Производная в физике

Министерство образования Республики Башкортостан  
ГАОУ СПО Уфимский топливно-энергетический колледж

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                Специальность 230103

 

 

 

 

 

 

 

«Производная в физике»

 

Реферат

Дисциплина: математика

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

Студент гр. 1АС

Шлёнкина. Л.Н

Проверил:

Преподаватель по математике

Сухарева. Г.В

 

 

 

 

Уфа 2011

 

Содержание

 

 

 

 

1. Электрическое поле…………………………………………………1

2. Механика………………………………………………………….….2

3. Механические колебания и волны……………………………..…4

4.Электрический ток……………………………………………….….6

5. Техника и механическое движение……………………………….7

6.Механика формы движения………………………………………..8

7. Кинематика……………………………………………………….….9

8.Теплота………………………………………………………………..10

9.Теплота……………………………………….……………………….11

10. Геометрическая оптика.………………………………………….12

Список использованных источников……………………………….13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Электрическое поле.

Физический смысл напряженности электрического поля.

Величины отношения действующей на заряженный объект силы к количеству происходящих событий-взаимодействий заряженного объекта с заряженной средой. Есть величина постоянная характеристика электрического поля. Она же, есть производная по координате от силы Лоренца.

 

Напряженность электрического поля – это физическая величина, численно равная силе, действующей на единичный заряд при единичном событии-взаимодействии ( ) заряженного тела и поля (заряженной среды).

Задача:

Источник тока с электродвижущей  силой Е=220 В и внутренним сопротивлением r = 50 Ом подключен к прибору с  сопротивлением R.Чему должно быть равно  сопротивление R потребителя, чтобы  потребляемая им мощность была наибольшей?

По закону Ома сила тока в цепи есть

выделяемая в потребителе мощность P=I²R, то есть

Исследуем функцию P(R) на наибольшее с  помощью производной: P'(R) = 0 : r - R = 0, R = r = 50; При R = 50 функция P(R) принимает наибольшее значение. Следовательно, потребляемая мощность будет наибольшей при сопротивлении R =50 Ом.

Ответ: 50 Ом.                        

 

1

 

2.Механика.

 

 Механические колебания и волны.

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υ_x движения тела определяется выражением

В математике процедура  нахождения предела отношения  при Δt → 0 называется вычислением производной функции x(t) по времени t и обозначается как или как x'(t) или, наконец, как . Для гармонического закона движения x = x_m cos (ωt + φ₀). Вычисление производной приводит к следующему результату:

Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ = ωx_m достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = a_x тела при гармонических колебаниях:

следовательно, ускорение a равно производной функции υ(t) по времени t, или второй производной функции x(t). Вычисления дают:

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a(t) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x(t), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).

 

 

2

Задача:

Небольшое тело соскальзывает без  начальной скорости с вершины  гладкой горки высотой H, имеющей горизонтальный трамплин высотой h. При какой высоте h тело пролетит наибольшее расстояние s по горизонтали? Чему равно это расстояние?

Решение

Связываем нулевой уровень с  поверхностью Земли, используем закон  сохранения механической энергии: mgH = mgh + m ²/2. С момента отрыва тела от трамплина используем кинематические уравнения движения тела, брошенного горизонтально:

h = gt²/2 – по вертикали;

= s/t – по горизонтали, т.к. g_x = 0.

Время падения по вертикали совпадает  со временем движения тела по горизонтали. В итоге получаем выражение для  скорости в момент отрыва тела от трамплина: – которое подставляем в выражение для закона сохранения энергии. После преобразования получаем зависимость

Далее исследуем полученную зависимость, находим производную по переменной h и приравниваем её к нулю (s'_h = 0):

т.е. расстояние s будет наибольшим при h = H/2, когда производная обращается в нуль: 4H – 8h = 0.

Подставляя полученное выражение  для высоты трамплина h = H/2 в формулу для s, получаем s = H.

 

 

 

 

 

 

3

3. Механические колебания и волны.

Скорость прямолинейного движения

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ=S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S=S(t).

Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.

Если в некоторый  момент времени t точка занимает положение  М, то в момент времени t+∆t (∆t — приращение времени) точка займет положение M₁, где OM₁=S+∆S (∆S — приращение расстояния) (см. рис. 127). Таким образом, перемещение точки М за время ∆t будет ∆S=S(t+∆t)-S(t).

Отношение ∆S/∆t  - выражает среднюю скорость движения точки зв время ∆t:

Средняя скорость зависит  от значения ∆t: чем меньше ∆t, тем  точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени ∆t называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим

4

 

Задача:

Тело, подвешенное на пружине, совершает свободные гармонические  колебания частотой . С какой частотой происходит изменение кинетической энергии тела?

Решение

Пусть координата тела изменяется по закону x = x₀sin t. Используя механический смысл производной, находим закон изменения скорости: = x' = x₀cos t. Тогда кинетическая энергия тела W_k = m ²/2 = (mx₀^{2 2}cos² t)/2. С учётом тригонометрического тождества cos² t = (1 +  
+ cos2 t)/2, получаем:                                                                  

W_k = mx₀²

²(1 + cos2 t)/4,

следовательно, изменение кинетической энергии колеблющегося тела происходит с частотой 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

4. Электрический ток.

 

Вычисление  силы тока I, который несет на себе заряд, заданный зависимостью q=qm cos ω0t (Кл) через поперечное сечение проводника решается с применением производной.

