Определение момента инерции маховика

Лабораторная работа 1-4.

Определение момента инерции маховика

Приборы и принадлежности: маховик, секундомер, штангенциркуль, набор грузов по 200 и 300 г, вертикальный масштаб.

Цель работы:

1. Изучить основной закон динамики вращательного движения твердого тела;
2. Определить момент инерции маховика.

 

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела

 

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все частицы тела совершают плоское движение, причем линейные скорости и ускорения различных частиц различны. Угловая скорость вращения одинакова для всех частей тела. Если угловая скорость изменяется во времени, то это изменение можно характеризовать угловым ускорением.

Для заданного вращающего тела угловое ускорение определяется действием сумм моментов сил. Такая зависимость должна существовать потому, что равновесие тела определяется равенством нулю моментов сил. Как только момент сил относительно оси вращения не будет равен нулю, нарушится равновесие, начнется вращательное движение и возникнет угловое ускорение.

Для отыскания связи между угловым ускорением тела и моментами сил, действующих на него, рассмотрим движение одной какой-то выделенной частицы вращающего тела (рис. 4-1).

Пусть частица массой Δmi находится на расстоянии ri от оси вращения ОО'. На частицу могут действовать как внутренние, так и внешние силы. Внешние силы приложены со стороны других тел, а внутренние – со стороны других частиц того же тела. Обозначим через fi величину проекции суммы внутренних сил, действующих на Δmi на направление, перпендикулярное к ri.

Fi – есть проекция на то же направление суммы внешних сил. К каждой точке вращающегося тела применим второй закон Ньютона:

Fi + fi = Δmi ∙ ai                                          (4-1)

Где ai – линейное ускорение точки, связанное с угловым ускорением вращающегося тела соотношением

ai = ε ∙ ri

Подставляя в (4-1) значение ai, а затем умножая справа и слева уравнение (4-1) на ri, получим:

Fi ∙ ri + fi ∙ ri = Δmi ∙ ri2 ∙ ε                                           (4-2)

Величина Δmi ∙ ri2, численно равная произведению массы частицы на квадрат расстояния до оси вращения, называется моментом инерции точки относительно оси вращения.

Величины Fi ∙ ri и fi ∙ ri определяют моменты внешних и внутренних сил, действующих на i-ю точку.

Произведение вращающей силы Fi на радиус окружности ri, описываемой точкой приложения силы, называется вращающим моментом (моментом вращающей силы).

Уравнения (4-1) и (4-2) по всем элементам тела, получим:

ΣFi ∙ ri + Σfi ∙ ri = εΣΔmi ∙ ri2                         (4-3)

Рисунок 4.1

 

Угловое ускорение постоянно дл всех элементов системы поэтому его можно вынести за знак суммы.

Величина J = ΣΔmi ∙ ri2, равная сумме моментов инерции отдельных точек, называется моментом инерции тела относительно оси вращения.

Момент инерции тела есть величина, характеризующая инертность тела при вращении.

Величина Σfi ∙ ri равна нулю, т.к. каждая внутренняя сила имеет равную и противоположную ей силу, приложенную к другой частице с тем же самым плечом.

Величина М = ΣFi ∙ ri определяет момент всех внешних сил, приложенных к телу. Вводя обозначение момента инерции тела J и момента сил М, перепишем уравнение (4-3) в виде:

                                     (4-4)

Это есть основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Это закон аналогичен основному закону динамики для поступательного движения. Только вместо величины силы в уравнение (4-4) входит момент сил относительно оси, вместо линейного ускорения – угловое ускорение, вместо массы – момент инерции тела относительно оси вращения. Основной закон вращательного движения в форме уравнения (4-4) применим для таких вращающихся систем, у которых момент инерции в процессе вращения остается постоянным.

Если при вращении момент инерции изменяется, то применяется более общая форма основного закона вращения тела – закон изменения момента количества движения:

                                (4-5)

Величина М ∙ Δt – называется импульсом момента сил, а величина – моментом количества движения.

Согласно равенству (4-5) изменение момента количества движения твердого тела численно равно импульсу момента приложенных к нему сил.

При отсутствии момента сил момент количества движения остается постоянным. Это следствие известно под названием закона сохранения момента количества движения.

 

Описание прибора и вывод расчетной формулы

 

Маховик (рис. 4.2) представляет собой массивный диск, плотно сидящий на валу. Вал может вращаться в подшипниках с малым трением около горизонтальной оси ОО'. Ось вращения проходит через центр тяжести маховика. На валу плотно насажен шкив, снабженный болтиком, на который надевается петля нити и нить наматывается в несколько оборотов на шкив.

Рисунок 4.2

На свободный конец нити помещен груз Q, приводящий всю систему в равноускоренное движение.

Под действием груза Q на маховик будет действовать вращающий момент М, равный произведению силы f, приложенной к нити (натяжение нити) на плечо, т.е.

                          (4-6)

где D – диаметр шкива.

