Шпаргалка по "Динамике "

Скорость ее компоненты

 по декартовым координатным  осям...

Равномерное движение Средняя  скорость

Мгновенная скорость

 <V>=DS/Dt ; 

 V= dS/dt dS=Vdt 

; ; 

Ускорение, его компоненты по

декартовым координатным осям

Среднее ускорение 

; ;

Угловая скорость и угловое  ускорение. связь между угловыми и линейным…

Угловая скорость      

Угловое ускорение ;  ; ;

Тангенциальное нормальное и полное ускорение

  ; ; ; ;

;C=dj/dS- Кривизна R=dS/dj- радиус кривизны

Полное ускорение  ;

Тангенциальное  ускорение

Нормальное  ускорение

Законы Ньютона. Границы применимости классической механики)

1 закон. В инерциальной системе отсчета скорость любого тела остается постоянной пока воздействие на это тело со стороны других тел не вызовет ее изменения

2 закон  или   

3 закон ;  ;

Границы применимости :

1. V<<С
2. Макротела
3. Тело- материальная точка
4. Расстояния относительно небольшие, потому что предполагается, что взаимодействие передаётся мгновенно.

Сила трения. Сухое и жидкое трение)

Силы трения делятся на внутренние и внешние. Внешние возникают при относительном перемещении двух касающихся тел. Внутренние возникают при трении между частицами одного и того же тела (напр жидкости или газа). Трение твёрдого о жидкость или газ следует относить к внутр трению. Трение между твёрдыми телами без “смазки” наз-ся сухим. Со “смазкой” или твёрдое с жидким или газом наз-ся вязким (или жидким трением). Силы трения противодействуют относительному смещению. … Сухое трение делится на скольжение и качение. Возникает не только при самом движении, но и при попытке создать движение, в посл случае это трение покоя. При соотв обработке трущихся поверхностей можно допустить, что F_тр»kF_n, где k – коэффициент трения, F_n – сила нормального давления. Вообще говоря k=k(V). … (F_тр.кач=k^|F_n/R, k^| измеряется в единицах длины) … Вязкое трение и сопротивление среды. Пусть F_тр – силы сопротивления среды и трения вместе взятые. При V<V₀  F_тр=-k₁V, при V>V₀ F_тр=-k₂V²e_V; граница V₀ определяется формой и размерами тела, а так же вязкими свойствами и плотностью среды. Для пластины Fтр=hSV₀/d, где V₀ – скорость пластины, S – площадь пластин (там их две, одна движется относительно другой), d – расстояние между пластинами, h - коэффициент пропорциональности, называемый вязкостью [Па^.с].

Принцип относительности  Галилея. Преобразования Галилея)

Механическое движение относительно. … Все уравнения динамики не изм при переходе из одной инерциальной системы в другую. … Все механические явления во всех инерциальных системах от-та протекают одинаковым образом. (инерциальные сис-мы от-та – такие сис-мы, в которых тела покоятся или движутся равномерно и прямолинейно). V₀ – относительная скорость двух систем от-та K и K^|; Пусть K| движется относительно K со скоростью V₀ (V₀<<c) вдоль оси X. Тогда: {x=x^|+V₀t; y=y^|; z=x^|; t=t^|} – преобр Галилея. Продифференцируем обе части по времени: {V_x=V^|_x+V₀; V_y=V^|_y; V_z=V^|_z;} Þ правило сложения скоростей: V=V₀+V^|; Ещё раз продифференцируем: W=W^| Û F=F^| (законы движения инвариантны).

; x=x' +V₀t; y=y'; z=z'

Принцип относительности:

Все механические явления  в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаковым образом вследствие чего невозможно никакими механическими опытами установить покоится данная система или движется прямолинейно и равномерно.

Во всех инерциальных с.о. все механические явления протекают одинаково при одинаковых начальных условиях.

Сила тяжести  и вес)

Сила тяжести – сила гравитационного притяжения тел  к Земле вблизи её поверхности. F_т=mg, g – ускорение свободного падения. Вес тела – сила с которой тело действует на опору или подвес вследствие гравитационного притяжения к Земле. … {F_т=-N; P=-N} Þ F_т=P=mg; Но вес может быть не равным силе тяжести, если опора или подвес движется в вертикальном направлении с ускорением. Состояние, когда вес равен нулю наз состоянием невесомомти. g зависит от геогр широты и высоты над уровнем моря.

Кинетическая энергия  материальной

 точки и системы  материальных точек)

; ; ;

T=mV²/2=p²/2m

Аддитивная величина

Релятивистское значение: 

При V<<C

Уравнение движения: mV^|=F, F – результирующая сила; умножим на dS=Vdt; mV^|Vdt=FdS; m(dV/dt)Vdt=mVdV=md(V²/2)=d(mV²/2); FdS=d(mV²/2); Если система замкнута, то F=0 Þ d(mV²/2)=0 Þ mV²/2=const; T=mV²/2 – сохраняющаяся величина, кинетическая энергия. Если у нас система частиц, то T_сис=åT_i;

Принцип суперпозиция

Сила Лоренца  `V¹0   ;

феноменологические  силы- то есть силы описательного характера.

Закон Кулона, сила Лоренца. З-н Кулона опр электростатическое взаимодействие между точечными зарядами.  F_k=kq₁q₂/r²; F_k=( kq₁q₂/r³)r. В СИ k=1/(4pee₀); Сила Лоренца опр электромагнитное взаимодействие: F=k^|q[V,B], V – скорость частицы, B – вектор магнитной индукции (B=k^||(N_max/IS) [Вб], где I – сила тока в рамке, S – площадь сечения рамки, N_max – макс момент сил, действующих на рамку).

