Момент инерции различных тел. Теорема Штейнера

Министерство  образования и науки Российской Федерации

 

 

 

Санкт-Петербургский государственный  горный университет

 

Кафедра общей и технической  физики

 

Отчет по лабораторной работе №15

МОМЕНТ  ИНЕРЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕЛ. ТЕОРЕМА  ШТЕЙНЕРА

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент группы ИГ-11-2             Шарипо Д.Д.

 

 

Проверил: ___________ преподаватель ________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2011г

1) Цель работы - измерить моменты инерции различных тел. Проверить теорему Штейнера.

 

2) Краткое теоретическое обоснование.

 

1. В этой работе изучаются крутильные колебания.
2. Момент инерции твердого тела относительно оси вращения – это сумма моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело.

Крутильные колебания – это колебания элементов конструкций и машин, выражающиеся в периодически меняющейся деформации кручения.    

Инертность тел – свойство, присущее всем телам и заключающееся в том, что тела оказывают сопротивление изменению их скорости (как по модулю, так и по направлению).

Момент инерции  тела является мерой инертности тела при вращательном движении. Момент  инерции  тела   зависит от размеров и формы тел и  от   распределения  массы  тела относительно оси вращения.

 

Момент силы – физическая величина, определяемая произведением радиуса вращения на плечо силы и на синус угла между ними.

 

Модуль кручения пружины прямо пропорционален моменту силы, и обратно пропорционален углу, на который отведена пружина от состояния покоя. Это крутящий момент, который стремится вернуть пружину в исходное (равновесное) состояние, результате чего возникают крутильные колебания.

 

3.  Теорема Штейнера:

Момент инерции относительно произвольной оси О₁О₁ равен сумме момента инерции I₀, относительно оси OO, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела  и произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями.

      

 

Момент инерции отдельной элементарной массы:

 

,

где - расстояние от элемента объема до оси вращения, r - плотность вещества.

 

 

Момент инерции  всего тела

 

Формула для  периода  колебаний

 

   

 

 

3) Схема установки.

 

 

- расстояние от тела до  оси вращения

- масса тела

 

 

 

 

О₁О₁ - произвольная ось

OO   - ось, параллельная оси  О₁О₁

l – длина тела

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)  Расчетные формулы.

 

1)     - момент инерции материальной точки

2)      -  м.и. однородного диска

3)    - м.и. полого цилиндра с внутр. радиусом R₁ и внешн. р. R₂

4)      - м.и. шара радиуса R

5)      - м.и. тонкого стержня

6) 

7) D=M/j

m - масса тела, кг

R – радиус, м

l – длина тела, м

I – момент инерции тела, кг*м²

D – модуль кручения пружины,

T – период колебаний, с

M - момент силы, Н*м

j - угол, рад

 

 

 

5) Наблюдаемое явление: из-за того, что мы отвели пружину, возникла сила Гука, то есть пружина стремится вернуться в первоначальное состояние, возникает вращение. 

 

6) Формулы погрешностей косвенных измерений.

 

 

    

 

 

 

 

6) Таблицы с результатами измерений и вычислений.

 

Таблица А

 

j,(рад)	F, (Н)	l, (м)	M, (Н*м)
p/2	0,6	0,06	0,036
p	0,8	0,06	0,072
3p/2	1,8	0,06	0,108
2p	2,4	0,06	0,144

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица Б

 

r, (м)	0,02	0,04	0,06	0,08	0,1
r2, (м2)	0,0004	0,0016	0,0036	0,0064	0,01
T, (с)	2,950	3,044	3,308	3,643	4,030
I, (кг.*м2)

 

 

Таблица В

Диск

T	D	Iэ	Iт	m	R
с		кг*м2	кг*м2	кг	м
1,722	0,07/p			0,264	0,11
1,722	0,07/p
1,722	0,07/p
1,722	0,07/p
1,721	0,07/p

 

 

 

Таблица Г

Шар

T	D	Iэ	Iт	m	R
с		кг*м2	кг*м2	кг	м
1,636	0,07/p			0,351	0,068
1,637	0,07/p
1,636	0,07/p
1,636	0,07/p
1,636	0,07/p

 

 

 

Таблица Д

Полый цилиндр

T	D	Iэ	Iт	m	R
с		кг*м2	кг*м2	кг	м
1,264	0,07/p			0,351	0,05
1,264	0,07/p
1,263	0,07/p
1,264	0,07/p
1,264	0,07/p

 

 

Таблица Е

Сплошной цилиндр

T	D	Iэ	Iт	m	R
с		кг*м2	кг*м2	кг	м
0,957	0,07/p			0,352	0,05
0,957	0,07/p
0,958	0,07/p
0,957	0,07/p
0,958	0,07/p

 

 

Таблица К

                          Проверка теоремы Штейнера

m, кг	l, м	Io, кг*м2	Iэ, кг*м2	d, м	Iт, кг*м2
0,13	0,6	0,0039	0,149	0,04	0,0041

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. График зависимости момента силы M от угла поворота φ

Исходные данные: таблица А

 

 

 

 

 

 

φ,рад

 

График зависимости  момента инерции от квадрата расстояния до оси вращения

Исходные данные: таблица  Б

 

 

 

 

 

 

 

8) Примеры вычисления для одного опыта:

 

1. Исходные данные: таблицы В – Е.

 

2. Вычисления:

 

1. для диска:

  

 

 

2. для шара:

3. для полого цилиндра:

 

4. для сплошного цилиндра:

5)  модуль кручения пружины:

 

6) проверка теоремы Штейнера

 

  = =

 

7) косвенные погрешности:

 

 

Для диска

 

 

Для шара

 

 

 

Для полого цилиндра

 

Для сплошного цилиндра

 

3. Окончательные результаты

 

для диска

 

 

для шара

   

 

для полого цилиндра

   

 

для сплошного  цилиндра

 

 

 

9) Вывод

 

В лабораторной работе было определено от чего зависят моменты инерций различных тел. Также была сделана проверка теоремы Штейнера. Получилось, что Iэксп>Iтеор. Это вызвано погрешностью опытов. Для различных тел полученные Iэксп близок к Iтеор. Ожидаемый результат был получен, и действительно оба графика представили собой прямо-пропорциональную зависимость. Это подтверждает верные результаты и теорему Штейнера для измерения моментов инерции тел.

- -