Определение отношения теплоемкостей воздуха

Лабораторная работа №2

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ  ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ ВОЗДУХА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

 

Определение отношения  теплоемкостей воздуха с по-мощью уравнений изопроцессов в идеальном газе.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

 

Теплоемкостью тела называется величина, равная отно-шению бесконечно малого количества поглощенной теплоты к бесконечно малому повышению температуры , вызванному поглощением этой теплоты:

 

.        (1.2.1)

 

Если теплоемкость не зависит  от температуры, то из оп-ределения следует, что она численно равна теплоте, погло-щаемой телом при нагревании на единицу температуры.

Теплоемкость единицы  массы вещества называется удель-ной теплоемкостью, теплоемкость одного моля вещества – молярной теплоемкостью. Далее будем рассматривать мо-лярные теплоемкости.

Количество теплоты, поглощаемой  телом, и, следова-тельно, теплоемкость тела зависят от способа нагревания. Различают теплоемкость при постоянном объеме и теп-лоемкость при постоянном давлении .

По Первому началу термодинамики  количество теплоты  , сообщенное термодинамической системе, расходуется на увеличение внутренней энергии системы и совершение системой работы:

,        (1.2.2)

 

где означает не приращение какой-либо функции а элементарное количество теплоты и работы .

При изохорном  нагревании газа ( ) не происходит изменение объема ( ), и поэтому работа газа тоже равна нулю. Теплота, поглощенная телом, идет только на увеличение внутренней энергии тела ( ). Исходя из этого теплоемкость равна

 

.       (1.2.3)

 

При изобарном  нагревании ( ) один моль расши-ряющегося газа совершает против внешних сил работу . Найдем зависимость работы, совершаемой газом, от изменения температуры. Для этого рассмотрим 1 моль га-за в двух состояниях – до поглощения теплоты (состояние 1) и после поглощения (состояние 2). В состоянии 1 газ имел следующие параметры:

Давление: ,

Объем: ,

Температура: .

Запишем уравнение  Менделеева–Клапейрона для состоя-ния 1:

,        (1.2.4)

 

где – универсальная газовая постоянная.

При переходе в состояние 2 газ при постоянном давле-нии увеличил свой объем на величину и температуру – на . Параметры газа в состоянии 2:

Давление: ,

Объем: ,

Температура: .

Уравнение Менделеева–Клапейрона для состояния 2:

       (1.2.5)

 

Вычтем из (1.2.4) выражение (1.2.5)

 

 

и получим  выражение для работы, совершенной  газом:

 

.       (1.2.6)

 

Из (1.2.6) виден  физический смысл универсальной газо-вой постоянной : она численно равна работе, совершае-мой 1 молем газа в процессе изобарного расширения при увеличении температуры на 1 кельвин. Разделив на коли-чество молекул в одном моле (число Авогадро ), полу-чим работу, совершаемую одной молекулой против внеш-них сил при тех же условиях нагревания. Эта работа чис-ленно равна постоянной Больцмана :

 

        (1.2.7)

 

Подставим полученное выражение для работы (1.2.6) в уравнение Первого начала термодинамики (1.2.2):

 

,

 

и отсюда, с учетом (1.2.1), получаем выражение  для тепло-емкости при постоянном давлении:

 

.       (1.2.8)

 

Подставляя в (1.2.8) выражение для , получаем урав-нение

,        (1.2.9)

 

называемое  уравнением Майера. Из уравнения Майера вид-но, что теплоемкости при постоянном давлении и объеме отличаются на константу. Из этого следует, что и отно-шение теплоемкостей – тоже величина постоянная. Вместе с тем неясно, от чего зависит теплоемкость . Для того, чтобы вывести уравнение для , проанализируем выраже-ние (1.2.3), описывающее зависимость от внутренней энергии газа.

Внутренняя  энергия газа зависит от числа  степеней сво-боды молекул, составляющих газ. Числом степеней свобо-ды системы называется число независимых координат, оп-ределяющих положение системы в пространстве. Моле-кулы, состоящие из различного количества атомов, обла-дают и различным числом степеней свободы . Для одно-атомного газа , для двухатомного , для газа, моле-кулы которого состоят из трех и большего количества ато-мов, .

