Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Октября 2014 в 07:41, практическая работа
1. Найти законы изменения токов первой и второй ветвей в переходном режиме классическим методом.
2. Найти закон изменения напряжения на конденсаторе операторным методом.
3. Найти закон изменения тока через конденсатор, используя уравнение связи между iC и UC.
R1 = 1000 Ом;
R2 = 70 Ом;
R3 = 20 Ом;
E = 1200 В;
C = 10 мкФ;
L = 540 мГн;
Рис. 0.1. Схема для расчета
переходного процесса.
1. Найти законы изменения токов первой и второй ветвей в переходном режиме классическим методом.
1) Определим iL и UC в момент времени t = 0- (до коммутации). Так как к цепи приложена ЭДС E = const, то по цепи потечёт ток I = const.
XL = 0; XC = ∞;
Тогда
iL(0-) = 0 A;
UC(0-) = 0 B;
2) В момент коммутации t = 0 по законам коммутации:
iL(0) = iL(0-) = 0 A;
UC(0) = UC(0-) = 0 B;
По законам Кирхгофа:
0 = - R1∙i1(0) + R3∙iC(0) + UC(0);
E = R3∙iC(0) + UC(0) + R2∙iL(0) + L∙(diL/dt)t=0;
iL(0) = iC(0) + i1(0);
iC(0) = C∙(dUC/dt)t=0;
Выразим неизвестные величины
0 = (R1 + R3)∙iC(0) - R1∙iL(0) + UC(0);
diL/dt = [E - R3∙iC(0) - UC(0) – R2∙iL(0)]/L;
(dUC/dt)t=0 = iC(0)/C;
i1(0) = iL(0) – iC(0);
iC(0) = (R1∙iL(0) – UC(0))/(R1 + R3) = (1000∙0 - 0)/(1000 +20) =
= 0 A;
(diL/dt)t=0 = (E - R3∙iC(0) - UC(0) – iL(0)∙R2)/L = (1200 - 20∙0- 0 -0∙70)/0,54 =
= 2222,22 A/c;
(dUC/dt)t=0 = iC(0)/C = 0/10∙10-6 = 0 B/c;
i1(0) = iL(0) - iC(0) = 0 + 0 = 0 A;
Для нахождения diC/dt необходимо продифференцировать уравнение для момента времени t = 0:
0 = (R1 + R3)∙(diC/dt)t=0 - R1∙(diL/dt)t=0 + (dUC/dt)t=0
R1∙(diL/dt)t=0 - (dUC/dt)t=0 1000∙(2222,22) - 0
(diC/dt)t=0 = (R1 + R3) = 1000 + 20 =
= 2178,649 A/c;
Продифференцировав iC(0) = i1(0) – iL(0) для момента времени t = 0 получим:
(di1/dt)t=0 = (diC/dt)t=0 - (diL/dt)t=0
(di1/dt)t=0 = 2222,22 – 2178,649 = 43,573 A/c;
3) В принуждённом режиме t → ∞, когда переходный процесс закончился, данная цепь может быть рассчитана как цепь постоянного тока, с учётом:
XL = 0; XC = ∞;
iLпр = E/(R1 + R2) = 1200/(1000 + 70) = 1.121495 A;
E = - i1пр∙R1 + iCпр∙R3 + UCпр , но iСпр = 0, а i1пр=iLпр, тогда
UCпр = iLпр∙R1 = 1.121495∙1000 = 1121,495 B;
4) Переходный процесс t >> 0
Полное сопротивление цепи.
1 (R2 + jωL) ∙ R1
Z = jωC + R3 + R2 + jωL + R1;
Приравняв Z к нулю и заменив jω на p, получим характеристическое уравнение цепи.
1 (R2 + pL) ∙ R1
pC + R3 + R2 + pL + R1 = 0;
Составим квадратное уравнение относительно p. После несложных преобразований получили:
R1R2 + R1R3 + R2R3 + L/C R1 + R2
p2 + p L(R1 + R3) + CL(R1 + R3) = 0;
p2 + 263,98p + 194262,89 = 0;
Корни полученного характеристического уравнения:
p1,2 = -191,99 ± j420,525;
5) По виду корней характеристичес
iLсв = A1e-131,99tsin(420,525t + φ1);
i1св = A2e-131,99tsin(420,525t + φ2);
Тогда
iL(t) = iLпр + iLсв = 1,121 + A1e-131,99tsin(420,525t + φ1);
i1(t) = i1пр + i1св = 1,121 + A2e-131,99tsin(420,525t + φ2);
Определим постоянные интегрирования A1, φ1.
iL(t) = 1,121 + A1e-131,99tsin(420,525t + φ1);
diL/dt = -131,99∙ A1e-131,99tsin(420,525t + φ1)+ 420,525 ∙ A1e-131,99tcos(420,525t + φ1);
Если принять время t равным 0, то получим
0,000 = 1,121 + A1sin(φ1);
2222,22 = -131,99∙ A1sin(φ1) + 450,525∙A1cos(φ1);
A1sin(φ1) = -1,121;
A1cos(φ1) = [2222,22 – (-131,99)∙(-1,121)]/450,525
A1sin(φ1) = -1,121;
A1cos(φ1) = 4,932;
Решив систему получим значения:
A1 = 5,058; φ1 = -12,81o;
Таким образом, iL(t) = 1,121 + 5,058e-131,99tsin(420,525t – 12,81o) А;
Определим постоянные интегрирования A2, φ2.
