Закон всемирного тяготения

Исаак Ньютон смог объяснить  движение тел в космическом пространстве с помощью закона всемирного тяготения. Ньютон пришел к своей теории в  результате многолетних исследований движения Луны и планет.

Закон всемирного тяготения.

Если m1 и m2 – массы двух точечных тел, а r – расстояние между  ними, то закон всемирного тяготения  записывается в виде где G = 6,67∙10–11 Н∙м2/кг2 – гравитационная постоянная. Этот закон справедлив также для сферически симметричных тел (при расстояниях между центрами больше суммы их радиусов), а приближенно он выполняется для любых тел, если расстояние между ними велико по сравнению с их размерами. Ускорение, которое испытывает тело m, находящееся на расстоянии r от тела M, равно         В частности, ускорение свободного падения в поле Земли равно   , где – масса Земли, r – расстояние до ее центра. Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения равно g = 9,8 м/с2. Сплюснутость Земли и ее вращение приводят к отличию силы тяжести на экваторе и возле полюсов: ускорение свободного падения в точке наблюдения может приближенно высчитываться по формуле g = 9,78 ∙ (1 + 0,0053 sin φ), где φ – широта этой точки.

Гравитация внутри Земли.

Внутри Земли, если принять  ее за однородный шар, сила тяжести убывает пропорционально расстоянию до центра: .Поскольку размеры Земли не бесконечно малы по сравнению с расстояниями до Луны и Солнца, то силы лунного и солнечного притяжения в разных точках Земли разные. Так, самая близкая точка будет притягиваться сильнее, чем самая далекая точка. Действие возмущающих сил на отдельные части земной поверхности вызывает приливы и отливы. При этом приливное влияние Луны в 2,2 раза сильнее, чем Солнца.

Гравитационное  поле.

В общей теории относительности (ОТО) гравитационное поле является не отдельным физическим понятием, а свойством пространства-времени, появляющимся в присутствии материи. Этим свойством является неевклидовость метрики (геометрии) пространства-времени, и материальным носителем тяготения является пространство-время. Тот факт, что гравитацию можно рассматривать как проявление свойств геометрии четырёхмерного неевклидова пространства, без привлечения дополнительных понятий, есть следствие того, что все тела в поле тяготения получают одинаковое ускорение («принцип эквивалентности» Эйнштейна). Пространство-время при таком подходе приобретает физические атрибуты, которые влияют на физические объекты и сами зависят от них.

Пространство-время ОТО  представляет собой псевдориманово многообразие с переменной метрикой. Причиной искривления пространства-времени  является присутствие материи, и  чем больше её энергия, тем искривление  сильнее. Для определения метрики  пространства-времени при известном  распределении материи надо решить уравнения Эйнштейна. Ньютоновская же теория тяготения представляет собой  приближение ОТО, которое получается, если учитывать только «искривление времени», то есть изменение временно́й компоненты метрики,(пространство в этом приближении евклидово). Распространение возмущений гравитации, то есть изменений метрики при движении тяготеющих масс, происходит с конечной скоростью, и дальнодействие в ОТО отсутствует.

Другие существенные отличия  гравитационного поля ОТО от ньютоновского: возможность нетривиальной топологии  пространства, особых точек, гравитационные волны.

Движение планет и спутников.

Закон Всемирного тяготения  позволил открыть закономерности движения планет вокруг Солнца. И открывателем этих законов является И.Кеплер.

.

 

 

 Законы Кеплера:

1.Все планеты вращаются  вокруг Солнца по эллипсам; в  одном из фокусов находится  Солнце.

2.Радиус-вектор планеты  за равные промежутки времени  описывает равные площади. 

3.Квадраты периодов обращения  двух планет относятся как  кубы больших полуосей их орбит. 

 Т.к. орбиты считаем круговыми, то   .

 Но , используя  равенство   , получаем:       ..Преобразуем : . В правой части полученного выражения стоит постоянная величина, поэтому для любых двух планет имеем:

Движение по круговой орбите происходит под действием силы тяжести.

 По второму закону  Ньютона имеем  , где      

 Но ускорение при движении по круговой орбите является центростремительным:.

Получаем результат:     => .

3 закон Кеплера, предлагаемый  к изучению, является приближенным. Более точное равенство вытекает  из закона всемирного тяготения  и записывается так: 

Сила тяжести  и вес.

Одна из фундаментальных  сил, сила гравитации, проявляется на Земле в виде силы тяжести –  силы, с которой все тела притягиваются  к Земле.