Работа и мощность. Работа центральных сил и сил однородного поля).

dA=FdS – работа силы F на пути dS. dA=F_SdS; Два слова о кинетической энергии: ; dS=Vdt; mVV^|dt=FdS Þ mVV^|dt=mVdV=md(V²/2)=d(mV²/2) Þ FdS=d(mV²/2); ₁ò²d(mV²/2)=₁ò²FdS; T₂-T₁=₁ò²FdS=₁ò²F_SdS=A₁₂ Þ работа результирующей всех сил, действующих на тело, равна приращению его кинетической энергии. dA=(åF_i)dS=åF_idS=åA_i; Если dS=Vdt, то dA=FVdt Þ A=_t1ò^t2FVdt. Если F=const (и модуль и направление), то A=F₁ò²dS=FS=FS_F; S – вектор перемещения из 1 в 2;… Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью . P=dA/dt=FV; Центральная сила – сила, приложенная к телу, линия действия которой всегда проходит через некоторую точку, называемую центром силового поля (независимо от положения тела). F(r)=f(r)e_r; f(r)={-cr (упруг); -gm₁m₂/r² (гравит); kq₁q₂/r² (кулон)}; Работа центральных сил: A=₁ò²Fdr=₁ò²f(r)e_rdr; e_rdr=|e_r||dr|cosa=dScosa; A=_r1ò^r2F(r)dr Þ зависит только от начала и конца траектории. Работа сил однородного поля: Если "x,y,z F(x,y,z)=const Û поле однородное; A=₁ò²Fdr=F_r1ò^r2dr=F(r₂-r₁) Þ не зависит от формы пути.

Для стационарного поля сил, работа зависит лишь от начального и конечного положения частицы  и не зависит от пути.(такие силы наз. консервативными).Работа консервативных сил на замкнутом пути равна нулю.

Энергия гравитационного  взаимодействия двух материальных точек)

;;;

Пот. Энергия м.т. во внешнем поле сил).

A₁₂=U(r₁)-U(r₂); некоторой точке O припишем произвольное значение ф-ии равное U₀. U(P)=U₀+A_po(где A_po- работа, совершаемая над частицей консервативными силами при перемещении частицы из т. Р в т.O Потенциальная энергия определена только для консервативных сил. Работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии. Потенциальная энергия определена до константы. величина E=T+U, для частицы, находящейся в поле консервативных сил, остается постоянной. Е-полн. мех. энергия.

Связь между потенциальной  энергией и силой. (только консервативные силы); A₁₂=-DU; dA=-dU; Fdr=-dU; F_SdS=-dU; F_S=-dU/dS; В ДПСК dr=dx^.i; dA=F_xdx=-dU; F_x=-dU/dx; аналогично F_y=-dU/dy, F_z=-dU/dz; F=F_xi+F_yj+F_zk=-{(dU/dx)i+(dU/dy)j+(dU/dz)k}=-gradU=-ÑU; ÑU – вектор, направленный по касательной к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциальной энергии.

Связь между потенциальной  энергией и силой (только консервативные силы); A₁₂=-DU; dA=-dU; Fdr=-dU; F_SdS=-dU; F_S=-dU/dS; В ДПСК dr=dx^.i; dA=F_xdx=-dU; F_x=-dU/dx; аналогично F_y=-dU/dy, F_z=-dU/dz; F=F_xi+F_yj+F_zk=-{(dU/dx)i+(dU/dy)j+(dU/dz)k}=-gradU=-ÑU; ÑU – вектор, направленный по касательной к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциальной энергии.(эквп п-ть- поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковое значение)

 Потенциальная энергия –энергия гравитационного взаимодействия.

(Энергия гравитационного  взаимодействия двух материальных  точек)

;

;

Связь между пот. Энергией и силой).

Fxdx+Fydy+Fzdz=-dU=-(U((x+dx),(y+dy),(z+dz))-U(x,y,z))

; ; ; ; ; U(x,y,z)=ÑU ;

Градиент скалярной функции  -вектор направленный вдоль направления наибыстрейшего возрастания скалярной функции и равный по модулю производной по этому направлению.

Полный дифференциал функции  F(x,y,z) называется приращение, которое получает эта функция при переходе от точки с координатами x,y,z в соседнюю точку с координатами x+dx, y+dy, z+dz. По определению это приращение равно df(x,y,z)=f(x+dx,y+dy,z+dz)-f(x,y,z)

Полное приращение функции  при переходе из начальной точки  в конечную равно

Выводы 

Потенциальная энергия  частицы во внешнем поле сил).

Если во всех точках поля силы, действующие на частицу, одинаковы по модулю и направлению, поле наз. однородным) Потенциальная энергия – работа, которую совершают консервативные силы  при перемещении м.т из точки 1 в точку где пот.энерг. условно принята равной 0. Консервативные силы – силы, работа которых не зависит от пути. В случае, когда работа сил поля не зависит от пути, а зависит лишь от начального и конечного положений частицы, каждой точке поля можно сопоставить некоторую функцию U(x,y,z) такую, что разность значений этой функции в точках 1 и 2 будет определять работу сил при переходе частицы из первой точки во вторую. A₁₂=U₁-U₂. Это сопоставление можно осуществить следующим образом. Некоторой исходной точке О припишем произвольное значение функции, равное U₀. Любой другой точке Р припишем значение U(P)=U₀+A_PO, где A_PO – работа, совершаемая над частицей консервативными силами при перемещении частицы из точки P в точку О. Поскольку работа не зависит от пути, то значение U(P) будет однозначным.U₁-U₂=A₁₀-A₂₀=A₁₀+A₀₂. =>A₁₂=U₁-U₂. T₂-T₁=U₁-U₂=> T₂+U₂=T₁+U₁=>E=U+T.=>U входит слагаемым в интеграл движения, имеющий размерность энергии. В связи с этим функцию U(x,y,z) называют потенциальной энергией частицы во внешнем поле сил. Величину Е – полной механической энергией частицы.

Потенциальная энергия  деформированной пружины

Потенциальной энергией могут  обладать не только система взаимодействующих  тел, но и отдельно взятое упруго деформированное  тело. В этом случае потенциальная  энергия  зависит от взаимного  расположения отдельных частей тела(например, от расстояния между соседними витками). Как на сжатие так и на растяжение пружины на x необходимо затратить работу A=kx²/2. Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Следовательно, зависимость потенциальной энергии пружины от удлинения имеет вид U= kx²/2, где k- жесткость пружины. Эта формула написана в предположении, что потенциальная энергия недеформированной пружины равна 0.

 A=òF_xdx=òkxdx=kx²/2 Þ U=kx²/2 (т.к. U(0)=0); Зависимость U(x)-парабола.