i1(t) = 1,121 + A2e-131,99tsin(420,525t + φ2);
di1/dt = -131,99∙ A2e-131,99tsin(420,525t + φ2)+ 420,525 ∙ A2e-131,99tcos(420,525t + φ2);
Если принять время t равным 0, то получим
0 = 1,121 + A2sin(φ2);
43,573 = -131,99∙ A2sin(φ2) + 450,525∙A2cos(φ2);
A2sin(φ2) = -1,121;
A2cos(φ2) = [43,573 – (-131,99)∙(-1,121)]/450,525
A2sin(φ2) = -1,121;
A2cos(φ2) = -0,248;
Решив систему получим значения:
A2 = 1,149; φ2 = -102,488o;
Таким образом, i1(t) = 1,121 + 1,149e-131,99tsin(420,525t - 102,488o) А;
В результате расчета, классическим методом, были получены следующие законы изменения токов и напряжения в переходном режиме:
iL(t) = 1,121 + 5,058e-131,99tsin(420,525t – 12,81o) А;
i1(t) = 1,121 + 1,149e-131,99tsin(420,525t - 102,488o) А;
2. Найти закон изменения напряжения на
конденсаторе операторным методом.
1) До коммутации (t = 0-)
iL(0-) = 0 A;
UC(0-) = 0 B;
2) В момент коммутации t = 0 по законам коммутации:
iL(0) = iL(0-) = 0 A;
UC(0) = UC(0-) = 0 B;
3) Составим операторную схему для интервала времени t >> 0 (коммутация в исходной цепи уже произошла).
Рис.2.1. Операторная схема замещения
4) Найдем изображение тока в индуктивности IL(p) и напряжения на ёмкости UC(p). Составим уравнения для операторной схемы по законам Кирхгофа (метод контурных токов).
E/p = ILk(p)∙(pL + R1 + R2) – ICk(p)∙(R1)
0 = ICk(p)∙(1/(pC) + R3 + R1) - ILk(p)∙(R1)
1200/p = ILk(p)∙(0,54 p + 1070) - ICk(p)∙1000
0 = ICk(p)∙[1020 + 1/(p∙10∙10-6)] - ILk(p)∙1000
0,54 p + 1070 -1000
Δ = -1000 1020 + 1/(p∙10∙10-6) = (0,54 p + 1070)∙[ 1020 +
+ 1/(p∙10∙10-6)] – (-1000)∙( -1000) = 550,8p + 145400 + 107000000/p;
1200/p -1000
ΔIL(p) = 0 1020 + 1/(p∙10∙10-6) = (1200/p)∙(1020 + 1/(p∙10∙10-6)) +
+ 0∙1000= 1224000/p + 120000000/p2;
ΔIL(p) (1224000/p + 120000000/p2)∙p2
ILk(p) = Δ = (550,8p + 145400 + 107000000/p)∙p2 =
1224000p + 120000000
= p(550,8p2 + 145400p + 107000000) ;
0,54p + 1070 1200/p
ΔIL(p) = -1000 0 = 0∙(0,54p + 1070) + (1200/p)∙1000 =
= 1200000/p;
ΔIC(p) (1200000/p)∙p
ICk(p) = Δ = (550,8p + 145400 + 107000000/p)∙p =
1200000
= 550,8p2 + 145400p + 107000000 ;
1224000p + 120000000
IL(p) = ILk(p) = p(550,8p2 + 145400p + 107000000) ;
1200000
IC(p) = ICk(p) = 550,8p2 + 145400p + 107000000 ;
Изображение напряжения на конденсаторе определяется по закону Ома в операторной форме:
1 120000000000
UC(p) = IC(p) ∙ pC = p(550,8p2 + 145400p + 107000000 )
5) Перейдём от изображений к оригиналам, воспользовавшись формулой операционного исчисления.
F1(p) F1(0) F’1(pk)
F(p) = pF2(p) f(t) = F2(0) + ∑ pF’2(pk) epkt
где pk - корни полинома-знаменателя.
