Проверка теоремы Гюйгенса – Штейнера методом вращательных колебаний

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ»

 

кафедра физики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лабораторная работа №  4

 

 

 

Проверка теоремы Гюйгенса –  Штейнера методом вращательных колебаний

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург, 2012 
РАБОТА № 4

Проверка теоремы Гюйгенса –  Штейнера методом вращательных колебаний 

Цель лабораторной работы. Определение момента инерции эталонного диска методом вращательных колебаний и экспериментальная проверка теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Приборы и принадлежности

 

Лабораторная установка (рис.1) включает колебательную систему  1, вращающуюся в горизонтальной плоскости, и устройство 2 для измерения жесткости используемых пружин.

К приборам и принадлежностям относятся  оптический датчик 3, с помощью которого измеряется период колебаний системы, компьютер с необходимым программным  обеспечением и концентратор для  подключения датчика к компьютеру. Устройства 2 и 3 в данном варианте работы не используют

 

Колебательная система (рис.2) состоит из закрепленного на вертикальной оси диска (шкива) 1, ремень 2 которого связан с упругими пружинами 3, зацепленными за штыри стойки. К шкиву жестко прикреплен металлический профиль 4 с рядом отверстий 5, в которых фиксируются грузы 6.

Теоретическая часть

 

Найдем  связь между моментом инерции J подвижной части колебательной системы и периодом колебаний T. В положении равновесия силы упругости пружин, а, следовательно, и силы натяжения нити с разных сторон от стола, равны. Обозначим эти силы F₀. Для выведения шкива из положения равновесия повернем его на угол j. По закону Гука силы упругости изменятся на kdj/2, здесь k – коэффициент жесткости системы последовательно соединенных пружин d – диаметр шкива Тогда натяжение одной пружины увеличится, а другой уменьшится на kdj/2, На шкив будет действовать возвращающий момент сил:

, 

 

    (1)

Согласно  основному уравнению  динамики вращательного движения

. (2)

Подставляя (1) в (2) и учитывая, что  , получаем дифференциальное уравнение для j:

. 

Из  теории дифференциальных уравнений следует, что его решение имеет вид:

.

Здесь j₀ и a – константы, определяемые начальными условиями, а

 (3)

– частота колебаний. Из формулы (3) видим, что момент инерции обратно пропорционален квадрату частоты:

. (4)

Здесь учтено, что  . Следовательно, моменты инерции подвижной части колебательной системы относятся как квадраты частот их колебаний. Окончательно получаем, что отношение моментов инерции подвижной части колебательной системы

.      (5)

Здесь нулевым индексом отмечены параметры системы, выбранной в  качестве эталонной.

Если  на диск установить на одинаковом расстоянии r от его оси в позициях (0,0), (1-1), (2-2), (3-3) или (4-4) (рис.3),  два одинаковых цилиндра массой m и радиусом R каждый, то их суммарный момент инерции относительно оси диска будет равен

    (6)

При расчете момента инерции каждого  из цилиндров была использована теорема  Гюйгенса - Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

Полный  момент инерции  системы, состоящей  из диска и двух цилиндров, установленных  на нем,  будет равен

   (7)

где - момент инерции диска, - момент инерции системы, принимаемой за эталонную, которая представляет собой диск и два цилиндра, расположенных в его центре, - момент инерции двух цилиндров, рассматриваемых как материальные точки, расположенных на расстоянии r от оси вращения диска. 

Подставляя формулу (7) в (5), получим формулу для экспериментального определения момента инерции эталонной системы

 

     (8)

Формула (8) получена при использовании теоремы Гюйгенса-Штейнера, а значит, хотя и косвенным образом, может быть использована для проверки правильности этой теоремы. Для этого достаточно убедиться, что значения моментов инерции эталонной системы , определенные при разных положениях цилиндров относительно оси вращения эталонной системы примерно одинаковы.

