Оозғалыс үшін динамиканың негізгі заңын жазыңыз

Тақырыбы: Инерция моментін анықтау және Штейнер теоремасын тексеру

Құрал – жабдықтар: Трифилярлық аспа, секундомер, бүрдей екі жүк, өлшеуіш сызғыш

Керекті формулалар:

                                                           

                                             

 

                      

                      

                          

               

 

                   

 

1-ші кесте

№	l, м	, м	,м	, м	,м	R, м	, м	,м	,м	,м
1	1,55	1,546	0,004	0,0034	0,015	0,15	0,1496	0,0004	0,00034	0,0015
2	1,54		0,006			0,15		0,0004
3	1,55		0,004			0,149		0,0006

 

 

2-ші кесте

,кг	,кг	m ,кг	,кг	r ,м	,м
0.585	0.0005	1	0.0005	0.071	0.0005

 

3-ші кесте

k	t ,с	,с	,с	,с	,с	,с	,	,	,
10	38,35	3,835	3,8405	0,0055	0,003	0,007	0,015	0,0003	0,015 0,0003
10	39,24	3,924		0,0835
10	38,01	3,801		0,0395
10	37,25	3,725		0,1155
10	39,12	3,912		0,0715
10	38,46	3,846		0,0055

 

 

 

 

4-ші кесте

k	t ,с	T ,с	,с	I , ,	,,
10	28.78	2.878	2.863	0.023	0.008
10	28.73	2.873
10	29.31	2.931
10	27.76	2.776
10	27.95	2.795
10	29.24	2.924

 

 

5-ші кесте

k	,с	,с	,с	,с	,	d ,м	,
10	35.68	3.568	3.565	0.0351	0.0201	0.11	0.0201
10	35.59	3.559
10	35.67	3.567
10	35.72	3.572
10	35.64	3.564
10	35.61	3.561

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Бақылау сұрақтары мен жауаптары

 

1) Бұрыштық жылдамдық дегеніміз не? Бұрыштық жылдамдықтың векторы қалай бағытталған?

Бұрыштық жылдамдық — қатты дененің айналу шапшаңдығын сипаттайтын векторлық шама; дененің айналмалы қозғалысының кинематикалық мөлшері, шеңбер бойымен қозғалыс жасайтын денелердің бірлік уақытта радиус векторында қиып өткен бұрыштарының радиан түріндегі шамасы.

Модулі өте аз уақыт ішінде айналу бұрышының сол уақытқа қатынасымен анықталады, ал бағыты айналу осінің бойымен дененің айналуы сағат тіліне қарсы бағытта.

      Модулі айналу бұрышының модулінен уақыт бойынша алынған бірінші туындыға тең. Бұрыштық жылдамдықтың бірліктердің халықаралық жүйесіндегі өлшем бірлігі: рад/с

ω=∆φ/∆t        ω=2π/T=2πν     

 

2) Бұрыштық үдеу дегеніміз не? Бұрыштық үдеу қалай бағытталған?

Бұрыштық үдеу — бұрыштық жылдамдықтың өзгеру шапшаңдығын сипаттайтын векторлық шама; - бұрыштық жылдамдық өзгерісінің осы өзгеріс өткен уақыт аралығына қатынасымен анықталатын бұрыштық жылдамдықтың өзгеруінің лездігі. бұрыштық үдеу бұрыштық жылдамдықтың уақыт бойынша алынған бірінші туындысына тең векторлық шама:                                                    

үдемелі айналмалы қозғалыста бұрыштық үдеу векторы   бұрыштық

жылдамдық    векторымен бағыттас, кемімелі қозғалыста  оған қарама-қарсы  болады. Бұрыштық үдеудің бірліктердің халықаралық жүйесіндегі өлшем бірлігі: рад/с2

 

 

3) Материялық нүктенің инерция моменті неге тең? Қандай денені материялық нүкте деп қабылдаймыз?

Материялық нүкте деп қозғалыстың қарастырылып отырган жағдайында өлшемдерін елемеуге болатын денені айтады. Шындығына келгенде, табиғатта ешқандай материялық нүкте жоқ. Ол нақты дененің ойдан алынған үлгісі болып табылады. Бұл ұғым механикадағы кейбір мәселелерді шешудін ыңғайлы әрі карапайым болуы үшін ғана енгізілген.

Инерция моменті - айналмалы қозғалыстағы қатгы дененің инерттілігінің өлшемі.  Материялық нүктенің айналу өсіне қатысты инерция моменті деп сол нүктенің массасын оның айналу өсіне дейінгі қашықтығының квадратына көбейткенге тең шаманы айтады.           

