Подробный разбор задач

ВВЕДЕНИЕ 

 

Задание № 2 содержит 8 тем:

1. Основное уравнение кинетической теории газов. Энергия поступательного движения молекул.
2. Средняя длина свободного пробега молекул газа. Число столкновений молекул.
3. Энергия теплового движения молекул. Закон Больцмана. Теплоемкость газа.
4. Явления переноса: диффузия, вязкость, теплопроводность.
5. Первое начало термодинамики. Изопроцессы.
6. Круговые процессы. КПД цикла.
7. Энтропия.
8. Жидкости: поверхностное натяжение, капиллярные явления.

 

На каждую тему составлена типовая задача. Данные для 25 вариантов задач некоторых разделов приведены в таблицах, прочерк в таблице означает, что эта величина неизвестна; вопросительный знак – величину надо найти. В качестве примера разбирается вариант № 26. Условия задач других вариантов даются полностью.

На основании исходных данных своих вариантов студенты обязаны составить и записать конкретные задачи (см. примеры). Задача решается в общем виде. В окончательную расчетную формулу обязательно подставлять численные значения заданных величин и производить проверку размерностей. Постоянные величины, необходимые при решении задач, надо брать в справочных таблицах.

 

Указание:  прежде чем решать задачи, студент обязан по учебникам изучить теоретический материал на каждую тему.      

 

1. ОСНОВНОЕ  УРАВНЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ.

ЭНЕРГИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО  ДВИЖЕНИЯ МОЛЕКУЛ

 

Данные вариантов задачи представлены в табл. 1, где m – масса газа; n₀ – концентрация молекул газа; V, P, T – объем, давление температура газа соответственно; N – число молекул газа; – средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы; W – суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул; –  средняя квадратичная скорость молекул газа; – плотность газа.

Пример. Конкретно сформулируем задачу (см. вариант 26).

Азот массой 2 · 10^-3 кг занимает объем 10^-3 м³ при температуре 260 К. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы , число молекул газа N, суммарную кинетическую энергию поступательного движения всех молекул W, концентрацию молекул n₀, давление Р, производимое газом на стенки сосуда.  

 

Решение: Средняя кинетическая энергия  поступательного движения одной молекулы пропорциональна абсолютной температуре Т:

 

,

где k – постоянная Больцмана.

Число молекул N  в данной массе вещества равно количеству вещества в молях , умноженному на число Авогадро:

 

,

где μ – молярная масса.

Суммарную кинетическую энергию поступательного движения всех молекул W определяем по формуле

 

.

Концентрацию молекул n, вычисляем как

 

.

Используя уравнение кинетической теории газа, определим давление Р, производимое газом на стенки сосуда:

 

.

Ответ: ;

W = 249 Дж; Р = 1,66 · 10⁵ Па; n₀ = 4,3 · 10²⁵ м^-3.

При решении задач, содержащих значение средней квадратичной скорости молекул газа, необходимо воспользоваться формулой

 

,

где m – масса одной молекулы; R = 8,31 Дж/(моль · К) – универсальная газовая постоянная.

Таблица 1

Исходные  данные

 

вариант	газ	m, кг	n0,  м-3	Р, Па	V, м3	Т,   К	N	Е, Дж	W, Дж	υкв, м/с	ρ, кг/м3
1	N2	-	2,7·1025	?	4·10-3	-	?	?	?	400	-
2	H2	3	-	-	-	120	?	?	?	-	-
3	H2	-	1025	?	-	3·10-3	-	?	-	-	-
4	газ	-	-	5·105	2·10-3	-	-	-	?	-	-
5	O2	2·10-3	?	106	-	300	?	-	?	-	-
6	газ	-	2·1025	?	-	?	-	1,6·10-20	-	-	-
7	He	1	?	5,4·105	3·10-3	-	?	-	?	-	-
8	N2	-	-	-	-	-	-	?	-	450	-
9	H2	10-2	-	-	-	280	?	?	?	-	-
10	Н2	2	?	?	2	-	-	?	-	2000	-
11	N2	-	?	6,7·104	-	-	-	?	-	400	-
12	газ	-	1026	106	-	?	-	?	-	-	-
13	N2	-	-	103	10-3	-	?	?	?	500	-
14	O2	10-2	?	?	3·10-3	273	-	?	?	-	-
15	N2	-	-	2·106	-	-	-	3·10-20	-	-	?
16	H2	-	?	?	-	290	-	?	-	-	4,1
17	He	8·10-4	-	-	-	240	-	-	?	-	-
18	O2	-	?	-	2·10-3	450	-	?	2,6·103	-	?
19	H2	3·10-3	-	-	-	-	-	?	?	420	-
20	O2	5	?	?	10-3	-	-	-	-	350	-
21	воздух	10-3	2,7·10-25	-	-	273	?	?	?	?	?
22	O2	-	?	1,3·105	-	-	-	?	-	1,4·103	?
23	газ	-	-	5·102	4·10-3	-	-	-	?	-	-
24	газ	10-3	-	1·105	-	273	?	-	?	461	-
25	O2	10-2	?	-	3·10-3	300	-	-	?	-	-
26	N2	2·10-3	?	?	10-3	280	?	?	?	-	-

