Основные понятия кинематики вращательного движения

Министерство образования  Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования 
Московский государственный индустриальный университет 
(ГОУ МГИУ)

 

Кафедра «Физика»

 

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 

ВАРИАНТ №3

 

по дисциплине «Физика»

на тему «Основные понятия кинематики вращательного движения»

 

 

 

 

 

 

 

Группа 2211

 

Студент   Личная подпись                            Л.Ю.Вуколова

 

 

 

 

Преподаватель                                       Т.Н. Фомичева

 

 

 

Дата сдачи работы

 

 

 

Оценка работы

МОСКВА 2011

 

Содержание

 

1. Введение;

2. Угловое перемещение вращательного движения;

3. Угловая скорость вращательного движения;

4. Угловое ускорение вращательного движения;

5. Выражение нормального т тангенциального ускорений через угловую скорость и угловое ускорение;

6. Связь угловых и линейных перемещений, скоростей и ускорений;

7. Решение задач;

8. Список литературы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

     Кинематика – раздел механики, предметом изучения которого является движение тел без рассмотрения причин, которыми это движение обусловлено.

     Вращательным движением тела (вращением тела вокруг неподвижной оси) называется такое движение, при котором две точки тела остаются неподвижными в течение всего времени движения (точки A и B на рис.1). При этом также остаются неподвижными все точки тела, расположенные на

прямой, проходящей через эти точки. Эта прямая называется осью вращения тела (ось Oz). Точки, не лежащие на оси вращения, описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения и центры которых лежат на этой оси.

     Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

 

 

 

Рис 1. Вращательное движение твердого тела.

     Положение вращающегося тела в любой момент времени однозначно определяется взятым с соответствующим знаком углом φ, называемым углом поворота тела. Положительным направлением отсчета угла φ  принимается направление против хода часовой стрелки, видимое с положительного конца оси Oz (как показано на рис. 1). Зависимость угла φ от времени

φ = φ(t)

выражает закон вращательного движения твердого тела

вокруг неподвижной  оси. Угол φ измеряется в радианах.

     Для описания вращательного движения тела вокруг неподвижной 
оси можно использовать только угловые параметры.

     Основными кинематическими характеристиками вращательного движения тела являются угловые перемещение, скорость и ускорение.

     При вращательном движении точки тела, находящиеся на разном расстоянии от оси вращения за одинаковые промежутки времени имеют

разные перемещения и  имеют разные скорости и ускорения.

     Вращательное движение может быть равномерным и неравномерным.

Равномерным называют такое  вращение, при котором за равные промежутки

времени тело поворачивается на равные углы.

     Вращательное движение широко распространено в природе и технике. Планеты Солнечной системы вращаются вокруг своей оси. Во многих механизмах и машинах так движутся валы, шкивы, зубчатые колеса, маховики и другие детали.

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Угловое перемещение вращательного движения

 

Рис.2 Вращательное движение

     Твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной  оси, имеет одну степень свободы,  его положение в пространстве  полностью определяется значением  угла поворота ∆φ из некоторого начального положения (Рис.2). Все точки твердого тела повернутся за промежуток времени ∆t на угол ∆φ.

     При малых  промежутках времени, когда углы  поворота невелики, их можно рассматривать как векторы, хотя и не совсем обычные. Вектор элементарного (бесконечно малого) угла поворота  ∆φ направлен вдоль оси вращения по правилу правого буравчика, его модуль равен углу поворота (Рис.2). Вектор ∆φ называется угловым перемещением. Угловое перемещение измеряется в радианах. Радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу этой дуги. 1 рад = 57,3°. Центральный угол содержит 360°: 57,3° = 6,28 или 2 рад.

     Вектор углового перемещения Δ - это вектор, определяющий, как вращается твердое тело. Направление вектора Δ определяется правилом правого винта: если головку винта вращать в направлении вращении тела, то направление поступательного движения винта совпадает с направлением вектора Δ.

     Если время вращения бесконечно мало, угловое перемещение будет d.

d – векторная величина (псевдовектор, аксиальный вектор).

     Модуль равен углу поворота, а его направление совпадает с направлением поступательного движения острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по окружности, т.е. подчиняется правилу правого винта. Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными векторами. Эти векторы не имеют определенных точек приложения: они могут откладываться из любой точки оси вращения.

     Для очень малых углов поворота d путь, проходимый любой точкой, можно считать прямолинейным, т.е. совпадающим с перемещением. Поэтому сложение очень малых углов происходит как сложение векторов. Уравнение вращательного движения устанавливает аналитическую связь между углом поворота и временем: = (t).

 

Угловая скорость вращательного движения

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     Угловая скорость - векторная величина, характеризующая скорость вращения тела.

     Угловой скоростью вращения называется вектор, численно равный первой производной угла поворота тела по времени и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта:

 

 

     Δφ — приращение угла поворота φ за промежуток времени Δt.

     Единица измерения угловой скорости радиан в секунду (рад/с).

     Таким образом, вектор ω определяет направление и быстроту вращения.              Если ω=const, то вращение называется равномерным. 
     Угловая скорость ω может быть величиной положительной или отрицательной в зависимости от того, возрастает или убывает угол поворота тела.