Потенциальная яма, барьер. Условие равновесия механической системы 

Поясним это, воспользовавшись графиком, изображенным на рис. Если полная энергия  имеет значение, указанное на рисунке, то частица может совершать движение либо в пределах от x1 до x2, либо в пределах от x3 до бесконечности. В области x2<x<x3 частица проникнуть не может, так как потенциальная энергия не может стать больше полной энергии. Таким образом, область x2<x<x3 представляет собой потенциальный барьер, через который частица не может проникнуть, имея данный запас полной энергии. Область x1<x<x2 – потенциальная яма.

В17 Потенциальная  яма и потенциальный барьер. См В18 об усл-х равновесия. Некоторый промежуток, содержащий максимум потенциальной энергии, в который тело не может проникнуть, имея данный запас энергии, называется потенциальным барьером. Некоторый промежуток, содержащий минимум потенциальной энергии, из которого тело не может выбраться, имея данный запас энергии, называется потенциальной ямой. Движение, не приводящее к удалению на бесконечность называется финитным (в противном случае инфинитным). Движение в потенциальной яме финитное, финитно так же движение с отрицательной полной энергией (если считать что U(¥)=0).

В18 Условия  равновесия механической системы. åF_i=F=0; (сумма внешних сил равна нулю); F=-ÑU Þ ÑU=0 Þ (dU/dx)i+(dU/dy)j+(dU/dz)k=0; dU/dx=0, dU/dy=0, dU/dz=0 – условия равновесия по соответствующим направлениям; d²U/dx>0, d²U/dy>0, d²U/dz>0  – условия устойчивого равновесия по соответствующим направления. Условию равновесия соответствует экстремум U(r): минимум – устойчивое равновесие, максимум – неустойчивое равновесие.  

Закон сохранения энергии частицы,

движущейся в  консервативном поле сил)

Полная механическая энергия консервативной системы  сохраняется.

Поле остающееся постоянным во времени называется стационарным. Поле консервативных сил -стационарное поле, для которого работа совершаемая над частицей силами поля зависит лишь от начального и конечного положений частицы и не зависит от пути по которому двигалась частица.

 d(T+U)=0;  E=T+U- полная мех энергия частицы dE=0 => Е=const;

Интеграл движения-

Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной

Центр масс. Движение центра масс системы частиц. Система центра масс.)

Центром масс (или центром  инерции) системы называется точка C, положение которой задается радиусом-вектором r_C, определяемым следующим образом:

. Здесь m_i – масса i-й частицы, r_i – радиус-вектор, определяющий положение этой частицы, m – масса системы. Декартовы координаты центра масс равны проекциям r_C на координатные оси: , , . Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы. Импульс системы частиц может быть представлен в виде произведения суммарной массы частиц на скорость центра масс системы: p = mv_C. Скорость центра масс получается путем дифференцирования радиуса-вектора по времени: . Отсюда вытекает формула p = mv_C. Для замкнутой системы p = mv_C = const. Следовательно, центр масс замкнутой системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается неподвижным. Система отсчета, в которой центр масс покоится(V_c=0), называется системой центра масс или ц-системой. Эта система, очевидно, инерциальна.

 Центр  масс. Движение центра масс материальных  точек. Центр масс – такая точка, движение которой можно рассматривать как движение всей системы как целого. r_c=åm_ir_i/m; V_c=åm_iV_i/m=p/m Þ p=mV_c; Если V_c=0, то система частиц как целое покоится. dp/dt=åF_iвнеш Þ m(V_c)^|=F_внеш; Центр масс движется так, будто вся масса сосредоточена в этой точке, а результирующая сила приложена именно к ней.

Система центра масс. Соотношение между энергией в лабораторной системе отсчёта и энергией в системе центра масс. Инерциальная сис-ма от-та, в которой центр масс покоится наз. системой центра масс или ц-системой. p=åm_iV_i; В ц-системе у каждой частицы скорость V_i^~ : V_i=V_i^~+V_c; p=åm_iV_i^~+åm_iV_c=p^~+mV_c=mV_c (т.к. p^~=0 или åp_i^~=0); Связь между T (лаб) и T(ц-с): T=åT_i=å(m_i(V_i)²)/2; Vi=Vi~+Vc Þ T=1/2(åm_i(V_i^~+V_c)²)=1/2(åm_i(V_i^~)²)+1/2(å2m_iV_i^~V_c)+1/2(åm_i(V_c)²)=T^~+m(V_c)²/2 (т.к. åm_iV_i^~=p^~=0); E_пол=T+U_вз(r_ik); r_ik=r_ik^~ Þ E_пол=T^~+U_вз(r_ik)+m(V_c)²/2; (E_пол)^~=T^~+U_вз(r_ik).

Импульс. Закон сохранения импульса системы взаимодействующих частиц)

Рассмотрим систему, состоящую  из N взаимодействующих частиц, массами m1,m2…mN. Пусть кроме внутренних сил на i-ю частицу действуют внешние силы, результирующая которых равна F_i. Напишем уравнение для всех N частиц: ,( т.к частица сама на себя не действует) и так до K=N. Сложим все N уравнений. Т.к.F₁₂+F₂₁=0 справа останутся только внешние силы. .Сумма импульсов частиц, образующих механическую систему, называется импульсом системы. Обозначив импульс символом p, получим, что , => Импульс – аддитивная величина. => . Отсюда вытекает, что при отсутствии внешних сил dp/dt = 0. Следовательно, для замкнутой системы p постоянен. Это утверждение составляет содержание закона сохранения импульса, который формулируется следующим образом: импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Заметим, что импульс остается постоянным и для незамкнутой системы при условии, что внешние силы в сумме дают 0.

Момент импульса частицы относительно точки, относительно оси)

Для отдельно взятой частицы  моментом импульса относительно точки O называется псевдовектор M = [rp] = [r(mv)]. Моментом импульса системы относительно точки O называется векторная сумма моментов импульсов частиц, входящих в систему: . Проекция вектора M на некоторую ось z называется моментом импульса частицы относительно этой оси: M_z = [rp]_{пр z}. Моментом импульса системы относительно оси z называется величина . Из рисунка видно, что модуль вектора момента импульса частицы равен M = rpsina = lp, где l=rsina - длина перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы. Эта длина называется плечом импульса относительно точки O. Рисунок выполнен в предположении, что точка O, относительно которой берется момент, и вектор p лежат в плоскости рисунка. Вектор M перпендикулярен плоскости рисунка и направлен «от нас».