 

4) Материялық нүкте деп есептеуге болмайтын дененің инерция моментін қалай есептеп шығаруға болады?

Айналу осіне қатысты дененің инерция моменті деп жүйенің материалық нүктелерінің массаларының қосындысын айналу осіне дейінгі қашықтықтың квадраттарына көбейткенге тең шаманы айтады.  

 

5) Массаның  центрі арқылы өтетін өске  қатысты дискінің, шардың, шеңбердің (обруч), стерженьнің (өзекше) инерция моменті неге тең?

 

1. Радиусы R шеңбер бойымен айналатын материялдық  нүктенің инерция моменті (2,а-сурет)

                                             J0 = mR2

 

2.Жұқа сақинаның (құрсаудың) моменті (2,ә-сурет)

 

                                           J0 = mR2

 

3. Тұтас дөңгелектің (цилиндр) инерция  моменті (2, б-сурет)

 

                                      J0 = mR2 /2

 

 

4. Тұтас шардың инерция моменті J0 =2/5 mR2  (2, в-сурет)

 

                                           2-сурет

 

5.Дене жұқа диск. Дискінің қалыңдығы b дискінің R радиусынан  бірнеше есе кіші болады: (b<<R). Дискінің диаметріне дәл келетін оське қатысты инерция моменті мынаған тең:

  

6. Мұндағы  m — стерженьнің массасы; l —  стерженьнің ұзындығы.

Z осіне қатысты біртекті стержень үшін, ( а-сурет),

 

 

оның ауырлық центрі арқылы өтетін 

 

1-сурет

 

 

        Айналу осі  массалар центрі арқылы өтпегенде, инерция моментін анықтау үшін Гюйгенс-Штейнер формуласын пайдаланамыз. Ауырлық центрі арқылы өтпейтін кез келген оське қатысты дененің инерция моменті осы дененің ауырлық центрі арқылы өтетін осіне қатысты инерция моментін дене массасы мен осы остер арасындағы арақашықтықтың көбейтіндісіне қосқанға тең.

Дәлелдеу: Айналмалы қозғалыстың толық энергиясы үшін массалар центрі және ОО1 осі арқылы өтетін ості айнала қозғалыс кезіндегі энергияның қосындысынан шығады, яғни

 

                                     Wайн = J0ω2/2 +mV2/2

 

мұндағы m- массалар центріндегі жіңішке шыбықтың массасы, J0- массалар центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті.

    Айналмалы екі қозғалыстың  бұрыштық жылдамдықтары бірдей, демек,

  Wайн = J0ω2/2 + m ω2a2/2     немесе       Wайн = (J0  + m a2)  ω2 /2

мұндағы а- ОО1 осінен массалар центріне  (біздің жағдайымызда      l /2) дейінгі қашықтық. Соңғы өрнектен массалар центрінен өтпейтін дененің оське қатысты инерция моменті

                                        J = J0 + ma2

 

Осы теңдеу Гюйгенс-Штейнер теоремасын береді.

a= l /2 болғандықтан,

                          J0 = J0 + ml2/4 = ml2/12 + ml2/4= ml2/3

 

 

 

6) Штейнер теоремасын өрнектеу.

Штейнер теоремасы былай тұжырымдалады: Кез келген оське қатысты I инерция моменті - берілген оське параллель және дене инерциясының центрі арқылы өтетін оське қатысты I0 инерция моменті мен дененің массасының m мен осьтер арасындағы d ара қашықтығының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең:  

 

 

 

Сонымен, Штейнер теоремасы, кез келген оське қатысты инерция моментін есептеп шығару, дене инерциясының центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моментін есептеп шығаруға мүмкіндік береді.

                                                                                             

 

 

 

7) Күш моменті  дегеніміз не?

Айнымалы қозғалыстың үдеуі тек денеге әсер ететін F күшінің шамасына ғана емес, сонымен қатар айналу осінен өн бойымен күш әсер ететін сызыққа дейінгі l қашықтыққа тәуелді. Fl kөбейтіндісі айналу осіне қатысты күш моменті деп аталады.

Күш моменті - күштің әсер ету сызығынан күш әрекеті қарастырылатын өске дейінгі ара кашықтығымен күштің көбейтіндісіне тең шама. Күш моменті күш пен радиустың жазықтығына перпендикуляр болады.

 

8) Айналмалы  дененің кинетикалық энергиясы  неге тең?

Дененің айналмалы қозғалысының  кинетикалық              энергиясы оның жеке бөліктерінің кинетикалық энергиясынан құралады:

    немесе

 

бұған енді     i=riω      өрнегін пайдалансақ:

                            Сонымен, қозғалмайтын остьтен айналатын  дененің кинетикалық энергиясы  деп, осы оське қатысты инерция  моменті мен бұрыштық жылдамдықтың  квадратының көбейтіндісінің жартысына  тең шаманы айтады:

                          

 

9) Штейнер  теоремасын тексеру қалай қорытындалады?

