Распределение Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна

1. Распределение Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна. Выражения для плотности энергии и энтропии и концентрации ультрарелятивистких бозонов и фермионов.

В этой главе мы будем изучать фазовом пространстве распределения для каждого сорта частиц i= e^-,γ…:

 (1)

Для некоторых целей удобно перенормируют распределения, чтобы дать безразмерной плотности:

 (2)

где - число спиновых состояний. Мы больше не будем писать явно факторы , с, k.

I.1. Распределение Ферми – Дирака

Статистика Ферми – Дирака в статистической физике – квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одно и то же квантовое состояние не может занимать более одной частицы); определяет распределение вероятностей нахождения фермионов на энергетических уровнях системы, находящейся в термодинамическом равновесии; предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл; позволяет найти вероятность, с которой фермион занимает данный энергетический уровень.

В статистике Ферми — Дирака равновесное распределение частиц в фазовом пространстве определяется формулой

 (3)

Где i – фермионы( e-,e+, ..); T – температура и µ - химический потенциал. В космологических приложений, химический потенциал, как правило, определяется числом частиц (если это число фиксировано) или разница в количестве частиц и античастиц. мы больше не будем писать явно факторы

 

I.2. Распределение Бозе – Эйнштейна

В статистической механике статистика Бозе – Эйнштейна определяет распределение тождественных частиц с нулевым или целочисленным спином (бозоны) по энергетическим уровням в состоянии термодинамического равновесия. В 1924 году она была предложена Шатьендранатом Бозе для описания фотонов. В 1924-1925 Альберт Эйнштейн обобщил её на системы атомов с целым спином.

Бозоны, в отличие от фермионов, не подчиняются принципу запрета Паули — произвольное количество частиц может одновременно находиться в одном состоянии. Из-за этого их поведение сильно отличается от поведения фермионов при низких температурах. В случае бозонов при понижении температуры все частицы будут собираться в одном состоянии, обладающем наименьшей энергией, формируя так называемый Бозе-конденсат.

Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, равновесное распределение частиц в фазовом пространстве, равняется

          (4)         

Где i – бозоны(фотон, глюон,...).

I.3. Выражения для плотности энергии и энтропии и концентрации ультрарелятивистких бозонов и фермионов.

Плотность концентрации , плотность энергии , и частичное давление определяется

 (5)

 (6)

 (7)

В тепловом равновесии, f_i задается (3) или (4), так что три величины n_i, p_i, ρ_i являются функциями T и µ. В релятивистском пределе T ≫m, T ≫ µ. Мы рассмотрим только случай µ≈0, потому что она соответствует числу частиц практически равно числу античастиц.

Для ультрарелятивистких  бозонов 

Поэтому концентрация частиц определяется формулой

=  (8) 

, ,       

                                                    (9)  () () 

Подставляя (9) в (8) получим

Составим  , →

Для нахождения n сначала вычислим интеграл

Имеем 

Известно, ;

→

Итак   (10)

Аналогично, плотность энергии

 (11)

Вычислим частичное давление

 (12)

В тепловом равновесии плотность энтропии определяется

 (13)

Для ультрарелятивистких  фермионов

Составим 

Имеем 

 (14)

Плотность энергии

 (15)

Частичное давление

(16)

В тепловом равновесии плотность энтропии определяется

 (17)

Плотность энтропии пропорциональна числу частиц. Так как концентрация частиц не подавляются фактором Больцмана, релятивистские частицы в целом доминировают плотность энтропии. Сегодня в нем преобладают фотоны и нейтрино. При более высоких температурах, она была преобладают частицы в тепловом равновесии с m<T. Предположим, температуры Т и исчезающих химических потенциалов плотность энтропии дается

 (18)

Где   (19)

Где - функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция) — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для положительных.

 

Функция оказывается на рисунке 1.

Рис. 1. Число спиновых состояний и в равновесии в зависимости от температуры. При T <1 МэВ, T_γ ≠T т. е. ≠ .

2. Концентрация фотонов и плотность энергии реликтового излучения

Важнейшим объектом применения статистики Бозе является электромагнитное излучение, находящееся в тепловом равновесии, - так называемое черное излучение. Реликтовое излучение (или космическое микроволновое фоновое излучение) – космическое электромагнитное излучение с высокой степенью изотропности и со спектром, характерным для абсолютно чёрного тела с температурой 2.725 К. Спектр наполняющего Вселенную реликтового излучения соответствует спектру излучения абсолютно чёрного тела с температурой 2.725 кельвина.