 

 

2. СРЕДНЯЯ ДЛИНА СВОБОДНОГО  ПРОБЕГА МОЛЕКУЛ ГАЗА. ЧИСЛО СТОЛКНОВЕНИЙ МОЛЕКУЛ

 

Данные вариантов задачи приведены в табл. 2, где m – масса газа; P, V, T – давление, объем, температура газа соответственно; σ – эффективный диаметр молекулы; ρ – плотность газа; – средняя длина свободного пробега молекулы; – среднее число столкновений в единицу времени молекул газа;  – общее число столкновений между молекулами в единицу времени; n₀ – концентрация молекул; υ_кв – среднеквадратичная скорость.

Таблица 2

Исходные данные

 

вариант	газ	m, кг	Р, Па	V, м3	Т,   К	σ, м	ρ, кг/м3	υкв, м/с	,   м	,  с-1	,  с-1	n0,  м-3
1	СО2	-	-	-	373	-	-	-	9·10-4	?	-	-
2	О2	-	1·104	0,5	273	3·10-10	-	-	?	-	?	-
3	N2	-	1·104	-	290	3·10-10	-	-	?	?	-	-
4	He	-	-	-	-	2·10-10	2·10-21	-	?	-	-	-
5	H2	-	1·105	-	273	?	-	-	11·10-8	-	-	-
6	N2	5·10-2	-	10-4	-	3·10-10	-	-	?	-	-	-
7	О2	1·10-2	2·104	-	200	3·10-10	-	-	?	?	?	-
8	He	-	2·103	-	200	2·10-10	-	-	?	?	-	-
9	H2	-	1·10-1	-	323	2,3·10-10	-	-	?	?	-	-
10	H2	2·10-3	2·105	3·10-3	-	2,3·10-10	-	-	?	?	-	-
11	О2	-	-	-	-	3·10-10	?	-	10-2	-	-	-
12	N2	-	?	-	300	3·10-10	-	-	1	-	-	-
13	H2	-	-	-	-	2,3·10-10	?	-	2·10-3	-	-	-
14	H2	-	1·105	10-9	273	2,3·10-10	-	-	-	-	?	-
15*	воздух	-	-	10-6	280	3·10-10	5·10-2	-	-	?	-	-
16	газ	-	3·105	-	300	?	-	-	9·10-8	-	-	-
17	Ar	-	1·105	-	290	3,6·10-10	-	-	?	?	-	-
18	СО2	-	-	-	-	?	1,7	-	8·10-8	-	-	-
19	N2	-	5·105	-	300	3·10-10	-	-	-	?	-	-
20*	воздух	-	1·105	-	273	3·10-10	-	-	?	?	-	-
21	газ	-	-	-	-	-	-	500	5·10-6	?	-	-
22	О2	1	-	-	300	3·10-10	-	-	?	8·109	?	?
23	газ	-	-	-	-	-	-	?	6,35·10-8	6·109	-	-
24	О2	-	1·105	-	273	-	?	?	?	?	-	-
25	H2	-	133·10-3	-	100	2,3·10-10	-	-	?	?	-	-
26	N2	-	1·105	4·10-3	273	3·10-10	-	-	?	?	?	-

 

* Для воздуха молярная масса μ = 29 · 10^-3 кг/моль.

 

Пример. Сформулируем конкретную задачу (см. вариант 26).

Определить среднее  число столкновений в единицу  времени молекул азота  , общее число столкновений в единицу времени между молекулами и среднюю длину свободного пробега молекул при нормальных условиях в сосуде объемом 4 · 10^-3 м³. 

 

Решение: Среднее число столкновений молекулы в единицу времени получим, если ее среднюю арифметическую скорость разделим на среднюю длину свободного пробега :

 

,                        (1)

 

,

где .

Среднюю длину свободного пробега молекул азота можно определить, если известна концентрация молекул n₀ и эффективный диаметр молекулы σ:

,                                  (2)

где –  определяется из формулы давления.

Общее число столкновений всех молекул за единицу времени 

 

,                                    (3)

где – общее число молекул азота (см. пример задачи 1). Используя уравнение Клапейрона-Менделеева, выражение (3) можно представить

.                                        (4)

Подставив в (1), (2), (4) значения величин и произведя вычисления, найдем

 

= 4,8 · 10⁹ с^-1;   = 2,6 · 10³² с^-1;   = 9,4 · 10^-8 м.

