Плоское движение твердого тела

Плоское движение твердого тела

 
При плоском движении, достаточно рассмотреть движение какого-либо сечения тела в одной плоскости. Поскольку вектор угловой скорости всегда перпендикулярен этой плоскости, то ось Z' системы координат S', жестко связанной с телом, можно провести по направлению, совпадающему с вектором . Кроме того, чтобы избежать учета центробежных сил инерции, ось вращения необходимо провести через центр масс. Тогда необходимо принять во внимание только момент импульса относительно оси вращения 
 
, ,  
 
Силы, действующие на тело, лежат в плоскости XY, а моменты сил перпендикулярны ей. Уравнения движения твердого тела принимают вид 
 
, (2.15) 
 
,  
 
где . 
 
Поскольку ось проходит через центр масс, то уравнение (3.20) можно записать как уравнение движения центра масс 
 
. 
 
Кинетическая энергия тела при плоском движении равна 
 
. 
 
Наиболее распространенными случаями плоского движения являются движение физического маятника и скатывание цилиндра с наклонной плоскости. 

Физический маятник

 
Физический маятник – это массивное тело, подвешенное на нити и совершающее колебания в поле тяготения. Уравнение моментов имеет вид 
 
,  
 
 
 
где , J – момент инерции относительно оси. Если угол отклонения мал, то и уравнение можно переписать в виде 
 
. 
 
Это уравнение гармонических колебаний, его решение имеет вид функции или . Частота и период этих колебаний определяется формулами и . Если амплитуды колебаний нельзя считать малыми, то необходимо решать нелинейное уравнение. 

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

 
Рассмотрим твердое тело, вращающееся с угловой скоростью вокруг неподвижной оси Z. Будем рассматривать это тело как совокупность материальных точек с массами , через обозначим расстояние от i-й материальной точки до оси вращения, тогда линейная скорость этой точки будет . Кинетическая энергия этой точки будет 
 
. 
 
Кинетическая энергия вращающегося тела складывается из кинетических энергий отдельных материальных точек, составляющих это тело: 
 
. 
 
Сумма в правой части этого соотношения представляет собой момент инерции тела I относительно оси вращения. Таким образом, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна 
 
. (2.14) 
 
При произвольном движении тела в какой-то момент вектор угловой скорости может совпадать с одной из главных осей, и в этот момент . В следующий момент вектор угловой скорости меняет свое направление и может не совпадать с главной осью, тогда  
 
. 
 
В общем случае, когда оси координат не совпадают с главными осями инерции, и центробежные моменты инерции не равны нулю, выражение для кинетической энергии становится еще более сложным: 
 
, 
 
индексы и пробегают значения .  
 
Если тело кроме вращательного движения совершает еще и поступательное движение, то для случая, когда оси системы координат, связанной с телом, направлены вдоль главных осей инерции. 
 
Работа, совершаемая всеми приложенными к телу силами, равна приращению его кинетической энергии, то есть . Продифференцируем соотношение (2.14), тогда 
 
, 
 
где – проекция углового ускорения на направление угловой скорости. Произведение дает момент всех внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения. Следовательно, элементарная работа всех внешних сил, действующих на тело, равна 
 
. 
^

Скатывание цилиндра с наклонной плоскости

 
Пусть цилиндр радиуса скатывается без скольжения по наклонной плоскости. Ось x удобно выбрать вдоль наклонной плоскости. На цилиндр действуют сила тяжести , сила трения и сила реакции опоры . Уравнения движения для цилиндра имеют вид 
 
, 
 
 
 
. 
 
Учитывая, что , а , получим 
 
 
 
или 
 
, . 
 
Таким образом, цилиндр скатывается с постоянным ускорением, величина которого зависит от угла наклона

 

Рисунок 1.23.1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O

При малых угловых перемещениях Δφ модуль вектора линейного перемещения некоторого элемента массы Δm вращающегося твердого тела выражается соотношением:

Δs = rΔφ,

где r – модуль радиус-вектора (рис. 1.23.1). Отсюда следует связь между модулями линейной и угловой скоростей:

υ = rω,

и между модулями линейного и углового ускорения:

a = aτ = rε.

Векторы и направлены по касательной к окружности радиуса r. Следует вспомнить, что при движении тела по окружности возникает также нормальное или центростремительное ускорение, модуль которого есть

Разобьем вращающееся тело на малые элементы Δmi. Расстояния до оси вращения обозначим через ri, модули линейных скоростей – через υi. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:

Физическая величина зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции I тела относительно данной оси:

В пределе при Δm → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм-метр в квадрате (кг∙м2). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде

Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии поступательно движущегося тела только теперь вместо массы m в формулу входит момент инерции I, а вместо линейной скорости υ – угловая скорость ω.

Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципиальная разница. Если масса – внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела зависит от того, вокруг какой оси оно вращается. Для разных осей вращения моменты инерции одного и того же тела различны.

Во многих задачах рассматривается случай, когда ось вращения твердого тела проходит через его центр массы. Положение xC, yC центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m1 и m2, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x1, y1 и x2, y2 (рис. 1.23.2), определяется выражениями:

Рисунок 1.23.2. Центр масс C системы из двух частиц

В векторной форме это соотношение принимает вид:

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор центра масс определяется выражением

Для сплошного тела суммы в выражении для заменяются интегралами. Легко видеть, что в однородном поле тяготения центр масс совпадает с центром тяжести. Если в однородном поле тяготения твердое тело сложной формы подвесить за центр масс, то оно будет находиться в безразличном состоянии равновесия. Поэтому положение центра масс тела сложной формы можно практически определить путем последовательного подвешивания его за несколько точек и отмечая по отвесу вертикальные линии (рис. 1.23.3).

Рисунок 1.23.3. Определение положения центра масс C тела сложной формы. A1, A2, A3 точки подвеса

Равнодействующая сил тяжести в однородном поле тяготения приложена к центру масс тела. Если тело подвешено за центр масс, то оно находится в состоянии безразличного равновесия.

Любое движение твердого тела можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс тела и вращения относительно оси, проходящей через центр масс. Примером может служить колесо, которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности (рис. 1.23.4). При качении колеса все его точки движутся в плоскостях, параллельных плоскости рисунка. Такое движение называется плоским.

При плоском движении кинетическая энергия движущегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной плоскостям, в которых движутся все точки тела:

где m – полная масса тела, IC – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 1.23.4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью  и вращения с угловой скоростью относительно оси O, проходящей через центр масс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Государственный университет по землеустройству»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реферат по физике №1

Тема: Уравнения и кинетическая энергия плоского движения твёрдого тела. Скатывание тел с наклонной плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила ст. 1 курса 11К группы Бочкова С.Ю.

 

 

 

 

 

 

 

 

Москва 2013