Независимые испытания. Формула Бернулли

Независимые испытания. Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний илисхемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из  урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации  его цвета кладется обратно  в урну;

2) повторение одним стрелком  выстрелов по одной и той  же мишени при условии, что  вероятность удачного попадания  при каждом выстреле принимается  одинаковой (роль пристрелки не  учитывается).

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. p=P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой q=P(A¯¯¯¯)=1−p.

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражаетсяформулой Бернулли

Pn(k)=Ckn⋅pk⋅qn−k,q=1−p.

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

 

 

Говорят, что задача подчиняется схеме Бернулли, если при повторных независимых испытаниях:

1. число  испытаний n конечно

2. каждое  испытание имеет только два  исхода: 1) событие А осуществилось и 2) событие А не осуществилось

3. все  испытания независимые

4. вероятность  появления события А в каждом испытании постоянна

Если при выполнении n независимых повторных испытаний вероятность осуществления события А в каждом отдельном испытании равна p (вероятность противоположного события равна q=1-p), то вероятность осуществления события А ровно m раз в n испытаниях выражается формулой Бернулли:

Предельные случаи формулы Бернулли (асимптотические формулы):

а) При большом числе n повторных испытаний пользоваться формулой Бернулли затруднительно, т. к. это связано с большими числами.

Теорема Муавра – Лапласа: Если вероятность осуществления некоторого события А в n испытаниях постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность pn(m) того, что в n независимых испытаниях событие А осуществится ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:

где  ; 

Функция  четная, т.е.  . Значения функции  можно найти в таблицах.

б) Однако, если n велико, но при этом вероятность p события мала (p≤0,1). Вэтом случае пользуются асимптотической формулой Пуассона(законом редких событий):

где  . Приближенное правило применения формулы Пуассона состоит в том, что n должно быть не меньше нескольких десятков, а лучше сотен, значение параметра μ должно находиться между 0 и 10. При больших μ рекомендуется применять теорему Муавра – Лапласа.