Вблизи поверхности Земли  все тела падают с одинаковым ускорением – ускорением свободного падения  g.

Отсюда вытекает, что в  системе отсчета, связанной с  Землей, на всякое тело действует сила тяжести mg. Она приблизительно равна  силе гравитационного притяжения к  Земле (различие между силой тяжести  и гравитационной силой обусловлено  тем, что система отсчета, связанная  с Землей, не вполне инерциальная).

Если подвесить тело (рис. 4.1) или положить его на опору, то сила тяжести уравновесится силой , которую называют реакцией опоры  или подвеса.

По третьему закону Ньютона  тело действует на подвес или опору  с силой  , которая называется весом тела. Итак, вес тела – это  сила, с которой тело в состоянии  покоя действует на подвес или  опору, вследствие гравитационного  притяжения к Земле. Поскольку силы    и    уравновешивают друг друга, то выполняется соотношение

Согласно третьему закону Ньютона    то есть вес и сила тяжести равны друг другу, но приложены к разным точкам: вес к подвесу или опоре, сила тяжести – к самому телу. Это равенство справедливо, если подвес (опора) и тело покоятся относительно Земли (или двигаются равномерно, прямолинейно). Если имеет место движение с ускорением, то справедливо соотношение

  Вес тела может  быть больше или меньше силы  тяжести: если  g  и  a  направлены  в одну сторону (тело движется  вниз или падает), то  G < mg, и  если наоборот, то  G < mg. Если  же тело движется с ускорением  a = g, то  G = 0 – т.е. наступает  состояние невесомости.

Перезагрузки  и невесомость.

Если тело вместе с опорой свободно падает, то a=g, и из формулы (12) следует, что P=0.

 Исчезновение веса  при движении опоры с ускорением  свободного падения называется  невесомостью.

Состояние невесомости наблюдается  в самолете или космическом корабле  при движении с ускорением свободного падения независимо от направления  и значения модуля скорости их движения. Действительно, если представить себе ситуацию, когда наш лифт с кубиком  помимо движения с ускорением свободного падения находится в состоянии движения с постоянной скоростью в направлении оси OX, перпендикулярной оси OY, все наши предыдущие рассуждения остаются в силе. Таким образом движение с постоянной скоростью, вектор которой имеет произвольное направление относительно вектора ускорения свободного падения наших тел, не оказывает влияния на состояние невесомости. За пределами земной атмосферы при выключении реактивных двигателей (становится равной нулю сила тяги двигателей) на космический корабль действует только сила всемирного тяготения. Под действием этой силы космический корабль и все тела, находящиеся в нем, движутся с одинаковым ускорением; поэтому на корабле начинает наблюдаться явление невесомости.

При ускоренном движении тела и опоры с ускорением, направленным вертикально вверх (см. рис. 5), вес  тела оказывается больше действующей  на него силы тяжести. Такая ситуация возникает при движении лифта  вертикально вверх в том случае, если скорость намотки троса, удерживающего  лифт, увеличивается во времени по линейному закону (v = v0 + a1t). В этой ситуации сила, приводящая к ускоренному  движению лифта вверх, передается через  трос к лифту. В результате этой передачи происходит увеличение результирующей силы упругой реакции опоры на величину этой силы. Обе эти силы направлены вертикально вверх и, поскольку наш кубик по-прежнему не умеет проваливаться сквозь пол  лифта, увеличение результирующей силы упругой реакции приводит к увеличению веса тела.

 Используя ранее принятые  обозначения, получаем, что в этом  случае проекции Py и gy положительны, а проекция аy отрицательна (при  выбранном направлении оси OY, см. рисунок!). Поэтому для модуля  веса получаем выражение

Увеличение веса тела, вызванное  ускоренным движением опоры или  подвеса, называется перегрузкой. Действие перегрузки испытывают на себе космонавты как при взлете космической ракеты, так и на участке торможения космического корабля при входе в плотные  слои атмосферы. Конечно, торможение происходит в основном из-за включения тормозных  двигателей, а не из-за трения космического корабля об воздух. Испытывают перегрузки и летчики при выполнении фигур  высшего пилотажа, и водители автомобилей  при движении с большими ускорениями, например, при разгоне или торможении автомобиля.

Содержание

1. Закон всемирного тяготения.
2. Гравитационное поле.
3. Движение планет и спутников.
4. Сила тяжести и вес.
5. Перегрузки и невесомость.