Из теоремы  о равномерном распределении  энергии по степеням свободы следует, что на каждую поступательную и вращательную степень свободы молекулы приходится одинаковая (в среднем) энергия, пропорциональная абсо-лютной температуре газа:

 

.       (1.2.10)

 

Соответственно, если молекула обладает степенями сво-боды, то ее кинетическая энергия

 

.       (1.2.11)

 

Тогда 1 моль идеального газа (газа, в котором можно пре-небречь взаимодействием молекул), состоящий из молекул с степенями свободы, согласно (1.2.7), обладает внутрен-ней энергией

.      (1.2.12)

 

Таким образом, для молярной теплоемкости при посто-янном объеме получаем выражение, зависящее только от числа степеней свободы молекул газа:

 

.       (1.2.13)

 

Из уравнения Майера получаем выражение для теплоем-кости при постоянном давлении:

 

.      (1.2.14)

 

Тогда и отношение теплоемкостей есть величина посто-янная, зависящая от числа степеней свободы молекул газа:

 

.       (1.2.15)

 

Если экспериментально определить величину , то из (1.2.15) можно найти количество степеней свободы молекул данного газа:

 

.       (1.2.16)

 

Величина  является одной из важнейших термодинами-ческих величин, она носит название показателя адиабаты. Адиабатический процесс – это процесс, проходящий без теплообмена со внешней средой ( ). Состояние иде-ального газа при адиабатическом процессе описывается уравнением Пуассона:

 

.       (1.2.17)

 

Адиабатический процесс тоже относится к изопроцессам, т.к. в отсутствие теплообмена энтропия системы, опре-деляемая как

       (1.2.18)

 

остается  неизменной ( , следовательно, ).

Адиабатический  процесс еще называется изоэнтропным, или -процессом. Энтропия характеризует степень беспо-рядка в системе. Адиабатический процесс занимает особое место в термодинамике. Он характеризует связь между тер-модинамическими параметрами замкнутой макросистемы и поэтому является основой для установления взаимозави-симостей между параметрами. По Первому началу термоди-намики при адиабатическом процессе работа совершается системой за счет внутренней энергии . Но если система находится в тепловом равновесии со средой, имеющей тем-пературу , то из энергии системы в виде работы отда-ется величина, не превышающая . Величина на-зывается связанной энергией. Она передается только через теплообмен. Поскольку связанная энергия пропорциональна энтропии, то энтропия характеризует обесцененность энер-гии системы: энтропия возрастает во всех процессах, уменьшающих способность системы производить работу.

Исходя из физического смысла показателя адиабаты ло-гично сделать вывод, что эксперимент по определению ве-личины должен быть построен так, чтобы термодинами-ческая система хотя бы один раз переходила из состояния в состояние при помощи адиабатического процесса. Кроме того, желательно, чтобы система возвратилась в исходное состояние после прохождения нескольких процессов, т.е. совершила цикл, или круговой процесс. На рис.1.2.1 пред-ставлен такой цикл, состоящий из адиабаты 1-2, изохоры 2-3 и изотермы 3-1.

 

Состояние идеального газа при изотермическом процессе ( ) описывается уравнением Бойля-Мариотта

 

.       (1.2.19)

 

С учетом того, что  , уравнение (1.2.19) для изо-термы 3-1 имеет вид:

 

.       (1.2.20)

 

Уравнение (1.2.17) для адиабаты 1-2 записывается как:

 

.       (1.2.21)

 

Уравнения (1.2.20) и (1.2.21) образуют систему уравне-ний, решая которую, мы найдем величину . Для этого воз-ведем уравнение (1.2.20) в степень :

 

,

 

и поделим его на уравнение (1.2.21). Получим:

 

, или  .     (1.2.22)

 

Логарифмируя уравнение (1.2.22), получим искомую величину:

 

,       (1.2.23)

 

где – давление газа, соответственно, в состоя-ниях 1,2,3 цикла, указанного на рис.1.2.1.