Если  момент инерции эталонной системы  определен, то по формуле (4) можно найти  жесткость колебательной системы в данном эксперименте

      (9)

Жесткость пружин, используемых в данном опыте, можно определить разными способами. Например, если к пружине подвесить  груз массой , то такая система будет представлять собой пружинный маятник с периодом колебаний , определив который экспериментально, можно найти жесткость пружины

Жесткость пружины можно  найти также в статическом  эксперименте, подвесив дважды к 

ней грузы весом  и , и определив удлинения пружин и . Тогда , и .

Отметим, что жесткости пружин, определенные разными способами, не обязательно  должны совпадать друг с другом, так как в колебательной системе будут представлять собой уже не жесткости пружин, а жесткость колебательной системы или динамическую жесткость системы в данном опыте.

 

Задание по подготовке к работе

 

1. Изучите описание лабораторной работы.
2. Подготовить бланк Протокола наблюдений (формат А4).
3. Создать Таблицу 1, в которую внести значения параметров

d=138

2мм, m=200 2г,

4. Создать Таблицу 2 для занесения результатов наблюдений и расчета физических параметров. Таблица должна содержать 7 столбцов и 10 строк следующих параметров(для времени - 5 строк)

5. Формулы расчета приборных погрешностей параметров вывести методом логарифмирования функций. Показать, что

..

6. Все формулы должны быть вписаны в первый левый столбец таблицы.
7. Используя формулу (9) и метод логарифмирования функции вывести формулу расчета полной погрешности жесткости колебательной системы методом переноса погрешностей.
8. Сформулировать алгоритмы обработки данных косвенных измерений выборочным методом и методом переноса погрешностей.

 Указания по проведению наблюдений

 

1. Установите цилиндры в центре диска (позиция (0-0)) и , если это необходимо, установите язычок диска под оптическим датчиком. Осторожно обращайтесь с подвижной системой. Не допускайте чрезмерного растяжения пружин – это может привести к потере их упругих свойств.
2. Отклоните язычок диска на угол примерно и измерьте время n =5 его колебаний с помощью любого датчика времени, имеющего точность с. Результат наблюдения занесите в Таблицу 2. Опыт повторите N=5 раз.
3. Устанавливая цилиндры в положениях (1-1), (2-2), (3-3), (4-4) на эталонном диске, повторите опыт в п.2 для каждого из положений цилиндров. Результаты измерений занесите в Таблицу 2.

Задание по обработке результатов

 

1. Заполните Таблицу 2, рассчитав параметры  их приборные погрешности.
2. Сопоставьте в Таблице 2 значения моментов инерции эталонной системы , определенных при различных положениях цилиндров  на диске и сделайте заключение о правильности теоремы Гюйгенса-Штейнера.
3. Используя две последние строки Таблицы 2, рассчитайте выборочным методом среднее значение момента инерции эталонной системы и его полную погрешность и  округлите конечный результат (см. пп.5 и 7задания по подготовке к работе).
4. Используя формулу (9), рассчитайте методом переноса погрешностей среднее значение жесткости колебательной системы и ее полную погрешность (см. пп. 6 и 7 задания по подготовке к работе) и округлите конечный результат..

 

 Контрольные вопросы

 

1. Опишите метод вращательных колебаний, который используется в лабораторной работе при измерениях моментов инерции  и периодов колебаний
2. Опишите устройство лабораторной установки.
3. Расскажите о порядке выполнения лабораторной работы и проведении  измерений. .
4. Что такое жесткость пружины и жесткость колебательной системы и каков их физический смысл?
5. Дайте определение момента силы, момента импульса, момента инерции абсолютно твердого тела относительно некоторой оси.
6. Сформулируйте основной закон динамики вращательного движения.
7. Напишите уравнение гармонических колебаний с затуханием и без затухания. Каков смысл входящих в него параметров?
8. Сформулируйте теорему Гюйгенса - Штейнера, которая используется для вычисления момента инерции тела относительно произвольной оси вращения.
9. Рассчитайте момент инерции тела по указанию преподавателя.