Относительно точки: M=[r,p] –псевдовектор; момент импульса создаёт правовинтовую тройку. |M|=r^.p^.sin sina; l=r^.sina - плечо импульса; |M|=lp=lmV; N=dM/dt=[r^|,p]+[r,p^|]=[V,mV]+[r,F]=[r,F] – момент силы; (2) относительно оси: M_z=[r,p]_z, N_z=[r,F]_z; введём полярную систему координат: r,j,z; M=[|e_r e_j e_z|®|r 0 z|®|p_r p_j p_z|] (векторное произведение, расписанное в виде определителя) Þ M_z=rp_je_z; M_z=rP_z=rmV_j; P_j=mrw_z; M_z=mr²w_z; N_z=rF_j; dM_z/dt=N_z; Если N_z=0 Þ M_z=const;

Упругое и неупругое  соударение шаров)

рисунок

При соударении двух тел друг с другом они претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой  обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в  потенциальную энергию упругой  деформации и в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается увеличением их температуры. Существует два предельных вида удара: абсолютно  упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим называется такой удар, при котором механическая энергия не переходит в другие, немеханические, виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, модуль и направление которых определяются двумя условиями – сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы тел. Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальной энергии деформации не возникает; кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию; после удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается: имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов – механической и внутренней. Абсолютно неупругий удар: m₁v₁₀ + m₂v₂₀ = (m₁+m₂)/v. Из этого следует, что v=(m₁v₁₀+m₂v₂₀)/(m₁+m₂). Абсолютно упругий удар: m₁v₁₀²/2 + m₂v₂₀²/2 = m₁v₁²/2 + m₂v₂²/2 и m₁v₁₀+m₂v₂₀ = m₁v₁ + m₂v₂. Из этого следует, что v₁ = (2m₂v₂₀ + (m₁ - m₂)v₁₀)/(m₁ + m₂) и v₂ = (2m₁v₁₀ + (m₂ – m₁)v₂₀)/(m₁ + m₂).

Соударение двух тел, система замкнутая, относительная скорость довольно большая Þ U_вз®0; Лаб сис-ма: m₁, V₁, m₂, V₂; Ц-система: V_c=(m₁V₁+m₂V₂)/(m₁+m₂); p₁^~=p₁-m₁V_c=m₁(V₁-(m₁V₁+m₂V₂)/(m₁+m₂))=m₁m₂+(V₁-V₂)/(m₁+m₂); m=m₁m₂/(m₁+m₂) – приведённая масса; p₁^~=mV_отн=m(V₁-V₂); p₂^~=m₂(V₂-V_c)=m(V₂-V₁)=-mV_отн; p^~=mV_отн-mV_отн=0; T^~=(p₁^~)²/(2m₁)+(p₂^~)²/(2m₂)=1/2(p₁^~)²(1/m₁+1/m₂)=(m²(V_отн)²(m₁+m₂))/(2m₁m₂)=m(Vотн)²/2; (а) Абсолютно неупругий удар ((T^~)^|=0 – кинетическая энергия шаров в ц-системе после слипания): (T^~)₀=m(V_отн)²/2=1/2(m₁m₂(V₁-V₂)²/(m₁+m₂)); (V₁₂)^|=V_c=(m₁V₁+m₂V₂)/(m₁+m₂); (б) Абсолютно упругий удар – не сопровождается переходом механической энергии в другие формы (T^~=(T^~)^|). Т.к. T^~ сохраняется: T^~=(p₁^~)²/(2m)=((p₁^~)^|)²/(2m) Þ |p₁^~|=|(p₁^~)^|| Þ меняется только направление; до столкновения: (V₁^~)₀=(p₁^~)₀/m₁=m₂V_отн/(m₁+m₂), (V₂^~)₀=(p₂^~)₀/m₂=m₁V_отн/(m₁+m₂); после столкновения: (V₁^~)^|= -(V₁^~)₀, (V₂^~)^|= -(V₂^~)₀; В лаб сис-ме от-та после столк-ия: (V₁)^|=(V₁^~)^|+V_c=-(V₁^~)₀+V_c=-m₂(V₁-V₂)/(m₁+m₂)+(m₁V₁+m₂V₂)/(m₁+m₂)=V₁(m₁-m₂)/(m₁+m₂)+V₂^.2m₂/(m₁+m₂); Итого: (V₁)^|= V_c+(V₁^~)^| =V_c+m₂(V₁-V₂)/(m₁+m₂), (V₂)^|= V_c+(V₂^~)^| =V_c+m₁(V₁-V₂)/(m₁+m₂). 

Момент силы относительно точки и относительно оси. Пара сил

Псевдовектор N = [rF] называется моментом силы F относительно точки O, из которой проводится радиус-вектор r точки приложения силы. Из рисунка видно, что модуль момента силы можно представить следующим образом: N = rFsina = lF, где l = rsina - плечо силы относительно точки O (т.е. длина перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую, вдоль которой действует сила). Проекция вектора N на некоторую ось z, проходящую через точку O, относительно которой определен псевдовектор N, называется моментом силы относительно этой оси: N_z = [rF]_{пр z}. Две равные по модулю противоположно направленные силы, не действующие вдоль одной прямой, называются парой сил. Расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют силы, называется плечом пары. Суммарный момент образующих пару сил F₁ и F₂ равен N = [r₁F₁] + [r₂F₂]. Учтя, что F₁ = -F₂, можно написать: N = -[r₁F₁] + [r₂F₂] = [(r₂ – r₁)F₂] = [r₁₂F₂], где r₁₂ = r₂ – r₁ – вектор, проведенный из точки приложения силы F₁ в точку приложения силы F₂. Выражение не зависит от выбора точки O. Следовательно, момент пары сил относительно любой точки будет один и тот же. Вектор момента пары сил перпендикулярен к плоскости, в которой лежат силы, и численно равен произведению модуля любой из сил на плечо.

