Встановлення закону зміни випадкових величин за результатами дослідження

1. Побудова емпіричної кривої

 

В табл. 1 приведені результати вимірювань розміру 25 мм в партії 50 шт. деталей. Вибираємо кількість  груп k=8. Розраховуємо інтервал кожної  групи:

H== = 0,0065

Х max=0,025, X min= -0,027

 

Таблиця 1 – Відхилення розміру 25 мм

 

 

 

 

Таблиця 2 – Межі груп відхилень

Номер інтервалу	Інтервал		Середина інтервалу, xi	Частота, mi	Частність, mi/N
	більше	до
1	-0,027	-0,0205	-0,02375	6	0,12
2	-0,0205	-0,014	-0,01725	12	0,24
3	-0,014	-0,0075	-0,01075	6	0,12
4	-0,0075	-0,001	-0,00425	10	0,2
5	-0,001	0,0055	0,00225	3	0,06
6	0,0055	0,012	0,00875	4	0,08
7	0,012	0,0185	0,01525	6	0,12
8	0,0185	0,025	0,02175	3	0,06
∑				50	1

 

 

Рис.1 Гістограма розподілу  випадкових величин

 

 

Рис.2 Полігон розподілу  випадкових величин

2. Обчислення параметрів емпіричного розподілення

Об’єм виборки N > 25.

Таблиця 3

№	Інтервал		xi	mi	x'i	mix’i	mi(x’i)2	mi(x’i)3	mi(x’i)4
1	2		3	4	5	6	7	8	9
1	-0,027	-0,0205	-0,02375	6	-3	-18	51	-151	441
2	-0,0205	-0,014	-0,01725	12	-2	-23	45	-86	166
3	-0,014	-0,0075	-0,01075	6	-1	-6	5	-5	4
4	-0,0075	-0,001	-0,00425	10	0	1	0	0	0
5	-0,001	0,0055	0,00225	3	1	3	3	4	4
6	0,0055	0,012	0,00875	4	2	8	17	36	74
7	0,012	0,0185	0,01525	6	3	18	57	174	535
8	0,0185	0,025	0,02175	3	4	12	50	203	825
∑			-0,008	50		-3	228	175	2048

 

Обчислюємо початкові  моменти (а₁, а₂, а₃, а₄), що рівні:

 

Обчислюємо центральні моменти (m₂, m₃, m₄).

 

m₂ = a₂ - a₁² = 4,56

m₃ = a₃ - 3a₁a₂ + 2a₁³ = 4,41

m₄ = a₄ - 4a₁a₃ + 6a₁²a₂ - 3a₁⁴ = 42,03

 

Обчислюємо середнє значення і середнє квадратичне відхилення величини Х

 

Обчислюємо показник асиметрії   

 

і показник ексцессу ( крутизна )  

 

3. Визначення поля допуску по емпіричному розподіленню

 

Для даних табл.3 отримали:

= -0,00268;

S = 0,0138;

k =N -1 = 50 -1 = 49,

де k - число ступенів свободи.

      Задаємо надійність поля допуску. Нехай Р = 0,95. 

По табличним даним  знаходимо, що для Р = 0,95  1 - 2b = 0,9973 і

  k = N - 1 = 49 (приймаємо k  = 50). Звідси l = 2,37.

Визначаємо границі поля допуску

t₁ =

- l S = -0,00268 – 2,37 ^. 0,0138 = -0,035

t₂ =

+ l S = -0,00268 + 2,37 ^. 0,0138 = 0,03.

Знаходимо координату середини поля допуску і половину поля допуску:

 

4. Обчислення коефіцієнтів відносної асиметрії і відносного розсіювання(поле допуску не задане)

Знайшли, що t₁= -0,035; t₂= -0,03; Δ_э= -0,00268; δ_э= 0,0327.

Для даного прикладу  = -0,00268; S= 0,0138.

Тоді 

 

5. Критерії для відкидання різко відрізняючих спостережень     (похибок вимірювання)

 

Результати вимірювань наведені в табл.3

Вимір 40, що дав величину (0) викликає підозру, так як помітно відрізняється від інших. Перевіримо правильність наших підозр про те, що вимір є результатом грубої помилки.

Обчислимо середнє значення з 49 залишившихся результатів (вимір 40 відкидаємо).

Обчислимо середнє квадратичне  відхилення

З табличних даних знаходимо, що для N= 49 і для b = 0,01 значення

 t_b' = 2,742

Обчислюємо 

Обчислюємо t_b'S = 2,742 ^. 0,0023 = 0,0063

Так  як,  0,005 < 0,0063 , то з вірогідністю 1-b = 1 - 0,01результат              x_N+1 = 0 можна вважати випадковим.

 

Перевірка за критерієм  Ірвіна

Обчислюємо  і S:

_=0,0023

 

В нашому прикладі x_N+1 = 0; х_N = -0,002.

Визначаємо 

З табличних даних знаходимо, що для найближчого N = 50;  l_0,95 = 1,1. (l_0,95 = 1,1) > (l = 0,869). Тому значення  x_N+1= 0 відкидати не потрібно.

 

6. Функції густини теоретичних і емпіричних розподілень

Вирівнювання  емпіричного розподілення по гіпотетичним теоретичним

Для обчислень використовуємо данні наведені в табл.3

Визначаємо  = -0,00268; S= 0,0138.

Підставляємо ці значення в функцію густини  , заміняючи на і на .

 

Результати вирівнювання наведені в табл.4

Таблиця 5

Номер інтервалу (№)	Середина інтервалу	Емпіричні частоти mi				Вірогідність інтервалів	Теоретичні частоти mi
1	-0,02375	6	-0,02107	-1,526811594	3,595319276	0,0585788	2,928942
2	-0,01725	12	-0,01457	-1,055797101	6,605191037	0,1076189	5,380947
3	-0,01075	6	-0,00807	-0,584782609	9,720375707	0,1583749	7,918745
4	-0,00425	10	-0,00157	-0,113768116	11,45857122	0,1866955	9,334773
5	0,00225	3	0,00493	0,357246377	10,82000931	0,1762913	8,814566
6	0,00875	4	0,01143	0,82826087	8,184168246	0,1333453	6,667267
7	0,01525	6	0,01793	1,299275362	4,958738565	0,0807931	4,039657
8	0,02175	3	0,02443	1,770289855	2,406675982	0,0392122	1,960609
∑		50				0,94091	47,046

 

Рис.3 Графіки емпіричної і теоретичної кривої

 

 

 

 

7. Порівняння емпіричних і теоретичних функцій розподілення частот по критеріям узгодження

Таблиця 6 – Критерій узгодження Пірсона                      

Номер інтервалу (№)				2
1 2 3 4   5 6   7 8	6 12 6 10	2,93 5,38 7,9 9,3   15,48 6	3,07 6,62 1,9 0,7   8,48 3	9,4249 43,8244 3,61 0,49   71,9104 9	3,2166 8,1457 0,4569 0,0526   4,6453 1,5
Сума	50				18,017

 

Обчислимо число ступенів свободи  . В нашому випадку n = 6, r = 2, відповідно k = 6-2-1 = 3.

Далі, користуючись табличними даними, знаходимо, що для k = 3 і = 18,017 найближче значення 0,0004, тобто криві не узгоджуються і необхідно підібрати іншу теоретичну криву.