Прямоугольный резонатор

     Если р =0, то поле в резонаторе не меняется вдоль оси z. Обратимся к волноводной волне типа Е_mn. Здесь силовые линии электрического вектора в продольном разрезе имеют конфигурацию, показанную на рис. 6,а для случая n=1.

Рис.   6.  К вопросу  о существовании   колебаний  типа Е_mn0

     Данный рисунок отвечает случаю, когда рассматриваемый тип волны является распространяющимся, т. е. λ₀< λ_кр. Если же значение λ₀стремится к λ_кр, то длина волны в волноводе стремится к бесконечности и силовые линии вектора напряженности электрического поля приобретают вид «нитей», параллельных оси z (рис.6,б). В пределе при λ = λ_кр электрический вектор имеет лишь z-ю составляющую и граничные условия на двух идеально проводящих торцевых стенках резонатора выполняются автоматически независимо от расстояния l между ними. Таким образом, моды типа E_mn0 в прямоугольном объемном резонаторе возможны.

     Обратимся  теперь к колебаниям Н-типа. Здесь  исходная волна типа H_mn в волноводе, по определению, имеет электрические векторы, лежащие лишь в поперечном плоскости. Если все составляющие векторов поля не будут меняться вдоль оси z, как это должно быть в случае резонаторной моды типа H_mn0, то поле в любой точке резонатора должно обратиться в нуль, поскольку граничные условия на стенках с координатами z=0 и z=l выполняться не могут. Таким образом, в прямоугольном объемном резонаторе колебания типа H_mno физически не существуют.

     Итак, классификация  типов колебаний в прямоугольном  объемном резонаторе включает в себя следующие этапы:

• одна из осей резонатора принимается за продольную ось регулярного прямоугольного волновода;

• устанавливается, какой  тип волны, Е_mn или Н_mn, существует в таком волноводе;

• определяется значение индекса  р — число стоячих полуволн, которые укладываются между торцевыми стенками.

     Следует заметить, что такой принцип классификации  в значительной степени условен, так как связан с произвольным выбором продольной оси регулярного прямоугольного волновода. Чтобы уяснить это, обратимся к рис.7,а, на котором изображена картина силовых линий векторов электромагнитного поля для колебания типа H₁₀₁. Если теперь резонатор повернуть в пространстве таким образом, чтобы ребро с размером l было ориентировано вдоль оси у (рис. 7, б), то этот же самый электромагнитный процесс должен быть назван колебанием типа Е₁₁₀. Легко проверить, что резонансные длины волн для обоих названных типов колебаний одинаковы.

Рис. 7. К вопросу об условном характере классификации

типов колебаний в прямоугольном  объемном резонаторе

 

Понятие основного  типа колебаний. На практике обычно стремятся к тому, чтобы при заданной резонансной частоте геометрические размеры колебательной системы были минимальными. Этого удается достичь, возбудив в резонаторе колебание основного (низшего) типа. Так принято называть моду с наибольшей резонансной длиной волны при фиксированных размерах резонансной полости.

     Индексы m, n, р для основного типа колебаний, очевидно, должны подбираться так, чтобы предельно уменьшить знаменатель в формуле (7). Ясно, что один из индексов при этом должен быть равен нулю, а два оставшихся — единице. Нулевой индекс соответствует той декартовой оси, вдоль которой ориентировано ребро с наименьшей длиной.

     Следует отметить, что в объемных резонаторах  могут существовать вырожденные моды, у которых резонансные длины волн совпадают, несмотря на то, что структуры поля совершенно различны. Примером могут служить колебания типов E₃₅₁ и H₁₃₅ в резонаторе кубической формы.

 

Структура электромагнитного  поля в прямоугольном резонаторе. Строгий подход к проблеме собственных колебаний электромагнитного поля в замкнутой полости прямоугольной формы с идеально проводящими стенками основан на поиске комплексно-значной функции (x, у, z), которая удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца

² + β₀² = 0                                                                    (19)

во всех внутренних точках резонатора. Это векторное уравнение  есть сокращенная форма записи трех скалярных уравнений относительно декартовых проекций _α (символом α обозначены х, у или z):    ²_α/x² + ²_α/y² + ²_α/z² + β₀² _α = 0      (20)

     Проведенное  ранее исследование наводит на  мысль о том, что среди всевозможных  решений таких уравнений должны  быть особо выделены функции вида трехмерных стоячих волн

 

со всевозможными комбинациями трех гармонических сомножителей. Прямая подстановка выражения (21) в уравнение (20) приводит к следующему выводу: уравнение Гельмгольца для резонатора имеет решение не при любом значении коэффициента фазы β₀, а лишь в том случае, когда этот параметр принадлежит дискретной совокупности, определяемой выражением

β₀² = (2π/ λ_{0 рез})² =  (mπ/ a)² + (nπ/ b)² + (pπ/ l)²                        (22)

где m, n, р — положительные целые числа, не равные нулю одновременно. Отсюда естественным образом вытекает полученное ранее соотношение для расчета резонансных длин волн вида (17).