     Если  , то тело в данный момент времени вращается в положительном направлении отсчета угла поворота то есть, когда угол поворота тела возрастает с течением времени, угловая скорость направлена против движения часовой стрелки.

     Если , то тело в данный момент времени вращается в отрицательном направлении отсчета угла поворота то есть по часовой стрелке.

     В технике  угловую скорость называют также частотой вращения и часто выражают в других единицах измерения, например, в оборотах в минуту.   Связь между этими величинами выражается формулой:

ω (рад/c) =

     Угловая скорость всегда является аксиальным вектором, поскольку построена из малых поворотов d.

     Если ω=const, то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения  T- временем, за которое точка совершает один полный оборот, т.е. поворачивается на угол 2 . Так как промежуток времени Δt=T соответствует Δφ=2 , то

ω=

     Часто используют  также число оборотов в единицу  времени 

ν==,

откуда 

 

 

     Когда угловая скорость переменна, тело вращается неравномерно.

     Угловой скорости приписывается определенное направление, которое определяется следующим образом: направление отсчета угла определяется направлением вращения, а направление w определяется правилом правого буравчика - оно совпадает с движением оси буравчика, когда он вращается в направлении вращения материальной точки.

     Вектор углового ускорения b определяется через изменение угловой скорости вращения за время Dt. При этом направление b совпадает с направлением w, если за время Dt происходит увеличение скорости w и направление b противоположно вектору w, если за время Dt угловая скорость уменьшается.

     Таким образом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Угловое ускорение вращательного движения

 

     Для характеристики неравномерного вращения тела вводится понятие углового ускорения. Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени и численно равная второй производной от углового перемещения по времени:                                                                

 

 

 

 

Рис.3.Угловое  ускорение

 

     Вектор угловой  скорости направлен параллельно  оси вращения.     

При вращении тела вокруг неподвижной  оси вектор углового ускорения направлен  вдоль оси вращения в сторону  вектора угловой скорости (рис. 3); при ускоренном движении вектор ε направлен в ту же сторону, что и ω (dω/dt > 0), и в противоположную сторону при замедленном вращении (dω/dt < 0). 
      Угловое ускорение при сложном характере вращения также является функцией времени, но если оказывается постоянным, то вращение называют равноускоренным () или равнозамедленным )

     Если и , то такое вращательное движение тела, называется равнопеременным вращением.

 

 

 

 

 

 

 

Выражение нормального  и тангенциального ускорений  через угловую скорость и угловое  ускорение

 

     Выразим тангенциальную и нормальную составляющие ускорения точки A вращающегося тела через угловую скорость и угловое ускорение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

     Рис.4 Вращательное движение

 

     Каждая из точек вращающегося тела движется с определенной линейной скоростью , направленной по касательной к соответствующей окружности.     Пусть материальная точка вращается вокруг оси по окружности радиусом R. За малый промежуток времени Δt она пройдет путь Δs, соответствующий углу поворота Δ. Тогда Δs= RΔ, и скорость материальной точки определяется соотношениями:

 

,

 

то есть

.

     Так как нормальное ускорение , то с учетом :

 

 

   

     Нормальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

     Нормальное ускорение точек вращающегося твердого тела часто называют центростремительным ускорением.

     Вектор нормального ускорения направлен по радиусу к центру

окружности – против вектора , тогда можно записать

=

 

     Дифференцируя по времени выражение для , находим

 

,

 

где – тангенциальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R.

     Тангенциальная  составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по величине (направлена по касательной к траектории движения).               
     Векторы, , , взаимно перпендикулярны, поэтому можно записать, что

 

 

 

     Модуль тангенциального ускорения:

 

=

 

     Эти формулы  связывают модули тангенциального и нормального ускорений точки с угловым ускорением ε и угловой скоростью ω тела.

     Таким образом,  как тангенциальное, так и нормальное ускорение растут линейно с ростом радиуса R – расстояния от оси вращения. Полное ускорение также линейно зависит от R:

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Связь угловых и линейных перемещений, скоростей и ускорений

    

 

    

     Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости.

  При вращении твердого тела разные его точки имеют разные линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова. 

     Между линейной  скоростью какой-либо точки вращающегося  тела и угловой скорость существует  связь. Точка, лежащая на окружности  радиуса R, за один оборот пройдет путь 2πR. А так как, время одного оборота тела есть период Т, то модуль линейной скорости можно найти так:

 

 

     Отсюда видно, что, чем дальше расположена точка тела от оси вращения, тем больше ее линейная скорость.

     Модуль ускорения точки, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности:

,  

     Следовательно, 

 

 

     Связь между линейными (длина пути s, пройденного точкой по окружности радиуса R, линейная скорость v, тангенциальное ускорение a_τ, нормальное ускорение a_n) и угловыми характеристиками (угол поворота φ, угловая скорость ω, угловое ускорение ε) выражается следующими формулами:

, , ,

     В случае равнопеременного движения точки по окружности (ε=const):

,   ,

где - начальная угловая скорость.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кинематика

 

Задача № 1.14

    

     Из одного и того же места начали равноускоренно двигаться в одном направлении две точки, причем вторая начала свое движение через 2с после первой. Первая точка двигалась с начальной скоростью и ускорение , вторая – с начальной скоростью и ускорением . Через сколько времени и на каком расстоянии от исходного положения вторая точка догонит первую?