Штейнер теоремасын дәлелдеу үшін формасы еркінше алынған денені қарастырайық. Бір біріне параллель болатын екі ОО және О1О1 осьтерін алайық. Олардың біреуі ОО осі дененің инерция центрі арқылы өтеді. Осы осьтер xyz және  x1y1z1координата осьтерін байланыстырамыз. Сонымен қатар,х және х1 осьтерін бір біріне дәл ететіндей етіп жасаймыз. Сонда  элементар массалары координаталарының арасында келесі қатыстар орын алады:  x1=a+xi;  yi ; мұндағы  a- осьтердің ара қашықтығы. элементар массасының ОО осьтен қашықтығының квадраты мынаған тең:                              , ал О1О1 осьтен қашықтығының квадраты мынаған тең: . Соған байланысты, ОО осіне қатысты дененің инерция моменті мынадай өрнекпен анықталады: (1), ал О1О1 осіне қатысты инерция моменті мынаған тең болады: (2). Жай жақшаның ішінде тұрған өрнекті квадрат дәрежеге шығарып, сәйкес қосылғыштарды өзара топтастырамыз. (3). Үшінші теңдеудегі бірінші қосынды бірінші өрнекпен теңбе-тең, яғни І0 болып есептеледі. Екінші қосынды md2 шамасын береді. Ал үшінші қосындының нольге тең екендігін байқау қиын емес. Сонымен, үшінші формула мына түрге келеді: I=I0+md2.

 

10) Айналмалы  қозғалыс үшін динамиканың негізгі  заңын жазыңыз.

Берілген  О  нүктеден күштің А түсу нүктесіне жүргізілген  радиус-вектор  мен  күш векторының векторлық көбейтіндісіне тең физикалық шама қозғалмайтын О нүктесіне қатысты күш моменті деп аталады (14-сурет).

                                              (48)

Күш моменті векторының модулі

 

, мұндағы  -берілген және арасындағы бұрыш, -күш иіні. Күш моментінің векторы сағат тілінің бағытымен бұранданың    векторынан векторына қарай айналдыра бұраған кездегі ілгерілемелі қозғалысына  сәйкес псевдовектор. Қозғалмайтын   айналу осіне қатысты күш моменті берілген осьтің  бойында жатқан кез келген О нүктесіне қатысты анықталған күш моменті векторының осы оське жүргі-зілген проекциясына тең скалярлық шама (15-сурет).

 

 

 

 

 

     14-сурет

 

    15-сурет

 

Мұнда -күш бағыты мен радиус-вектор  арасындағы бұрыш. Денені абсолют қатты деп есептегенде, осы күштің жұмысы дене бұрылғандағы атқарылған жұмысқа тең болады. Дене шексіз аз бұрышқа бұрыл-ғанда В нүктесі жол өтіп, орындалған жұмыс күштің ығысу бағытына проекциясын ығысу шамасына көбейткенге тең: .     (49)

    16-сурет

 

     осыдан: , немесе     .              .                                  (50)

осы өрнек  қатты дененің қозғалмайтын оське қатысты айналмалы қозғалысының негізгі теңдеуі деп аталады. айналу z осі дененің масса-лар центрінен өтетін бас инерциялық осьпен дәл келгенде, теңдеу векторлы түрде жазылады:         

                                                             ,                                            (51) Бұл-айнымалы қозғалыс динамикасының негізгі теңдеуі, айналу қозғалысы үшін Ньютонның екінші заңы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пайдаланылған әдебиеттер

 

1. Трофимова  Т.И. Курс физики: Учебник для студ. вузов. – М.: Высш. шк., 1985. – 432 стр.  

2. Абдуллаев  Ж. Физика курсы: Жоғары оқу орындары  студенттеріне арналған оқу құралы. – Алматы: Білім, 1994. – 352 бет.

3. Савельев И.В. Жалпы физика курсы, І том. Механика, Тербелістер және толқындар, Молекулалық физика. – Алматы: Мектеп, 1977. – 508 бет.

4. Қойшыбаев Н., Шарықбаев. А. О., Физика І том. −Алматы: Кітап, 2001. АСТ:Астрель, 2005.

5. 14-сурет 15-сурет 16-сурет 17-сурет4. Шоқанов Ә. Қ., Құрманұлы О., Физика. Механика. Теория, есептер, есеп шығару тәсілдері.−Алматы: ҚазҰТУ, 1998.