Расчет нейтронного потока в реакторе в форме бесконечного бруса с бесконечным отражателем и с вакуумной полостью в центре

Цели и задачи:

Для реактора соответствующей  геометрии, окруженного отражателем  нейтронов и имеющим возможную  центральную полость, заполненную  либо вакуумом, либо черным телом, согласно принятому варианту необходимо:

• составить эскиз реактора и математическую модель критической задачи;
• показать общий характер поведения функций, встречающихся в решениях волновых уравнений для активной зоны и отражателя;
• получить выражение для критического уравнения реактора;
• найти законы распределения нейтронов в активной зоне и в отражателе в явном виде;
• представить графиком качественное распределение потока нейтронов;
• проверить правильность полученного критического уравнения, каким-нибудь асимптотическим переходом к известному решению;
• сделать заключение по работе.

 

Исходные данные:

форма реактора	центральная полость	отражатель
неограниченный брус	вакуум	бесконечный

 

Рис. 1 Эскиз реактора

1. Постановка критической  задачи

Математическая постановка этой задачи формулируется следующей  системой уравнений и краевых  условий в декартовых координатах:

ГУ:

1˚        

2˚        

3˚         

4˚         

5˚          

6˚         

7˚           

8˚           

При решении дифференциальных уравнений воспользуемся методом  Фурье:

Так как данную двумерную  задачу можно представить в виде двух бесконечных пластин с бесконечным  отражателем, то при подстановке  последних выражений в дифференциальные уравнения и их интегрировании получим:

Поставляем граничные условия в получившиеся выражения. Из ГУ 7˚ получаем:  Из ГУ 8˚:   Тогда поток для бесконечного отражателя имеет следующий вид:

Из условия 1˚ имеем следующее:

Из условия 2˚ получаем:

Тогда потоки в АЗ и в  отражателе можно записать как:

Удовлетворим условиям 3˚, 4˚, 5˚ и 6˚. Получаем следующие критические  уравнения:

Воспользуемся эффективной  добавкой и найдем её. Эффективная  добавка определяется соотношением:

где - характерный размер реактора с учетом эффективной добавки; - истинный размер активной зоны реактора.

Найдем эффективную добавку, представив последнее выражение  в следующем виде:

.

Так как у нас задача двумерная (с двумя бесконечными пластинами) то эффективных добавки  будет две:

Подставляя данные выражения  в критические уравнения, получим:

Выразив из критических уравнений  и получаем эффективные добавки:

Метод эффективной добавки  позволяет упростить решение  данной задачи тем, что реактор представляется «голым» (без отражателя). С учетом эффективной добавки поток в  активной зоне реактора запишется:

 

Рис. 2 Общий вид поведения функции

2. Определение закона распределения потока в явном виде

Воспользуемся следующим  граничным условием:

    

Подставляем данное условие в получившееся выражение потока:

Записанное граничное  условие говорит о том, что  поток в центре вакуумной полости  имеет максимальное значение. Получаем закон распределения потока в  явном виде:

Рис. 3 Пространственное распределение  потока нейтронов 

 

Вывод

В результате проделанной работы был  нарисован эскиз реактора в форме  неограниченного бруса с вакуумной полостью в центре реактора и с бесконечным отражателем. После была сформулирована математическая постановка критической задачи в одногрупповом приближении. В результате решения дифференциальных уравнений и подстановки их в граничные условия, были найдены критические уравнения, через которые были определены эффективные добавки. Использование метода эффективной добавки значительно упростило решение данной задачи, в результате чего была получена математическая постановка для реактора без отражателя с вакуумной полостью. Далее был определен явный вид закона распределения потока нейтронов в реакторе. В конце был построен график пространственного распределения потока нейтронов в зависимости от координаты в неограниченном брусе.