Лабораторная  работа №1-16.

Определение коэффициента восстановления скорости

при соударении шаров.

    Цель  работы: Ознакомление с явлениями, связанными с движением и соударением шаров. Определение коэффициентов восстановления скорости и энергии при не абсолютно упругом ударе.

    Краткая  теория

 

    Ударом  называется относительно кратковременное  взаимодействие двух или более тел  (время взаимодействия значительно меньше времени движения тел).

    Различают два предельных случая ударов:

    1) абсолютно упругий удар, когда  в процессе соударения между телами действуют силы упругости и после удара тела восстанавливают свою форму.

    2) абсолютно неупругий удар, когда  в процессе соударения тела  необратимо деформируются и силы  внутреннего трения, совершая работу, переводят механическую энергию тел частично или полностью в их внутреннюю энергию. После абсолютно неупругого удара тела движутся с одинаковыми скоростями (как одно целое) или покоятся.

    Исследуем некоторые вопросы, связанные с  ударом двух тел на следующей лабораторной установке.

     Опыты по удару  проводятся с помощью шаров, подвешенных  на бифилярных подвесах, исключающих возможность их вращения. Отсчет отклонения шаров 1 и 2 от вертикали ведется по шкалам 4. Шар 1 можно удерживать в отклоненном положении с помощью электромагнита 3.

    Рассмотрим  процесс соударения.

    1) Удар абсолютно упругий. 
 
 
 
 
 
 
 
 

    В момент удара система, состоящая  из двух шаров, не является замкнутой, так как на шары действуют внешние силы тяжести и реакции подвесов, причем их сумма не равна нулю, так как шары движутся по дуге окружности и обладают нормальным ускорением. В таком случае, как известно, закон сохранения импульса может быть записан для проекций импульсов тел на координатную ось, на которую внешние силы дают нулевые проекции. У нас в момент удара это горизонтальная ось Х.

    Тогда                                                                   (1) 

    Так как  силы, действующие на шары в  момент удара, являются консервативными (силы тяжести и упругости), то полная механическая энергия системы до и после удара остается постоянной. Учтем при этом, что потенциальная энергия шаров до и после удара одинакова. Кроме того, в момент удара скорости шаров имеют отличную от нуля проекцию только на горизонтальную ось Х, поэтому при нахождении кинетических энергий можно заменить квадраты модулей скоростей квадратами проекций скоростей на ось Х

      Тогда                                                             (2)

    Решая совместно уравнения (1) и (2), легко  найти 

                                                                                          (3) 

                                                                                                   (4) 

     В уравнениях (3) и (4) знаки у проекций скоростей зависят от направления движения шаров до и после удара относительно оси Х.

    2) Удар абсолютно неупругий.    
 
 
 
 
 
 

    В данном случае система шаров также  не является замкнутой и закон  сохранения импульса следует записывать для проекций импульсов шаров на горизонтальную ось Х, на которую внешние силы тяжести и реакции подвеса дают нулевые проекции в момент удара.

                                                                                   (5)

    Отсюда  получаем проекцию на ось Х общей скорости шаров после удара

                                                                                                     (6)

    Закон сохранения механической энергии в  данном случае не выполняется. 

    В реальных опытах удар не бывает ни абсолютно упругим ни абсолютно неупругим. Величина, характеризующая упругие свойства материала тел при их соударении называется коэффициентом восстановления скорости и обозначается  k. Он равен отношению модулей относительных скоростей тел после и до удара

                                                                                                                (7)

    Значения  величины  k  лежат в пределах от 0 (абсолютно неупругий удар) до 1 (абсолютно упругий удар).

    Из  классического закона сложения скоростей  следует, что в нашем случае

                ,                               .

    Тогда                                                                                    (8) 

     Непосредственное  измерение скоростей шаров довольно сложно. Их можно вычислить, измеряя, например, углы отклонения подвесов шаров  от вертикали до и после удара. На основании закона сохранения механической энергии можно приравнять полные энергии шаров в момент наибольшего отклонения (v = 0) и в нижней точке траектории  (h = 0). При этом нулевой уровень потенциальной энергии проходит через положение равновесия шаров.

       
 

                                                                                                  (9)

    Высота  подъема шара может быть найдена  по углу его отклонения (см. рис.).

                                               (10)

    Подставляя  (10)  в  (9), получим

                                                                                          (11)

    Учтем, что в нашем случае модули скоростей  шаров до и после удара равны  модулям их проекций на горизонтальную ось Х.

    Тогда                           

                                         

                                          ,

    где  α₀ – угол отклонения налетающего (первого) шара перед ударом,

            α₂ – угол отклонения второго шара после удара,

            α₁ – угол отклонения первого шара после удара. 

    Подставим полученные выражения для проекций скоростей в формулу (8).

    После сокращений получим

                                   . 

    Известно, что для малых углов их синусы равны значениям самих углов в радианах. Если при проведении опытов использовать малые углы отклонения шаров (не более 10^о), то в последнем выражении можно заменить синусы углов на значения углов, измеренные в радианах. Тогда для коэффициента восстановления  k  получим окончательную расчетную формулу 

                                                                                                  (12)

 

     Ход работы.

1. Выберем материал шаров: СЛОНОВАЯ КОСТЬ.
2. Проведем эксперимент пять раз, и занесем данные в таблицу.

 

Обработка результатов. 

1. Переведем значения углов a_о, a₁, a₂ в радианы:

 

2.  Рассчитаем значения <a₁> и <a₂ > в радианах.

 

3. Определите  погрешности величин a_о, a₁ и a₂ по правилам обработки результатов прямых измерений. Определим приборную погрешность:

    

      Определим величины отклонений результатов измерений  от среднего значения.

 
 

Рассчитаем  среднеквадратичную погрешность для a1 и a2:

4. Рассчитайте среднее значение коэффициента восстановления скорости один раз по формуле:

     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5. Найдите погрешности  величины по правилам обработки результатов косвенных воспроизводимых измерений.

Вывод:

При сравнении полученного значения с табличным значением, видно, что значения практически одинаковы. Коэффициент восстановления скорости k говорит, о том, что материал Слоновая кость является недостаточно упругим.