(Уравнение  моментов для системы взаимодействующих  частиц)

Силы взаимодействия между  частицами действуют в противоположные  стороны вдоль одной и той  же прямой. Их моменты относительно произвольной точки O равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому моменты внутренних сил попарно уравновешивают друг друга, и сумма моментов всех внутренних сил для любой системы частиц, в частности для твердого тела, всегда равна нулю: . В соответствии с определениями и N = [rF] уравнение можно записать следующим образом: .

Закон сохранения момента импульса системы взаимодействующих  частиц)

Из вытекает, что при отсутствии внешних сил dM/dt = 0. Следовательно, для замкнутой системы вектор M постоянен. Это утверждение составляет содержание закона сохранения момента импульса, который формулируется следующим образом: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Мы доказали соотношение для системы из двух частиц. Однако его легко обобщить на случай любого числа частиц. Напишем уравнения движения частиц: (от 1 до N частиц). Умножив каждое из уравнений на соответствующий радиус-вектор, получим: (от 1 до N частиц). Сложим почленно все N уравнений: . Первая сумма в правой части представляет собой сумму моментов всех внутренних сил, которая, равна нулю ( ). Вторая сумма справа есть сумма моментов внешних сил. Следовательно, мы пришли к формуле . Отметим, что момент импульса остается постоянным и для незамкнутой системы при условии, что суммарный момент внешних сил равен нулю. Спроецировав все величины, входящие в уравнение , на некоторое направление z, получим соотношение , согласно которому производная по времени от момента импульса системы относительно оси z равна сумме моментов внешних сил относительно этой оси. Отсюда же следует, что в том случае, когда сумма внешних сил относительно некоторой оси равна нулю, момент импульса системы относительно этой оси остается постоянным. В заключение отметим, что без указания точки или оси, относительно которых определяется момент, понятия момента импульса и момента силы утрачивают смысл.

Силы инерции. НИСО.)

Законы Ньютона выполняются  только в ИСО. Относительно всех ИСО  данное тело движется с одинаковым ускорением w. Любая НИСО движется относительно ИСО с некоторым ускорением, поэтому ускорение тела в НИСО отсчета w’ будет отлично от w. Обозначим разносить ускорений тела в ИСО и НИСО символом a: w – w’ = a. Для поступательно движущейся НИСО a одинаково для всех точек пространства (a = const) и представляет собой ускорение НИСО. Для вращательно движущейся НИСО a в разных точках пространства будет различным (a = a(r’), где r’ – радиус-вектор, определяющий положение точки относительно НИСО).

Пусть результирующая всех сил, обусловленных действием на данное тело со стороны других тел, равна F. Тогда согласно второму закону Ньютона ускорение тела относительно любой ИСО равно w = F/m. Ускорение же тела относительно некоторой НИСО можно представить в виде w’ = w – a = F/m – a. Отсюда следует, что даже при F = 0 тело будет двигаться по отношению к НИСО с ускорением –a, т.е. так, как если бы на него действовала сила, равная –ma. Сказанное означает, что при описании движения в НИСО можно пользоваться уравнениями Ньютона, если наряду с силами, обусловленными воздействием тел друг на друга, учитывать так называемые силы инерции F_in, которые следует полагать равными произведению массы тела на взятую с обратным знаком разность его ускорений по отношению к ИСО и НИСО: F_in = -m(w – w’) = -ma. Соответственно уравнение второго закона Ньютона в НИСО будет иметь вид mw’ = F + F_in.

Момент инерции. Теорема Штейнера)

Ось, положение которой  в пространстве остаётся неизменным при вращении вокруг неё называется свободной осью тела. У любого тела существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс, которые могут служить свободными осями, они называются главными осями  тела. I=åDm_iR_i²; r=lim_Dv®0(Dm/Dv)=dm/dv; Dm=r_iDv_i; I=år_iR_i²Dv_i; Если r=const, то I=råR_i²Dv_i; Вообще: I=òR²dm=_vòrR²dv;

Теорема Штейнера: I=I_c+ma², где а – расстояние до новой оси, параллельной исходной оси, проходящей через центр масс. Д-во: r_c=å(m_ir_i)_c/m=0 (т.к. мы в ц-системе); I₀=åm_i(r_i0)²; r_i0=OC+r_ic; I₀=åm_iOC²+åm_i2OC^.r_ic+ åm_ir_ic²=ma²+2OCåm_ir_c+I_c=ma²+I_c+2OCmr_c=ma²+I_c (т.к. r_c=0); Стержень: ml²/12; Обруч: mR²;       Диск (перпендикулярно плоскости): mR²/2; Диск (параллельно плоскости): mR²/4;       Шар: 2mR²/5;

I=åM_ir²_i=òR²dM=òrrdv; =òdMdv, r=dm/dV.

Характеризует:

1) Инертные свойства при  вращательном движении(играет роль массы).

2) Аддитивность. R=R_ic+a; I=åM_iR²=åMR²i+2aåmiR_ic+ma²;

Примеры: 1)Стержень (через  конец стержня) I₀=₀^xòx²mdx/l=ml³/3;

(через центр масс) Ic=I₀-m(l/2)²=ml²/12;

2) Сфера Ix=Iy=Iz=2mr²/3;

3) Однородный шар I=ò2r²r4pr²dr, r=3m/4pr³, I=2mr²/5;

4)Полушар I=(1/2)(2/5)2mr²=2mr²/5;

5) Обруч I_z=åM_ir²=mr² , I_x=I_y=I_z/2=Mr²/2;

6)Диск I_z=òr²(m/pr²)2prdr, I_z=mr²/2, I_x=I_y=mr²/4

Момент импульса т.т. относительно оси вращения.)

; ;

, где  - расстояние частицы от оси вращения.