Определим оригинал UC(p) :
120000000000
UC(p) = p(550,8p2 + 145400p + 107000000)
Поделим все члены дроби на коэффициент при p2, k=550,8:
217864923,747
UC(p) = p(p2 + 263,98p +194262,89)
Запишем UC(p) при p = 0:
F1(0) = 217864923,747;
F2(0) = 194262,89;
Находим корни полинома-знаменателя:
p2 + 263,98p +194262,89= 0;
p1,2= -131,99 ± j 420,525;
Найденные корни подставим в числитель:
F1(p1) = 217864923,747;
F1(p2) = 217864923,747;
Найдем F’2(p):
F’2(p) = 2p + 263,98;
F’2(p1) = j841,051;
F’2(p2) = - j841,051;
Подставляем найденные величины в формулу разложения:
217864923,747 217864923,747
UC(t) = 194262,89 + -131,99+j 420,525∙ j841,051 ∙ e(-131,99 + j 420,525)t +
217864923,747
+ -131,99 - j 420,525 ∙ (- j841,051) ∙ e(-131,99 - j 420,525)t =
= 1121,495 + 1175,439e-131,99tsin(420,525t - 107,425o)
Таким образом: UC(t) = 1121,495 + 1175,439e-131,99tsin(420,525t - 107,425o) B;
3. Найти закон изменения тока через конденсатор, используя уравнение связи между iC и UC.
Если задан закон изменения напряжения на конденсаторе, то ток, протекающий через конденсатор, можно найти из уравнения: iC = C∙dUC/dt
UC(t) = 1121,495 + 1175,439e-131,99tsin(420,525t - 107,425o) B;
dUC/dt = -155146,0362-131,99tsin(420,
× cos(420,525t - 17,425o)
Следовательно
iC = e-131,99t ∙ [-1,5515sin(420,525t - 107,425o) + 4,943cos(420,525t - 17,425o)] =
= e-131,99t ∙ [-1,5515e--107,425j + 4,943e-17,425j] = e-131,99t ∙ [0.4646 + j1.48 +
+ 4,713 - 1.48j] = e-131,99t ∙ 5,1778] = 5,1778e-131,99tsin(420,525t)
Таким образом, ic = 5,1778e-131,99tsin(420,525t) A;
5. По аналитическим выражениям построить кривые тока в индуктивности и напряжения на емкости методом вращающегося вектора.
I. Построение кривой тока в индуктивности
iсв(t) = Iсвm(t) ∙ sin(420,525t – 12,81o),
где Iсвm(t) = 5,058e-131,99t = Ae-t/T;
Постоянная времени равна: τ = 1/α = 1/131,99 = 7,576∙10-3 c = 7,576 мс;
Таблица №5.1.
Построение экспоненты
Время в долях τ |
e-t/T |
t, мс |
Iсвm(t) |
0 |
1 |
0 |
5,05829 |
0,5τ |
0,607 |
3,78817 |
3,07038 |
τ |
0,368 |
7,57634 |
1,86145 |
1,5τ |
0,223 |
11,36451 |
1,12800 |
2τ |
0,135 |
15,15268 |
0,68287 |
2,5τ |
0,0821 |
18,94085 |
0,41529 |
3τ |
0,0498 |
22,72902 |
0,25190 |
Построение годографа вектора
T = 2π/ω = 2π/420,525 = 14,941∙10-3 c = 14,941 мс;
T/12 = 1,245∙10-3 c = 1,245 мс;
II. Построение кривой напряжения на емкости
uсв(t) = Uсвm(t)∙sin(420,525t - 107,425o),
где Uсвm(t) = 1175,439e-131,99t = Ae-t/T
Постоянная времени равна: τ = 1/α = 1/131,99 = 7,576∙10-3 c = 7,576 мс;
Таблица №5.2.
Построение экспоненты
Время в долях τ |
e-t/T |
t, мс |
Iсвm(t) |
0 |
1 |
0 |
1175,43930 |
0,5τ |
0,607 |
3,78817 |
713,49165 |
τ |
0,368 |
7,57634 |
432,56166 |
1,5τ |
0,223 |
11,36451 |
262,12296 |
2τ |
0,135 |
15,15268 |
158,68430 |
2,5τ |
0,0821 |
18,94085 |
96,50357 |
3τ |
0,0498 |
22,72902 |
58,53688 |
UC(t) = 1121,495 + 1175,439e-131,99tsin(420,525t - 107,425o)
Построение годографа вектора
T = 2π/ω = 2π/420,525 = 14,941∙10-3 c = 14,941 мс;
T/12 = 1,245∙10-3 c = 1,245 мс;
4. Рассчитать переходный процесс методом переменных состояния.
Возьмем систему, полученную при решении первого задания
0 = (R1 + R3)∙iC(0) - R1∙iL(0) + UC(0);
diL/dt = [E - R3∙iC(0) - UC(0) – R2∙iL(0)]/L;
(dUC/dt)t=0 = iC(0)/C;
i1(0) = iL(0) – iC(0);
Преобразуем систему
iC(0) = (R1∙iL(0) – UC(0))/(R1 + R3);
(diL/dt)t=0 = (E - R3∙iC(0) - UC(0) – iL(0)∙R2)/L;
(dUC/dt)t=0 = iC(0)/C;
Выразим переменные состояния diL/dt, dUC/dt
(diL/dt)t=0 = (E - R3∙iC(0) - UC(0) – iL(0)∙R2)/L;
(dUC/dt)t=0 = (R1∙iL(0) – UC(0))/[(R1 + R3)C]
Расчет СЛНДУ производится в программе «Mathcad».
Полученные точки наносятся на графики
тока и напряжения.
Информация о работе Рассчет переходных процессов в электрических цепях