     Теперь учтем,  что на идеально проводящих  стенках резонатора касательные  составляющие электрического вектора  должны обратиться в нуль. В развернутой форме это требование означает, что:

_x = 0   при y=0, y=b, z=0, z=l

_y = 0   при x=0, x=a, z=0, z=l                                                  (23)

_z = 0   при x=0, x=a, y=0, y=b

     Равенства (23) позволяют конкретизировать допустимые решения и записать их так:

_x = A cos(mπx/a) sin(nπy/b) cos(pπz/l)

_y = B sin(mπx/a) cos(nπy/b) sin(pπz/l)                                     (24)

_z = C sin(mπx/a) sin(nπy/b) cos(pπz/l)

где A, В, С - неизвестные пока коэффициенты.

     Далее следует  принять во внимание то, что  проекции электрического вектора внутри резонатора обязаны не только удовлетворять уравнению Гельмгольца (20), но и соответствовать векторному полю без источников, для которого

div = _x/x + _y/y + _z/z                                                                     (25)

     Подставив выражения (24) в формулу (25), приходим к выводу о том, что между амплитудными коэффициентами должна существовать линейная связь

A + B +C = 0                                                                           (26)

     Будем рассматривать  поле колебания типа Е_mnp, для которого _z=0 или в соответствии со вторым уравнением Максвелла _y/x - _x/y = 0. Отсюда получаем ещё одно уравнение связи:

B +A = 0                                                                                     (27)

Решая систему алгебраических уравнений (26) и (27) относительно неизвестных А и В, получаем

A = -C pm/(al((m/a)² + (n/b)²))

B = -C pn/(bl((m/a)² + (n/b)²))                                                          (28)

     Итак, комплексные амплитуды проекций вектора напряженности электрического поля для колебания типа Е_mnp в прямоугольном объемном резонаторе имеют вид

_x =  -C pm/(al((m/a)² + (n/b)²)) cos(mπx/a) sin(nπy/b) cos(pπz/l)

_y =  -C pn/(bl((m/a)² + (n/b)²))  sin(mπx/a) cos(nπy/b) sin(pπz/l)             (29)

_z = C sin(mπx/a) sin(nπy/b) cos(pπz/l)

где С – произвольный амплитудный коэффициент.

_x = јC  ω_резε₀/π sin(mπx/a) cos(nπy/b) cos(pπz/l)

_x = -јC  ω_резε₀/π cos(mπx/a) sin(nπy/b) cos(pπz/l)

_z = 0.

     Проекции векторов  электромагнитного поля для резонаторных  мод типа H_mnp находят аналогичным способом.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Практическая часть

 

Расчёт  прямоугольного резонатора с длинной  волны λ = 1 см

 

Дано:  длина волны λ = 1 см; удельная проводимость серебра σ = 62,5 МСм/м (стенки               резонатора покрыты серебром); низшая мода Н₁₀₁; тангенс угла потерь для воздуха (заполнение резонатора – воздух) tgδ = 10^-4; диэлектрическая постоянная ε_a = 8,8510^-12 ; магнитная постоянная μ₀ = 4π10^-7 ; напряжённость электрического поля Е_max = 300 .

 

Расчёт:     1. Размеры резонатора

                    λ =   2 / ((m/a)² + (n/b)² + (p/l)²) ^½ ,

 где  a = 0,7λ – длина резонатора, b = 0,3λ – ширина резонатора, l – высота резонатора;

m=1 – число вариаций поля по оси х, n=0 - число вариаций поля по оси y, p=1 - число вариаций поля по оси z.

a = 0,7λ = 0,7 (см)

b = 0,3λ = 0,3 (см)

l = p/((2/λ)² - (m/a)² - (n/b)² )^½ = 1/((2/10^-2)² - (1/0,007)² - (0/0,003)² )^½ = 0,71 (см)

Размер резонатора 0,70,30,71.

               

                  2. Добротность резонатора

                  Q = abl (a²+l²)/(a³(l+2b)+l³(a+2b))

где R_s – активное сопротивление на стенках резонатора.

R_s = _{= = 3,14}310⁸⁴3,1410^-7/(262,510^610-2) = 0,0435 (Ом), где с=310⁸ – скорость света в вакууме; ω= = 18,8410¹⁰ - циклическая частота.

Q = 0,04350,710^-20,310^-20,7110^-2((0,710^-2)²+(0,7110^-2)²)/((0,710^-2)³(0,7110^-2+20,310^-2)+ +(0,7110^-2)³(0,710^-2+20,310^-2)) = 4403

Добротность резонатора Q = 4403.

 

                   3. Энергия, запасённая в резонаторе

                   W_з = ε_aE²_max abl/8

W_з = 8,8510^-12(300¹⁰³)^20,710^-20,310^-20,7110^-2/8 = 1,4810^-7 (Дж)

Энергия, запасённая в резонаторе W_з = 1,4810^-7 (Дж)                 

 

                       4. Мощность потерь в резонаторе

                     P= W_з/Q_п

где Q_п – полная добротность.

Q_п = 1/(1/Q + tgδ) = 1/(1/4403 + 10^-4) = 3057

P = 1,4810^-718,8410¹⁰/3057 = 9,12 (Вт)

Мощность потерь в резонаторе P = 9,12 (Вт)