  . В общем случае вектор момента импульса не совпадает по направлению с осью вращения тела z и поворачивается вместе с телом вокруг этой оси, описывая конус.

dM/dt=åN_внеш;      M_i=[r_i, m_iV_i]=m[r_i,V_i];    |M|=m_ir_iV_i=m_ir_iwR_i;  ÐM_iw<p/2, z – ось вращения.          M_zi=M_icosa=m_ir_iwR_icosa_i= =m_i(r_icosa)R_iw=m_iR_i²w_z;     M_z=w_zåm_iR_i²=w_zI_z; I_z=åm_iR_i²=òrr²dv; M=åM_i=å(m_i[r_i,V_i]);

Если тело вращается относительно неподвижной оси,

тогда и только тогда M=Iw;

Кинетическая энергия  твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной  оси.

;

Если x,y,z – главные оси инерции, то

*V_i=[w,r_i];       T=1/2åm_iV_i²;         V_i²=[w,r_i]=w²R_i²; T=1/2åm_iR_i²w²=1/2(Iw²)=(Iw²)/2;

Работа, совершаемая  внешними силами при вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

;

*U=const Þ dT=dA; d(1/2(Iw²))=1/2(I^.2w_zdw_z)=Ib_zw_zdt=Ib_zdj (т.к. b_zdt=dw_z и w_zdt=dj); Ib_z=N_z; dT=N_zdj=dA Þ A=_j1ò^j2(N_zdj);

Кинетическая энергия  твердого тела  при плоском движении.

движение можно разложить  на поступательное и вращательное. V_i=V_c+[w,r_i]; r_i – радиус-вектор точки m_i относительно центра масс. T_i=1/2åm_iV_i²;

=

,

где - расстояние от частицы массы до оси вращения.

Если в качестве точки  O взять центр масс тела C, то , будет равен 0.

И кинетическую энергию можно  представить в виде: .

Уравнение динамики для вращения твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

dMz/dt = N_{z внешн;}

M_z = I_zw_z;

w_z = dj/dt;

b_z = dw_z/dt;

dM_z/dt = I_zdw_z/dt=I_zb_z=I_zj^** (2-ая производная) = N_{z внешн} ;

j₀(0) = j_0;

w_z(0) = w_z0.

*{mW_c=åF_внеш,    dM/dt=åN_внеш};      N=Ib,

 M=Iw (если ось вращения является осью симметрии); E_пол=mgh_c+(mV²)/2+(Iw²/2);

З-н сохр импульса:

если F_внеш=0 Þ mV_c=const;

 З-н сохр момента имп-са: если N_внеш=0 Þ M=const;

соотв и для проекций на оси.

Уравнение динамики для плоского движения твёрдого тела.

Плоское движение т. тела –  движение, при котором все точки  твёрдого тела движутся в параллельных неподвижных плоскостях.

( т.е. существует бесчисленное  кол-во возможностей разложения)              ;   

  ;          .

Пл движ можно рассм как поступат+вращат, рассм только вращат отн оси Z.       M_iz=R_i(m_iV_i)=R_im_iR_iw_z=(R_i)²m_iw_z;

åM_iz=w_zåm_i(R_i)²=w_zI_z=M_z; M_z=I_zw_z;

Гироскоп. Прецессия  гироскопа.

Выводы: 1.Направление  ; 2. пропорциональна .

Гироскоп – массивное симметричное тело, вращающееся вокруг своей оси симметрии.

Прецессия — явление вращения гироскопа вокруг вертикали под действием силы тяжести.

(явление, при котором  ось вращающегося объекта поворачивается, например, под действием внешних  моментов.)

Если ось неподвижна: M=Iw;       w^| - угловая скорость прецессии.       w_рез=w+w^|;

M_рез=I_w’w^|+I_ww; I_w’ ¹ I_w;

Считаем, что w^|<<w, тогда M_рез»M, w_рез»w; Считаем, что M и w совпадают с осью вращения гироскопа.

N_0внеш=[r_c,mg];           За dt dM₀=N_0внешdt;

N^M Þ не изменяет длины М.

w^|=dj/dt; q - угол между осью вращения и вертикалью.

|dM₀|=M₀sinqdj;    dM₀=[dj,M₀];    |[w^|,M₀]|=|N₀|;      |w^||=|N₀|/|M₀|;

|M₀|=I_wwsinq;    |N₀|=mgl=r_csinqmg;

|w^||=(r_csinqmg)/(I_wwsinq)=(r_cmg)/(I_ww)~1/w;

 Итого: w^|=(r_cmg)/(I_ww)~1/w;

Преобразования  Лоренца:

где  — фактор Лоренца, и  — радиус-векторы события относительно систем S и S'.

Преобр Лоренца: g=1/(1-V²/c²)^1/2, x^|=g(x-Vt), y^|=y, z^|=z,          t^|=g(t-Vx/c²);    Их вывод: сис-мв К^| движ вдоль оси x сис-мы К. Предп: а) V<<c Þ x^|=x-Vt; б) x^|=g(x-Vt), g=f(V/c)_V<<c®1;

в) удовлетворяет постулатам СТО.

Рассм движ-ие фронта волны: K: x^|_ф=g(x_ф-Vt) (1); 

 K^|: x_ф=g(x^|_ф-Vt^|) (2);        (1) Þ ct^|=g(ct-Vt),      (2) Þ ct=g(ct^|-Vt);

перемножим их: c²tt^|=g²(c-V)tt^|;     g=(c²/(c²-V²))^1/2=1/(1-V²/c²)^1/2;

Преобр врем: (1): x^|=g(x-Vt);        (2): x=g(x^|+Vt);

x=g(g(x-Vt)+Vt)=g²(x-Vt)+g(Vt^|);

 t^|=(1/(gV)){-g²x+g²Vt+x}=(1/(gV)){x(1-g²)+g²Vt}=(g/V){x(1/g²-1)+Vt}; 1/g²-1=1-V²/c²-1=-V²/c²;       t^|=(g/V){(-V²/c²)x+Vt}=g{t-Vx/c²};

Принципы СТО. Относительность  понятия одновременности.

1-й постулат  СТО: все физические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта и уравнения их описывающие инвариантны.

2-й постулат  СТО: скорость света в вакууме не зависит от движения источника и одинакова во всех инерциальных системах отсчёта.