Выражение (1.2.23) можно упростить, если во время про-ведения цикла давление и незначительно отличается от . Введем следующие обозначения для давления, пре-вышающего :

 

;       (1.2.24)

 

.       (1.2.25)

 

Тогда из рис. 1.2.1 следует, что

 

.      (1.2.26)

 

Соответственно  выражение (1.2.22) для определения γ приобретает вид:

.    (1.2.27)

 

Используя разложение функции логарифма в ряд Маклорена и сохраняя только первый член разложения из (1.2.27), окончательно получаем

 

.       (1.2.28)

 

Для выяснения физического  смысла полученного при-ближения (1.2.28) запишем уравнение изотермы (1.2.19) и адиабаты (1.2.17) в дифференциальном виде:

 

  ;      (1.2.29)

 

  .      (1.2.30)

 

Из сравнения формул (1.2.29) и (1.2.30) очевидно, что отношение теплоемкостей может быть найдено как отно-шение угловых коэффициентов адиабаты и изотермы, по-скольку

 

,      (1.2.31)

 

.       (1.2.32)

 

Объединяя соотношения (1.2.31) и (1.2.32), получаем ра-венство:

 

,      (1.2.33)

 

которое выполняется  при любых заданных значениях  и . Если по-прежнему считать, что в ходе цикла изменения и малы, то адиабату и изотерму можно с хорошей точ-ностью заменить отрезками прямых, угловые коэффици-енты которых на интервале соответственно рав-ны:

,      (1.2.34)

 

      (1.2.35)

 

Таким образом, для отношения теплоемкостей вновь по-лучаем выражение (1.2.28):

 

,       (1.2.36)

 

которое в работе используется в  качестве расчетного.

Преимущество  данного подхода и полученного  прибли-женного соотношения (1.2.36) заключается в его простоте, высокой точности и возможности измерения давления в произвольных единицах (например в мм водяного столба). В настоящей работе равно атмосферному давлению.

 

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ  УСТАНОВКИ

 

Схема экспериментальной установки изображена на рис.1.2.2.

 

 

Б – стеклянный баллон с воздухом; К – компрессор, наг-нетающий в баллон дополнительный воздух; М – U-образ-ный жидкостный манометр, измеряющий разность давлений воздуха в баллоне и вне его; К₁, К₂ – краны. Нагнетать воз-дух в баллон компрессором К нужно осторожно, не допус-кая выплескивания жидкости из манометра М.

 

МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ РАБОТЫ

 

Метод определения  , который используется в данной работе, носит название метода Клемана-Дезорма. При вы-полнении работы с некоторым количеством воздуха про-исходят термодинамические процессы, графики которых в координатах представлены на рис.1.2.3.

 

 

 

На рис.1.2.3 точка 0 соответствует состоянию, при ко-тором некоторое количество воздуха с массой имеет параметры . Давление и температура совпа-дают с давлением и температурой окружающей среды (ат-мосферного воздуха). При нагнетании воздуха в баллон на-сосом происходит процесс 0-1'. Воздух при этом сжимается и немного нагревается. Далее в течение 2-3 минут воздух в баллоне охлаждается до температуры окружающей среды (процесс 1'-1). В состоянии 1 воздух массой в баллоне имеет параметры .

Давление  при этом равно:

 

;  ,     (1.2.37)

 

где – плотность жидкости в манометре;

 – разность высот уровней поверхности жидкости в коленах манометра в состоянии 1.

Если открыть  кран, закрывающий воздух в баллоне, до давление воздуха так быстро уменьшится до , что рас-ширение воздуха, соответствующее процессу 1-2, можно считать адиабатическим.

Если в состоянии 2 перекрыть  краном трубку, соединя-ющую воздух в баллоне с атмосферным воздухом, то в ре-зультате теплообмена воздух в баллоне изохорически наг-ревается до температуры (процесс 2-3). В состоянии 3 давление воздуха равно: