Равноускоренное движение

Равноускоренное движение

 

 

 

Ускорение

Скорость равноускоренного движения

Проекции скорости и ускорения

График скорости

Перемещение тела при равномерном  движении

Перемещение тела при равноускоренном  прямолинейном движении

Уравнение для координаты точки при равноускоренном движении

Связь проекции перемещения  тела с конечной скоростью при  равноускоренном движении

 

Движение любого тела в  реальных условиях никогда не бывает строго равномерным и прямолинейным. Движение, при котором тело за равные промежутки времени совершает неодинаковые перемещения, называют неравномерным  движением.

 

Ускорение. При неравномерном  поступательном движении скорость тела изменяется с течением времени. Процесс  изменения скорости тела характеризуется  ускорением. Ускорением называется векторная  величина, равная отношению очень  малого изменения вектора скорости  к малому промежутку времени Δt , за которое произошло это изменение:

 

  .  (2.1)

 

Если за промежуток времени  Δt тело из точки А траектории переместилось  в точку В и его скорость изменилась от  до  , то изменение скорости  за этот промежуток времени равно разности векторов  и :

 

.

 

Направление вектора ускорения  совпадает с направлением вектора  изменения скорости  при очень  малых значениях промежутка времени  Δt , за который происходит изменение  скорости.

 

Если тело движется прямолинейно и скорость его возрастает по модулю, т. е. , то направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора скорости  (рис. 7); при убывании скорости по модулю, т. е. при , направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости  (рис. 8).

 

 

 

При движении тела по криволинейной  траектории направление вектора  скорости изменяется в процессе движения, вектор ускорения  при этом может  оказаться направлен под любым  углом к вектору скорости  (рис. 9).

 

 

 

Самый простой вид неравномерного движения — это равноускоренное  движение. Равноускоренным называется движение с ускорением, постоянным по модулю и направлению:

 

. (2.2)

 

Из формулы (2.1) следует, что  при выражении скорости в метрах в секунду, а времени в секундах ускорение выражается в метрах на секунду в квадрате:

 

.

 

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно и  равноускоренно движущейся точки, при  котором за время 1 с скорость точки изменяется на 1 м/с.

 

Скорость равноускоренного движения. При равноускоренном движении с начальной скоростью  ускорение  равно

 

, (2.3)

 

где  — скорость в момент времени t. Отсюда скорость равноускоренного движения равна

 

               .(2.4)

 

Проекции скорости и ускорения. Для выполнения расчетов скоростей  и ускорений необходимо переходить от записи уравнений в векторной  форме к записи уравнений в  алгебраической форме.

 

Векторы начальной скорости  и ускорения  могут иметь различные  направления, поэтому переход от уравнения (2.4) в векторной форме  к уравнениям в алгебраической форме  может оказаться довольно сложной  задачей. Задача нахождения модуля и  направления скорости равноускоренного движения в любой момент времени  может быть успешно решена следующим  путем. Как известно, проекция суммы  двух векторов на какую-либо координатную ось равна сумме проекций слагаемых  векторов на ту же ось. Поэтому для  нахождения проекции  вектора скорости на произвольную ось ОХ нужно найти  алгебраическую сумму проекций векторов  и  на ту же ось:

 

. (2.5)

 

Проекцию вектора на ось  считают положительной, если от проекции начала к проекции конца вектора  нужно идти по направлению оси, и  отрицательной — в противоположном  случае.

 

Так, в случае расположения векторов  и , представленном на рисунке 10, их проекции  и на ось ОХ положительны. В случае расположения векторов  и , представленном на рисунке 11, проекция  положительна, а проекция  отрицательна.

 

 

 

График скорости. Из уравнения (2.5) следует, что графиком зависимости  проекции скорости равноускоренного движения от времени является прямая. Если проекция начальной скорости на ось ОХ равна нулю ( = 0), то эта прямая проходит через начало координат (рис. 12).

 

 

 

Графики зависимости проекции скорости  от времени t для равноускоренных движений, происходящих с одинаковой начальной скоростью и различным ускорением , приведены на рисунке 13.

Перемещение тела при равномерном  движении. Установим связь проекции  вектора перемещения на координатную ось ОХ при равномерном прямолинейном  движении с проекцией  вектора  скорости на ту же ось и временем t.

 

    При равномерном  прямолинейном движении график  зависимости проекции скорости  от времени t является прямой, параллельной оси абсцисс (рис. 14).

 

 

 

Проекция  перемещения  тела за время t при равномерном движении со скоростью (см. формулу 1.1) определяется выражением

 

. (2.6)

 

Длина стороны ОА прямоугольника ОАВС (см. рис. 14) пропорциональна проекции скорости , длина стороны ОС — времени движения t. Следовательно, площадь прямоугольника ОАВС прямо пропорциональна произведению  или проекции перемещения .

 

Перемещение тела при равноускоренном  прямолинейном движении. График зависимости  проекции  скорости тела от времени  при равноускоренном прямолинейном  движении представлен на рисунке 15.

 

 

 

Для вычисления проекции перемещения  тела при равноускоренном прямолинейном  движении за время t найдем сначала перемещение за малый промежуток времени Δt.

 

 Если промежуток времени  Δt очень мал, то и изменение  скорости за этот промежуток  времени очень мало, т. е. движение  в течение этого промежутка  времени можно считать равномерным.  При равномерном движении со  скоростью, равной мгновенной  скорости в момент времени,  определяемый серединой промежутка  времени Δt, проекция перемещения   за промежуток времени Δt равна  и пропорциональна площади прямоугольника abcd. Площадь прямоугольника abcd равна площади трапеции ab'c'd.

 

Разбив промежуток времени 0 до t на малые промежутки времени Δt, мы получим, что проекция перемещения при равноускоренном прямолинейном движении за время t пропорциональна площади трапеции OBCD. Трапецию OBCD можно представить состоящей из прямоугольника OBAD и прямоугольного треугольника ABC. Сумма их площадей равна

 

.

 

Отсюда для проекции перемещения  при равноускоренном прямолинейном  движении получается выражение

 

. (2.7)

 

Уравнение для координаты точки при равноускоренном движении. Для нахождения координаты x точки в любой момент времени t нужно к начальной координате  точки прибавить проекцию вектора перемещения на ось ОХ (рис. 16):

 

.(2.8)

 

 

 

 Из выражений (2.8) и  (2.7) следует:

 

.(2.9)

 

Связь проекции перемещения  тела с конечной скоростью при  равноускоренном движении. Из уравнений (2.5) и (2.7) можно получить уравнение, связывающее проекции конечной скорости , начальной скорости  и ускорения с проекцией перемещения тела :

 

. (2.10)

 

В случае равенства проекции начальной скорости нулю получаем выражение

 

        . (2.11)

 

Из этого выражения  можно найти проекции скорости  или ускорения  по известному значению проекции перемещения :

 

, (2.12)

 

. (2.13)