Если тело Q действует на нить с силой f, то нить действует на тело Q с силой F (сила F приложена к телу). В соответствии с третьим законом Ньютона эти силы равны по величине, но противоположны по направлению, т.е.

                           (4-7)

Для определения силы F рассмотрим движение тела Q вниз. На тело Q действуют две силы: со стороны земли – Р (сила тяжести), со стороны нити – F. Под действием этих сил груз будет совершать движение с ускорением а, которое определяем из уравнения:

Р – F = m ∙ a,                              (4-8)

где m – масса груза.

Отсюда:

F = m ∙ (g-a),                               (4-9)

где g – ускорение силы тяжести.

Вращающий момент М с учетом (4-9) и (4-7) определяется выражением:

                      (4-10)

Момент инерции маховика на основании уравнения (4-4) равен:

                (4-11)

где ε – угловое ускорение маховика и шкива;

а – линейное ускорение.

Угловое ускорение шкива Е и линейное ускорение а точек его цилиндрической поверхности связаны следующими соотношениями

,                                      (4-12)

где r – радиус шкива.

Измеряя секундомером время опускания груза Q с высоты h, найдем величину линейного ускорения:

                                          (4-13)

С учетом (4-12) и (4-13) получим формулу для определения момента инерции маховика:

                 (4-14)

 

Порядок выполнения работы

 

1. На технических весах определяем массу m1 и m2 грузов Q1 иQ2 с точностью до 0,1 г и измеряем штангенциркулем диаметр шкива D.
2. Нить на которой укреплен груз Q1, закрепляем на болтик шкива. Поднимаем груз Q1 на высоту h, близкую к максимальной. Измеряем масштабной линейкой с точностью до 0,5 см высоту h (от нижнего торца груза до пола).
3. Определяем время опускания груза Q1 с высоты h. Для этого одновременно опускаем маховик и включаем секундомер. В момент удара груза о пол секундомер выключаем. Записываем результаты измерений в таблицу и повторяем опыт пять раз.
4. Повторяем опыт с грузом Q2 (масса m2).

 

№ п.п	1	2	3	4	5	1	2	3	4	5
t, с	9,7	9,8	9,9	9,7	9,8	7,0	7,1	7,2	6,9	7,1
	t'ср = 9,78 c					t'ср = 7,06

 

 

Обработка результатов

1. По формуле (4-14) подсчитываем дважды момент инерции маховика, используя результаты измерений (t для обоих грузов Q).

Для груза массой 200 г:

Для груза массой 300 г:

2. Для одного из измерений, например первого, определяем относительную и абсолютную погрешности измерения, момента инерции.

Относительную погрешность определяем по формуле:

Абсолютную погрешность – по формуле

3. Результаты одного из измерений момента инерции маховика представляем в виде:

J = (JI ± ΔJI) кГм2.

J = 0,19 ± 0,05 кГм2.

 

Контрольные вопросы.

1. Каково основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела?

 

 – основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

 

2. Как определяется момент силы относительно произвольной оси?

 

Моментом силы  относительно произвольной оси z называется векторное произведение радиус-вектора  и составляющей ей перпендикулярно силы, приложенной к точке А.

 

3. Что называют моментом инерции тела?

 

 

 Момент инерции твердого тела сумма моментов инерции составляющих его частиц М = ΣFi ∙ ri.

 

4. Что называют моментом инерции точки?

 

Произведение массы точки на квадрат ее расстояния до оси назовем моментом инерции материальной точки относительно оси.

 

5. Как формулируется закон изменения количества движения?

 

Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, — это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.

Закон об изменении количества движения системы утверждает:

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

 

6. Вывод расчетной формулы для момента инерции маховика.

 

Под действием груза Q на маховик будет действовать вращающий момент М, равный произведению силы f, приложенной к нити (натяжение нити) на плечо, т.е.

                          (4-6)

где D – диаметр шкива.

Если тело Q действует на нить с силой f, то нить действует на тело Q с силой F (сила F приложена к телу). В соответствии с третьим законом Ньютона эти силы равны по величине, но противоположны по направлению, т.е.

                           (4-7)

Для определения силы F рассмотрим движение тела Q вниз. На тело Q действуют две силы: со стороны земли – Р (сила тяжести), со стороны нити – F. Под действием этих сил груз будет совершать движение с ускорением а, которое определяем из уравнения:

Р – F = m ∙ a,                              (4-8)

где m – масса груза.

Отсюда:

F = m ∙ (g-a),                               (4-9)

где g – ускорение силы тяжести.

Вращающий момент М с учетом (4-9) и (4-7) определяется выражением:

                      (4-10)

Момент инерции маховика на основании уравнения (4-4) равен:

                (4-11)

где ε – угловое ускорение маховика и шкива;

а – линейное ускорение.

Угловое ускорение шкива Е и линейное ускорение а точек его цилиндрической поверхности связаны следующими соотношениями

,                                      (4-12)

где r – радиус шкива.

Измеряя секундомером время опускания груза Q с высоты h, найдем величину линейного ускорения: