вытянутый эллипс;

 

4) υ = υ2 – параболическая траектория; 5) υ > υ2 – гиперболическая траектория;

 

6) траектория Луны

 

 Таким образом, мы выяснили, что все движения в Солнечной  системе подчиняются закону всемирного  тяготения Ньютона.

 

 Исходя из малой массы  планет и тем более прочих  тел Солнечной системы, можно приближенно считать, что движения в околосолнечном пространстве подчиняются законам Кеплера.

 

 Все тела движутся вокруг  Солнца по эллиптическим орбитам,  в одном из фокусов которых  находится Солнце. Чем ближе к  Солнцу небесное тело, тем быстрее его скорость движения по орбите (планета Плутон, самая далекая из известных, движется в 6 раз медленнее Земли).

 

 Тела могут двигаться и  по разомкнутым орбитам: параболе  или гиперболе. Это случается  в том случае, если скорость  тела равна или превышает значение второй космической скорости для Солнца на данном удалении от центрального светила. Если речь идет о спутнике планеты, то и космическую скорость надо рассчитывать относительно массы планеты и расстояния до ее центра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

3 Искусственные спутники Земли

 

 

4 октября 1957 г. - Выведен на орбиту 1-й искусственный спутник Земли

 

3 ноября 1957 года - запущен 2-й ИСЗ  с собакой Лайкой на борту

 

15 мая 1958 года запущен 3-й ИСЗ  с научной аппаратурой

 

2 января 1959 года запуск космической станции «Луна». Достигнута вторая космическая скорость

 

12 февраля 1961 года вышла за  пределы земного притяжения автоматическая  межпланетная станция «Венера-1»

 

Космическая скорость 

Значение

 

км/с 

Вид траектории 

Движение

 

тела

 

Первая 

7,9 

окружность 

Спутник Земли

 

 

11,2>v>7,9 

эллипс 

 

 

Вторая 

11,2 

парабола 

Покидает пределы Солнечной  системы

 

  

> 11,2 

гипербола 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

М – масса Земли

 

m – масса спутника

 

R – радиус Земли

 

h – высота спутника над поверхностью  Земли 

 

 

 

 

 

 

 Вывод: Скорость спутника зависит от его высоты над поверхностью Земли. Скорость не зависит от массы спутника

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

Заключение

 

 

 Итак, в данной работе мы  рассмотрели тему: Закон всемирного  тяготения.

 

 Закон всемирного тяготения  был установлен Исааком Ньютоном путем обобщения результатов, полученных известными астрономами ранее. Важную роль сыграли закономерности движения планет, обнаруженные немецким астрономом И.Кеплером в результате обработки астрономических наблюдений информации датского астронома Тихо Браге. Кеплер сформулировал их в виде трех законов.

 

1. Все планеты движутся по  эллипсам, в одном из фокусов  которых находится Солнце.

 

2. Площади, описываемые радиусами-векторами  планет за одно и то же  время, равны.

 

3. Отношение квадратов периодов обращения планет вокруг Солнца равно отношению кубов больших полуосей их орбит.

 

 Ньютон выдвинул предположение,  что между любыми телами в  природе существуют силы взаимного  притяжения. Эти силы называют  силами гравитации, или силами  всемирного тяготения. Сила всемирного тяготения проявляется в Космосе, Солнечной системе и на Земле. Ньютон обобщил законы движения небесных тел и выяснил, что сила F равна:

 

 

 

 

 Ньютон закон тяготения вывел  в своём основном труде «Математические  начала натуральной философии», и показал, что:

 

наблюдаемые движения планет свидетельствуют  о наличии центральной силы;

 

обратно, центральная сила притяжения приводит к эллиптическим (или гиперболическим) орбитам.

 

 В результате данный закон  звучит следующим образом: между  любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки.

 

 Теория Ньютона, в отличие  от гипотез предшественников, имела ряд существенных отличий. Ньютон опубликовал не просто предполагаемую формулу закона всемирного тяготения, но фактически предложил целостную математическую модель:

 

закон тяготения;

 

закон движения (второй закон Ньютона);

 

система методов для математического исследования (математический анализ).

16

 

 В совокупности эта триада  достаточна для полного исследования  самых сложных движений небесных  тел, тем самым создавая основы  небесной механики. До Эйнштейна  никаких принципиальных поправок  к указанной модели не понадобилось, хотя математический аппарат оказалось необходимым значительно развить.

 

 В дальнейшем мы убедились,  что законы Кеплера и закон  тяготения Ньютона имеют всемирный  характер, причем закон всемирного  тяготения не только является  основным законом небесной механики, но и играет решающую роль в анализе различных космогонических и космологических процессов.