Относительность одновременности:

Если два разнесённых  в пространстве события (например, вспышки  света) происходят одновременно в движущейся системе отсчёта  , то они будут неодновременны относительно «неподвижной» системы . При Δt' = 0 из преобразований Лоренца следует

Интервал — расстояние между двумя событиями в пространстве-времени, являющееся обобщением евклидового расстояния между двумя точками. Интервал лоренц-инвариантен, то есть не меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой, и, даже более, является инвариантом (скаляром) в специальной и общей теории относительности.

Закон всемирного тяготения.Космические скорости).

Гравитацией(тяготением)наз. Универсальное взаимодействие (притжение) между любыми видами материи). З-н всемирного тяготения: F=(Gm₁m₂/r²), где G-гравитационная постоянная, r-растояние между м.т. еще можно представить в векторной форме: F₁₂=(Gm₁m₂/r²)e₁₂, где e₁₂-единичный вектор(орт), направленный от первой м.т. ко второй. Для того, чтобы тело стало спутником Земли, т.е. двигалось по круговой околоземной орбите, ему нужно сообщить скорость v₁, значение которой определяется вторым законом Ньютона. Положив радиус орбиты равным радиусу Земли R, напишем уравнение mv₁²/R = mg. Здесь m – масса тела, v₁²/R – ускорение, mg – сила тяжести, действующая на тело. Из написанного уравнения следует, что . Эта скорость называется первой космической скоростью и она равна v₁ = 8 км/с. Скорость v₂, которую нужно сообщить телу при запуске с Земли для того, чтобы оно вышло из сферы земного притяжения, называется второй космической скоростью. Для нахождения v₂ воспользуемся законом сохранения энергии. В момент запуска полная энергия тела равна E = mv₂²/2 – GMm/R, M – масса Земли. При удалении тела «на бесконечность» полная энергия становится равной нулю (мы ищем минимальное значение v₂, поэтому считаем, что скорость тела на бесконечности равна нулю). Приравняв выражение для энергии E нулю, получим для v₂ значение . Если пренебречь различием между силой тяжести mg и силой гравитационного притяжения тела к Земле, можно написать равенство mg = GMm/R². Отсюда GM/R = gR. Следовательно, выражение для v₂ можно представить в виде , которое равно 11 км/c. Отметим, что значение v₂ не зависит от направления, в котором запускается тело с Земли. От этого направления зависит лишь вид траектории, по которой тело удаляется от Земли. Скорость v₃, которую нужно сообщить телу при запуске с Земли для того, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, называется третьей космической скоростью. Подставив в вместо M массу Солнца и вместо R – радиус земной орбиты, получим значение скорости, равное 42 км/c. Такова была бы третья космическая скорость, если бы Земля в момент запуска была неподвижна и не притягивала бы тело к себе. Но Земля сама движется относительно Солнца со скоростью 30 км/c. Поэтому при запуске в направлении орбитального движения Земли скорость 42 км/с относительно Солнца достигается при скорости равной 42-30=12 км/c, а при запуске в противоположном направлении 42+30=72 км/с. Таковы были бы минимальное и максимальное значения v₃, если бы не было силы притяжения тела к Земле. С учетом этого притяжения для третьей космической скорости получаются значения от 17 до 73 км/с.

Длина тел в  разных системах отсчёта. Если длину (форму) движущегося объекта определять при помощи одновременной фиксации координат его поверхности, то из преобразований Лоренца следует, что линейные размеры такого тела относительно «неподвижной» системы отсчёта сокращаются:

где  — длина вдоль направления движения относительно неподвижной системы отсчёта, а  — длина в движущейся системе отсчёта, связанной с телом (т. н. собственная длина тела). При этом сокращаются продольные размеры тела (то есть измеряемые вдоль направления движения). Поперечные размеры не изменяются.

Длина тела в разных системах отсчёта. K движ отн K^| со скор V: K^|: l₀=x₂^|-x₁^|, K: l=x₂-x₁; x₁^|=g(x₁-Vb), x₂^|=g(x₂-Vb) (см преобраз лор-ца); x₂^|-x₁^|=l₀=g(x₂-x₁)=gl; l=l₀/g; l₀ – собственная длина, в сис-ме, где тело покоится, это лоренцово (или фитцжеральдово) сокращение.

Релятивистское выражение  для энергии и импульса. Преобразование импульса энергии.

Релятивистское  выражение для энергии и импульса.

Если частица с массой m движется со скоростью  , то её энергия и импульс имеют следующую зависимость от скорости:

При нулевой скорости, энергия частицы  называется энергией покоя: . В современной физической литературе, принято, что m — масса частицы не зависит от скорости, являясь инвариантом относительно преобразований Лоренца, и является величиной неаддитивной. Понятие «релятивистской массы», зависящей от скорости не используется, хотя оно и встречается в ранних работах по теории относительности. Историческая причина введения этого понятия была связана с попытками сохранить для релятивистского импульса классическую форму: .

При приближении скорости тела к скорости света, его энергия  и импульс стремятся к бесконечности. Это одна из причин, по которой «обычные»  объекты неспособны двигаться быстрее  скорости света. Для частицы с  ненулевой массой даже достижение скорости света потребует затраты бесконечной  энергии. Заметные отклонения от классических выражений для энергии и импульса происходят при скоростях близких  к скорости света. Если скорости относительно невелики, то отклонения от классической динамики незначительны. Например, при  скорости u=c/4, относительная разница  релятивистского и классического  импульса составляет всего 3%.

Между релятивистской энергией и импульсом существуют следующие  связи:

Эти формулы остаются справедливыми  и для объектов, движущихся со скоростью  света. В этом случае их масса должна быть равна нулю m = 0.

Релятивистское  преобразование скоростей.

Непосредственным следствием преобразований Лоренца является релятивистское правило сложения скоростей. Если некоторый  объект имеет компоненты скорости относительно системы S и  — относительно S', то между ними существует следующая связь:

В этих соотношениях относительна скорость движения систем отсчёта v направлена вдоль оси x. Релятивистское сложение скоростей, как и преобразования Лоренца, при малых скоростях ( ) переходит в классический закон сложения скоростей.

Если объект движется со скоростью  света  вдоль оси x относительно системы S, то такая же скорость у него будет и относительно S': . Это означает, что скорость является инвариантной (одинаковой) во всех ИСО.