Черное излучение можно  рассматривать как газ, состоящий из фотонов. Фотоны не взаимодействуют друг с другом (принцип суперпозиции для электромагнитного поля), так что фотонный газ можно считать идеальным. В силу целочисленности момента импульса фотонов этот газ подчиняется статистике Бозе

Распределение фотонов  по различным квантовым состояниям с определенными значениями импульса и энергиями дается формулой c

 (20)

Считая объем достаточно большим, перейдем от дискретного к  непрерывному распределению собственных  частот излучения. Число колебаний  с компонентами волнового вектора k в интервалах d³k = dk_xdk_ydk_z равно Vd³k/(2π)³, а число колебаний с абсолютной величиной волнового вектора в интервале dk есть соответственно

Отсюда следует, что  число фотонов в интервале  частот ω→ω+dω

 (21)

а умножив еще на , получим энергию излучения, заключенную в этом участке спектра:

 (22)

При малых частотах ( ) формула (22) дает формулу Рэлея—Джинса.

 (23)

В обратном предельном случае больших частот ( ) формула (22) дает

Полное число фотонов  в черном излучении есть

Концентрация фотонов

Плотность энергии:

=2; = =pc;

3. Спиновые степени свободы элементарных частиц и их учет в распределении Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна

Известно частицы как ожидаются, будет в состоянии теплового равновесия в ранней Вселенной. Масса дает минимальную температуру, для которой вид релятивистского, за исключением легких кварков и глюонов, которые, как ожидаются, существуют как свободные частицы только над кварк-глюонной температуры фазового перехода ~ 400 МэВ. Ниже этой температуры кварки связываются в адроны, в основном пионы с малым числом мезонов, нуклонов и другие возбужденные адроны. Число спиновых состояний, g, является комбинацией 3-х факторов. Первым фактором является количество подвидов в том числе античастиц, например, 1 фотон и 6=3 нейтрино+3 антинейтрино.Вторым фактором является число взаимодействующих спиновых состояний на подвиды, 1 для нейтрино, 2 для других фермионов со спином 1/2, 2 для безмассовых бозонов со спином 1 и 3 для массивных бозонов со спином 1. Наконец, фактором (7/8) связано с принципом Паули для фермионов.

Спиновые степени свободы  элементарных частиц выражаются в таблице 1

Таблица 1

Particles		Mass	Charge	Spin	g
photon γ		0	0	1	1×2=2
neutrinos νe, νµ, ντ		<10eV	0	1/2	6×1×(7/8)=5.25
charged leptons	e	0.511 MeV	1	1/2	2×2×(7/8)=3.5
	µ	105.66 MeV	1	1/2	2×2×(7/8)=3.5
	τ	1777.05 MeV	1	1/2	2×2×(7/8)=3.5
quarks (3 colors)	d	~0	−1/3	1/2	6×2×(7/8)=10.5
	u	~0	2/3	1/2	6×2×(7/8)=10.5
	s	~ 170 MeV	−1/3	1/2	6×2×(7/8)=10.5
	c	~ 1.3 GeV	2/3	1/2	6×2×(7/8)=10.5
	b	~ 4.3 GeV	−1/3	1/2	6×2×(7/8)=10.5
	t	~ 170 GeV	2/3	1/2	6×2×(7/8)=10.5
gluons g		0	0	1	8×2=16
weak bosons	W	80.41 GeV	1	1	2×3=6
	Z	91.187 GeV	0	1	1×2=3

 

4. Распределение Больцмана для нерелятивистских массивных частиц

В случае нерелятивистского разреженного газа поэтому f 1.В этом случае фактор Больцмана ехр(-m/T) резко снижает число частиц. Если = 0 и Т=0 концентрация частиц равняется нулю n (Т=0, =0)= 0. Равновесное распределение частиц в фазовом пространстве определяется формулой

           

 ₍₂₄₎

_{Анологично  имеем}

 (25)

5. Вывод

Распределения Бозе-Эйнштейна  и Ферми-Дирак играют важную роль в вычислении равновесного распределения  частиц в фазовом пространстве в  релятивистском случае. Для нерелятивистских массивных частиц используем распределение Больцмана. Современная космология, кажется, перевернули последовательность событий, так как состояние теплового равновесия произошло в прошлое, а не будущее.

 

Список литературы

1. Rich J. Fundamentals of Cosmology. Edition 2010. – 328p.
2. Статистическая физика/ Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Ч. 1. – М. Наука, 1976. – 584 с.