Определение момента инерции твердых тел методом трифилярного подвеса

Содержание

                                                                                                                           стр.  

1.	Цель работы…………………………………………………………	4
2.	Теоретическая часть………………………………………………..	4
3.	Приборы и принадлежности……………………………………….	9
4.	Требования по технике безопасности……………………………..	9
5.	Порядок выполнения работы………………………………………	9
6.	Требования к отчёту………………………………………………..	14
7.	Контрольные вопросы……………………………………………...	14
	Список литературы…………………………………………………	15

                        

                                                                                                            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ  МОМЕНТОВ  ИНЕРЦИИ  ТВЕРДЫХ  ТЕЛ

МЕТОДОМ  ТРИФИЛЯРНОГО  ПОДВЕСА

1.   Цель  работы

1. Экспериментальное определение моментов инерции твердых тел.
2. Проверка теоремы Штейнера.

2.   Теоретическая  часть

2.1.  Момент инерции. Теорема Штейнера

Моментом инерции материальной точки относительно оси называют произведение массы этой точки  m_i на квадрат ее расстояния до оси 

.

Моментом инерции тела относительно оси называют сумму моментов инерции  материальных точек, из которых состоит  это тело

.                                      (2.1)

Представляя тело состоящим из сколько  угодно малых частей объемом dV и массы dm, его момент инерции можно рассчитать интегрированием

,                                                      (2.2)

где  r - расстояние  от  элемента  тела  объемом   dV до  оси,  относительно

которой рассчитывается момент инерции.

Так как  dm = r dV, где r - плотность тела в данной области dV, то

.

Если тело однородно, то для всех областей ρ одинаково и

 

 

.

Наиболее просто определяются моменты  инерции тел правильной геометрической формы с равномерным распределением массы по объему.

Рассчитаем момент инерции  сплошного  однородного диска массы m и радиуса R относительно оси симметрии (рис. 2.1).

Выделим элемент тела объемом dV и массы dm, длиной  dr, шириной rdj и высотой h, где h- толщина диска отстоящий на расстоянии r от оси  OO¢, масса этого элемента  dm = r dV = r  h dS = r h r dj dr.

Момент инерции диска

                                             ρr³hdrdj ,

                                            .                 (2.3)

Рис. 2.1

Из (2.3) следует, что момент инерции сплошного однородного диска зависит только от его массы и радиуса и не зависит от толщины диска. Поэтому формула (2.3) применима для расчета момента инерции сплошного однородного цилиндра относительно оси симметрии. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент  инерции    тела относительно

любой    параллельной  оси  можно определить, воспользовавшись теоремой Штейнера, согласно которой  момент инерции I тела относительно произ-                                                                                             вольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси,

параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения

массы тела m на квадрат расстояния а между осями

                                                   

.                                          (2.4)

 Момент инерции тела относительно оси является мерой инертности тела при вращательном движении (мерой инертности тела при поступательном движении является его масса) и зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси. Тело обладает определенным моментом инерции относительно любой оси независимо от того, вращается оно или находится в покое.

 

2.2. Метод трифилярного подвеса                                 

В настоящей работе моменты инерции  твердых тел определяются с помощью  трифилярного подвеса, представляющего  собой диск радиуса R, подвешенный горизонтально на трех нитях длиной L к неподвижному диску меньшего радиуса  r  (рис. 2.2). Центры дисков расположены на одной вертикальной оси OO¢, вокруг которой нижний диск может совершать крутильные  колебания. При колебаниях центр масс С диска радиуса R перемещается вдоль оси OO¢.

r                 L                          C                          R                         Рис. 2.2

При повороте нижнего диска на угол j вокруг оси OO¢ его перемещение равно h (рис.2.3), а приращение потенциальной энергии                                                   Eп=mgh , где  m - масса нижнего диска. Колеблющийся диск совершает поступательное и вращательное движение, поэтому его кинетическая

энергия равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения

,

где   I - момент инерции диска относительно оси OO¢,

         w - угловая скорость диска,

v - скорость центра масс диска.

При небольших смещениях диска  по вертикали по сравнению с длиной нитей, т.е. при малых углах поворота, пренебрегая вязкостью воздуха, можно показать, что диск совершает гармонические колебания и угол j  его поворота изменяется со временем по закону

              

,

где - амплитуда углового смещения,

       T – период колебаний;

а изменение потенциальной энергии  диска при максимальном угле поворота равно максимальной кинетической энергии вращательного движения, которой он обладает в момент прохождения положения равновесия

,

где - угловая скорость диска в момент прохождения положения равновесия.