***   K: V_x=dx/dt, V_y=dy/dt, V_z=dz/dt;     K^|: V_x^|=dx^|/dt, V_y^|=dy^|/dt, V_z^|=dz^|/dt;       dx=g(dx^|+V₀dt^|),  dy=dy^|,  dz=dz^|,  dt=g(dt^|V₀dx/c²); dx/dt=(dx^|+V₀dt^|)/(dt^|+V₀dx^|/c²);        V_x=(V_x^|+V₀)/(1+V₀V_x^|/c²); V_y=(V^|_y’(1-V₀²/c²)^1/2)/( 1+V₀V_x^|/c²);   V_z=(V^|_z’(1-V₀²/c²)^1/2)/( 1+V₀V_x^|/c²); dx^|=g(dx-V₀dt); dt^|=g(dt-V₀dx/c²);      Vx^|=(dx-V₀dt)/(dt-V₀dx/c²)=(dx-V₀dt)/(dt(1-V₀V_x/c²))=(V_x-V₀)/(1-V₀V_x/c²);       dy^|=dy; V_y^|=dy/(dtg(1-V₀V_x/c²))=(V_y(1-V₀²/c²)^1/2)/(1-V₀V_x/c²);   соотв V_z^|=(V_z(1-V₀²/c²)^1/2)/(1-V₀V_x/c²); пусть частица движется параллельно Ox и Oy^|, тогда V_x=|V|, V^|_x’=|V^||: V=(V^|+V₀)/(1-V₀V_x/c²);

Преобразование  импульса энергии

Аналогично преобразованиям  Лоренца для времени и координат, релятивистские энергия и импульс, измеренные относительно различных  инерциальных систем отсчёта, также  связаны определёнными соотношениями: где компоненты вектора импульса равны . Относительная скорость и ориентация инерциальных систем отсчёта S, S' определены также как и в преобразованиях Лоренца.

Линия тока – кривая, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением скорости.

Линии тока не пересекаются. Для наглядного представления течения  жидкости линии тока проводят так, что  их густота пропорциональна скорости: u ~ N/S , где N – количество линий тока, которые пересекают площадку площадью S перпендикулярно к ее плоскости.

Трубка  тока – область пространства, в которой протекает жидкость, которая со всех сторон ограничена линиями тока.

Если скорость в каждой точке пространства остается постоянной, то течение жидкости называется стационарным.

Ламинарное  течение – такое движение жидкости, в котором жидкость движется в виде слоев, которые скользят друг относительно друга, не смешиваясь.

При турбулентном течении жидкость перемешивается, то есть вектор скорости в данной

точке пространства изменяется хаотическим образом.

Теорема о неразрывности струи.

Возьмем трубку тока достаточно тонкую, чтобы скорость частиц была одинакова во всех точках поперечного  сечения. Объем жидкости, проходящей за время Dt через поперечное сечение S1 равно: V1 = S1u1Dt , а через поперечное сечение S2: V2 = S2u2Dt .

Так как жидкость несжимаема, то за одинаковое время

через разные сечения проходит одинаковое количество

жидкости.

V1 = V2 , то есть S1u1Dt = S2u2Dt ;

S1u1 = S2u2 . (1)

Теорема о неразрывности  струи: для несжимаемой жидкости при стационарном течении произведение Su в любом сечении данной трубки тока имеет одинаковое значение: Su=const.

Уравнение Бернулли.

За Dt  Dv1=Dv2=Dv в силу неразрывности струи. Возьмём Dl достаточно малый, чтоб в выделенном объёме Dv V, p, h можно было считать const. DE=((rDv(V₂)²)/2+rDvgh₂)-( (rDv(V₁)²)/2+rDvgh₁) – з-н сохр энергии. Жидкость идеальная, значит изменение энергии равно работе сил давления: DE=A=p₁S₁Dl₁-p₂S₂Dl₂=(p₁-p₂)Dv; (p₁-p₂)Dv=Dv((r(V₂)²)/2+rgh₂-(r(V₁)²)/2-rgh₁); (r(V₁)²)/2+rgh₁+p₁=(r(V₂)²)/2+rgh₂+p₂ (т.к. S₁ и S₂ были выбраны произвольно), но учитывая допущение S₁®0, S₂®0 Þ трубка тока вырождается в линию.

Вывод: в стационарно текущей  идеальной жидкости вдоль любой  линии тока выполняется условие: (rV²)/2+rgh+p=const;

Теорема о неразрывности струи. Линии тока – линии, вдоль которых вектор скорости течения жидкости направлен по касательной. Часть жидкости, ограниченная линиями тока наз-ся трубкой тока. Частицы при своём движении не пересекают стенок трубки тока. Жидкость несжимаемая Û r=const; Теорема о неразрывности струи: S₁V₁=S₂V₂=const; Д-во: возьмём трубку тока достаточно тонкую, чтоб в любом её перпендикулярном сечении скорость была постоянная. Объём жидкости, прох через сеч S₁ и S₂ в ед времени должен быть постоянным (т.к. жидкость несжимаемая): S₁V₁Dt=S₂V₂Dt Þ S₁V₁=S₂V₂ ч.т.д. (т.к. S₁ и S₂ были выбраны произвольно).

 бернулли   За Dt  Dv1=Dv2=Dv в силу неразрывности струи. Возьмём Dl достаточно малый, чтоб в выделенном объёме Dv V, p, h можно было считать const. DE=((rDv(V₂)²)/2+rDvgh₂)-( (rDv(V₁)²)/2+rDvgh₁) – з-н сохр энергии. Жидкость идеальная, значит изменение энергии равно работе сил давления: DE=A=p₁S₁Dl₁-p₂S₂Dl₂=(p₁-p₂)Dv; (p₁-p₂)Dv=Dv((r(V₂)²)/2+rgh₂-(r(V₁)²)/2-rgh₁); (r(V₁)²)/2+rgh₁+p₁=(r(V₂)²)/2+rgh₂+p₂ (т.к. S₁ и S₂ были выбраны произвольно), но учитывая допущение S₁®0, S₂®0 Þ трубка тока вырождается в линию. Вывод: в стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие: (rV²)/2+rgh+p=const;