Расчет электростатического поля

Задание №1

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Дан разрез многослойного шара рис. 1.4 с известными внутренними и внешними радиусами концентрически расположенных слоев. Слой диэлектрика характеризуется относительной диэлектрической проницаемостью, причем в слое с e₁ равномерно распределен заряд с объемной удельной плотностью r. Внутренний слой проводника характеризуется свободным зарядом q, удельная поверхностная плотность которого s. Наружный проводящий слой заземлен.

Требуется:

1) Пользуясь теоремой Гаусса, сформулировать и рассчитать распределение напряженности электростатического поля и электрическую индукцию, заданную в системе заряженных слоев;

2)  Построить кривые изменения напряженности поля и электрической индукции в зависимости от радиуса.

 

Рис. 1.4.

 

Табл. 1.1. Параметры шара для 24 варианта

Данные схемы   № вар.	R1	R2	R3	R4	e1	e2	e3	r	s
	м	м	м	м	-	-	-	10-4 Кл/м3	10-6 Кл/м2
4	0,02	0,03	0,04	0,05	2.7	1	4	2	1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Решение.

 

Для решения  этой задачи применим теорему Гаусса.

,

где V(S) – объем, заключенный внутри замкнутой поверхности S, сквозь которую определяется поток вектора электрической индукции D.

В данной задаче поле обладает сферической  симметрией, значит . Поэтому

, тогда

.

Будем применять эту формулу  последовательно для каждого  слоя и найдем символьные значения индукции и напряженности в каждом слое. Это означает, что мысленно внутри каждого слоя на расстоянии R от центра будем помещать сферическую поверхность, через которую вычисляется поток вектора .

Первый слой: , заряженный проводник, заряд сосредоточен на поверхности, тогда

Второй слой: , , нейтральный диэлектрик,

 

 

 

 

 

 

 

 

3

Третий слой: , , заряд распределен равномерно по диэлектрику, тогда

заряд, находящийся внутри поверхности интегрирования, равен  сумме q и q₂

Четвертый слой: . Представляет собой заземленный металлический экран.

Рассчитаем  зависимости D(R) и E(R).

Первый слой:

 

 

Второй слой:                       

 

 

 

Третий слой:

 

 

 

Четвертый слой:

 

4

 

Таблица 1. Особые точки графиков D(R) и E(R).

 

	1 слой		2 слой		3 слой		4 слой
R м	D(R)	E(R) В/м	D(R)	E(R) В/м	D(R)	E(R) В/м	D(R)	E(R) В/м
0	0	0	-	-	-	-	-	-
0,5		0		-	-	-	-	-
1	0	0		-	-	-	-	-
1,5	0	0		-		-	-	-
2	0	0	10-6	1.13*105		-	-	-
2,5	-	-	0.6*10-6	0.7232*105	-	-	-	-
3	-	-	0.4*10-6	0.502*105	0.4*10-6	0.186*105	-	-
3,5	-	-	-	-	1.2*10-6	0.5*105	-	-
4	-	-	-	-	1.8*10-6	0.75*105	0	0
4,5	-	-	-	-	-	-	0	0
5	-	-	-	-	-	-	0	0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

5