Отсюда момент инерции диска 

                                                  

.                                     (2.5)

Угловая скорость диска меняется по гармоническому закону

              

.

Следовательно, максимальная угловая  скорость равна

.                                                  (2.6)

Высоту h,  на которую поднимается диск, определим из геометрических соображений (рис. 2.3)

                                                     .                                    (2.7)

                                   О

                             r        

 

 

          L                                       

                                                                           l₁            l                                                                                                                                        

                                                                                                       

А                   

        A₁                                                             h

                 R

Но

           (2.8)                                                               

С учетом уравнения (2.8) уравнение (2.7) запишем в виде

  .

При малых углах       а . 

Таким образом

  .                                                    (2.9)

Подставляя (2.6) и (2.9) в (2.5) получим 

                               .                                           (2.10)

Уравнение (2.10) можно применять  не только для расчета момента  инерции диска ( ) относительно оси OO¢, но и для расчета момента инерции диска с грузами ( I ). Момент инерции груза ( ) можно найти

                                                    .                                             (2.11)

3.  Приборы и принадлежности

 

Приборы и принадлежности:

- трифилярный подвес;

- набор тел (2 сплошных цилиндра, параллелепипед, полый цилиндр);

- электросекундомер;

- линейка.

 

4. Требования по технике безопасности

 

4.1. Прежде чем приступить к  работе, внимательно ознакомьтесь  с заданием и лабораторной установкой.

4.2. По окончании работы приведите  в порядок свое рабочее место.  Обесточьте электросекундомер.

5. Порядок выполнения работы

 

В работе определяются моменты инерции:

- ненагруженного диска;

- диска с грузами; 

- грузов.

   Задания 5.4 и 5.5 выполняются по указанию преподавателя.

 

5.1. Определение момента инерции  ненагруженного диска

1. Измерить радиус R нижнего диска, радиус r верхнего диска и длину L нитей. Масса диска  =(0,8885±0,0001) кг.

2. Повернуть диск на угол 5-6  градусов  вокруг оси OO¢ и измерить электросекундомером время 20 полных колебаний.

3. Повторить измерения еще 2 раза  и результаты записать в табл. 5.1.

4. Определить среднее время 20 колебаний и рассчитать средний  период колебаний

  ,

где n - число колебаний.

5. По формуле (2.10) вычислить момент  инерции ненагруженного диска.

6. Рассчитать относительную и  абсолютную погрешности измерения  момента инерции диска .

Таблица 5.1

№	, кг	R, м	r, м	l, м	,  с	,cp, с	,  с	, кг×м2	, кг×м2	ε, %
1
2

 

5.2. Определение  момента  инерции  сплошного  цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс тела

1. Расположить исследуемое тело  на диске так, чтобы его ось  симметрии совпала с осью OO¢ (рис. 2.3).

2. Повернув диск на 5-6 градусов  и OO¢ 3 раза измерить время 20 полных колебаний.

3. Рассчитать среднее время и  определить средний период колебаний Т нагруженного диска

    .                                                         (5.1)

4. По формуле 2.10 вычислить момент  инерции I_c1 системы, принимая массу m равной сумме масс исследуемого тела и диска.

5. По формуле 2.11 определить момент  инерции I₁ цилиндра.

6. Рассчитать погрешности измерения  момента инерции цилиндра.

7. Рассчитать момент инерции  сплошного цилиндра относительно  оси вращения, проходящей через его центр инерции, по формуле

   _{теор цил} ,

где m_цил - масса цилиндра,

       r - радиус цилиндра.

8. Сравнить значения момента  инерции сплошного цилиндра, полученные  экспериментально и теоретически.

9. Внести результаты измерений  и расчетов в табл. 5.2.

                                                                                                          Таблица 5.2

№	m, кг	mцил, кг	T, с	tcp, с	, кг×м2	, кг×м2	, кг×м2	ε, %	I1теор, кг×м2
1
2
3

 

5.3. Проверка теоремы Штейнера

1. Расположить строго симметрично  на диске два цилиндра.

2. Повернув диск с цилиндрами на 5-6 градусов и OO¢, 3 раза измерить время 20 полных колебаний. По среднему времени по формуле (5.1) вычислить период колебаний нагруженного диска.

3. По формуле (2.10) рассчитать  момент инерции  системы, принимая массу m, равной массе диска и двух цилиндров ( _цил).

4. Определить момент инерции I₂ одного цилиндра по формуле