 

Приращение заряда на маленьком отрезке [t; t+Δt], тогда  
  Δ q = I(t) Δt. 
Δq/ Δt = I(t) 
 
Если  Δ t—>0, то lim Δq/ Δt = q’(t) , 
   
т.е. I (t) = q’(t) 
                        
I = q’ = -qmω0sinω0t

 

Задача:

 

Движение материальной точки в единицах СИ описывается  уравнением x = 5 – 8t + 4t². Приняв массу точки равной 2 кг, найдите её импульс через 2 с и через 4 с от начала отсчёта времени, а также силу, вызвавшую это изменение импульса.

Решение

Уравнение скорости с учётом механического  смысла производной имеет вид: = –8 + 8t. Тогда импульс через 2 с от начала отсчёта времени: p₂ = 16 кг · м/с, а импульс через 4 с: p₄ = 48 кг · м/с.

Сила, которая вызывает это изменение импульса, определяется с учётом второго закона Ньютона  в импульсной форме: F = (p₄ – p₂)/t, где t = 2 с. Численно получаем: F = 16 Н.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

5. Техника и механическое движение

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:  
 
Вектор ω направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта, т. е. так же, как и вектор dφ (рис. 2). Размерность угловой скорости dim ω = Т^-1, а ее единица — радиан в секунду (рад/с).  
 
Линейная скорость точки (см. рис. 2)  
 

   Рис.2

 

 

Задача:

Состояния идеального газа в количестве = 1 моль в ходе некоторого процесса изображаются точками, лежащими на отрезке прямой AB: V_A = 0, p_A = p₀; V_B = V₀, p_B = 0. Найдите зависимость температуры газа от объёма и определите максимальную температуру газа.

Решение

Зная уравнения Клапейрона–Менделеева pV = RT, находим зависимость температуры идеального газа от объёма:

Находим производную и приравниваем её нулю:

7

6. Механика формы движения

Углово́е ускоре́ние — псевдовекторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости твёрдого тела.

При вращении тела вокруг неподвижной оси, угловое ускорение по модулю равно^[1]:

Вектор углового ускорения α направлен вдоль оси вращения (в сторону при ускоренном вращении и противоположно  — при замедленном).

При вращении вокруг неподвижной  точки вектор углового ускорения  определяется как первая производная  от вектора угловой скорости ω по времени^[2], то есть

,

и направлен по касательной  к годографу вектора в соответствующей его точке.Существует связь между тангенциальным и угловым ускорениями:

a_τ = αR,

где R — радиус кривизны траектории точки в данный момент времени. Итак, угловое ускорение равно второй производной от угла поворота по времени.

 

Задача:

Материальная точка  массой m движется вдоль оси X по закону x = A sin t, где A, – некоторые постоянные, t – время. Определите модуль изменения импульса материальной точки с момента времени t = t₁ до момента времени t = t₂.

Решение

По механическому смыслу производной скорость определяется выражением: =A cos t. Тогда модуль изменения импульса определяется выражением:

p = mA

|cos t₂ – cos t₁|.

 

8

7.Кинематика

 

Мгновенная скорость - величина, равная пределу средней векторной скорости при уменьшении

промежутка времени [м / с] 
рис.3

Определим через радиус вектор:

 

производная от координаты по времени есть скорость.

 

 

Задача:

Движение материальной точки описывается уравнениями: x = 10 cos 3t, y =10 sin 3t. [x] = см, [y] = см, [ ] = c^–1. Определите скорость, ускорение и траекторию точки.

Решение

– Скорость: ² = _x² + _y². Используя механический смысл производной, после преобразований получаем = 30 см/с.

– Ускорение: a² = a_x² + a_y². Используя механический смысл производной, после преобразований получаем a = 90 см/с²

 

 

 

9

 

8. Электромагнитная индукция

 

 

ЭДС, индуцируемую в произвольном положении рамки в момент времени t, можно найти из закона Фарадея. Магнитный поток через площадь рамки изменяется с течением времени из-за изменения угла α = ωt между линиями магнитной индукции и вектором площади: 
Ф = BΔS cos ωt. 
Тогда 
Еi = - Ф`= Eimax sinωt, 
где Eimax – максимальная ЭДС, индуцируемая в рамке;  
 
Eimax = ωBΔS.

 

 

Задача:

Проводящий контур площадью S = 400 см², в который включён конденсатор ёмкостью C = 10 мкФ, расположен в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. Магнитная индукция возрастает по закону  
B = (2 + 5t)10^–2 Тл, где t – время в секундах. Определите энергию электрического поля конденсатора. Укажите, какая обкладка конденсатора заряжается положительно.

Решение

Изменение магнитной  индукции приводит к появлению в  цепи электрического тока (между обкладками конденсатора – диэлектрик), конденсатор  начнёт заряжаться, следовательно, между его обкладками возникнет электрическое поле энергией W = CU²/2 = C_i²/2, где  
_i = –Ф_t' = –(BScos )_t' – ЭДС, наводимая между обкладками конденсатора. Площадь контура постоянна, = B^n = 0° (по условию),  
cos 0° = 1, поэтому:

_i = –S · B_t' = –4 · 10^–2 · 5 · 10^–2 = –2 · 10^–3 (В).

Подставляя найденное  значение в выражение для энергии  электрического поля заряженного конденсатора, получаем W = 20 · 10^–12 Дж.

 

 

 

10

 

9.Теплота

 

Задача:

 Вычисление  количества  теплоты, которое необходимо для  того, чтобы нагреть 1 кг вещества  от 0 градусов до t градусов (по Цельсию).Применяется производная от количества теплоты.