Произведем проверку размерностей в выражениях (1), (2), (4):

 

;

 

;       ;

 

.

 

Ответ: = 4,8 · 10⁹ с^-1;   = 2,6 · 10³² с^-1;   = 9,4 · 10^-8 м.

 

 

3. ЭНЕРГИЯ ТЕПЛОВОГО  ДВИЖЕНИЯ МОЛЕКУЛ. 

ЗАКОН БОЛЬЦМАНА. ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗА

 

Данные вариантов задачи приведены в табл. 3, где m – масса газа; μ – молекулярная масса; i – число степеней свободы; P, V, T – давление, объем, температура газа соответственно; Е₀ – энергия вращательного движения одной молекулы; Е_вр – энергия вращательного движения всех молекул газа; Е_n – энергия поступательного движения одной молекулы; Е – полная энергия теплового движения молекул газа; с_V - удельная теплоемкость при постоянном объеме; с_Р - удельная теплоемкость при постоянном давлении;   с_V / с_Р – отношение удельных теплоемкостей.

Пример. Сформулируем задачу (см. вариант 26).

Кислород, масса которого 4 · 10^-3 кг, находится в сосуде объемом        3 · 10^-3 м³ под давлением 5,4 · 10⁴ Па. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы Е₀, кинетическую энергию вращательного движения всех молекул Е_вр, суммарную кинетическую энергию всех молекул газа Е, а также вычислить удельные теплоемкости  с_V и с_Р.

 

Решение: На каждую степень свободы  молекулы газа приходится одинаковая энергия, выражаемая законом Больцман . Молекула кислорода – двухатомная (i = 5). Так как вращательному движению молекулы кислорода приписывают две степени свободы, то средняя энергия вращательного движения молекулы

 

.                                            (1)

Тогда, выражая температуру  газа из уравнения Клапейрона-Менделеева и подставляя в уравнение (1), определим

 

.

 

Таблица 3

Исходные  данные вариантов задачи

 

вариант	газ	m, кг	μ, кг/моль	i	Р, Па	V, м3	Т,   К	Е0, Дж	Евр, Дж	Е,  Дж	Еn, Дж	сV , Дж/(кг·К)	сР, Дж/(кг·К)	сР /с-V
1	N2	8·10-3	-	-	2,7·105	2·10-3	-	?	?	?	-	?	?	-
2	СО2	-	-	-	1,5·104	4,5	360	?	?	?	?	?	?	-
3	газ	-	20·10-3	-	1,25·104	1	125	-	-	?	-	?	?	1,67
4	H2	2·10-2	-	-	5·104	2,5	-	?	?	?	?	?	?	-
5	О2	6·10-2	-	-	-	-	320	-	?	?	-	?	?	-
6	газ	1·10-2	4·10-3	-	-	-	?	-	-	-	4,1·10-21	?	?	1,67
7	газ	-	-	5	5,3·103	10-3	300	?	?	?	-	-	-	-
8	газ	2·10-3	32·10-3	-	-	-	?	?	?	?	6,2·10-21	?	?	1,40
9*	NН 2	-	-	-	-	-	300	?	-	-	-	?	?	-
10	H2	1·10-3	-	-	-	-	600	?	?	?	-	?	?	-
11	О2	4·10-3	-	-	1·105	10	-	?	?	?	-	?	?	-
12	газ	1·10-2	44·10-3	-	136,5	4	-	?	?	1,6·10-3	-	?	?	-
13	газ	5·10-3	32·10-3	-	-	-	-	?	?	?	5,3·10-19	650	?	-
14	газ	2·10-2	28·10-3	-	13,4·105	2·10-3	-	6,9·10-21	?	?	?	?	?	1,40
15	газ	2·10-3	-	6	2,4·105	10-2	293	?	?	?	-	?	?	-
16	Hе	8·10-3	-	-	-	-	350	?	?	?	-	?	?	-
17	N2	4·10-4	-	-	1·105	2·10-3	-	?	?	?	?	?	?	-
18	газ	6·10-3	-	6	1,5·105	3·10-3	-	1,7·10-20	?	?	?	?	760	-
19	газ	-	-	-	1·105	3	273	?	?	?	?	-	-	1,33
20	N2	3·10-3	-	-	25·104	1	-	?	?	?	?	?	?	-
21	газ	1·10-3	4·10-3	-	-	-	273	?	-	?	?	?	?	1,67
22	H2	25·10-3	-	-	-	-	290	-	?	?	-	-	-	-
23	газ	2	2·10-3	5	-	-	-	?	-	6·106	-	-	-	-
24	H2	2·10-3	-	-	-	-	300	?	?	?	?	?	?	-
25	N2	4	-	-	-	-	1000	?	?	?	?	?	?	-
26	О2	4·10-3	-	-	5,4·104	3·10-3	-	?	?	?	-	?	?	-