Момент инерции различных тел. Теорема Штейнера

 

Министерство образования Российской Федерации

Национальный минерально-сырьевой университет “Горный”

 

 

Отчёт по лабораторной работе № 5

 

 

Тема: момент инерции различных тел. Теорема штейнера.

Выполнил: Студент  ______________                    

                                                                                                     (подпись)                                                                  (Ф.И.О.)  

 

 

Проверил: профессор                          ____________                           /Мустафаев А.С./

                                                                                                      (подпись)                                                                    (Ф.И.О.)

Санкт-Петербург

2014 г.

 

Цель работы - измерить моменты инерции различных тел. Проверить теорему Штейнера.

Краткое теоретическое содержание.

1. Явление, изучаемое в работе момент инерции тела – это мера инертности тела при вращательном движении. Вращательное движение  — движение, при котором все точки тела движутся по окружности, центры которых лежат на оси вращения.

 

2.Определения:

Период колебаний - минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела.

Момент силы относительно точки – вектор, модуль которого равен произведению силы на плечо.

Момент силы относительно оси – проекция момента силы относительно точки на данную ось. Характеризует способность силы вращать тело.

3. Законы и  соотношения, используемые при выводе  расчетных формул:

Момент инерции твердого тела:

, г – расстояние от оси  вращения до груза, [r] , m- масса тела, [m]= , плотность тела , V- объем тела

Из теории крутильных колебаний следует формула для расчета периода колебаний:

 , где J- момент инерции тела , T – период колебаний , D – модуль кручения пружины

 Согласно формуле момента силы:

  = , М- модуль момента силы; , , - равнодействующая силы , - плечо, , где модуль r численно равен L- длине плеча.

 

 

 

Основные расчетные формулы.

 

Момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр. Радиус диска R, , его масса m, :

I= , где I – момент инерции,

Момент инерции полого цилиндра с внутренним радиусом и внешним радиусом относительно оси, совпадающей с осью цилиндра:

Момент инерции шара радиуса R относительно оси проходящей через его центр.

 

Момент инерции тонкого стержня относительно оси перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину. Длина стержня l,

Теорема Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции , относительно оси ОО, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела и произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями.

                                                                                                     

 

- модуль кручения пружины

- момента инерции

 

 

 

Формула погрешности косвенных измерений:

-  формула погрешности косвенных  измерений

 

Таблицы

 

Таблица 1

Измерения для угла j

 

 

	F	l	M
рад	Н	м	Нм
/2	0.8	0.04	0.032
	1.2	0.04	0.048
3 /2	2.0	0.04	0.08
2	2.5	0.04	0.1

 

 

 Таблица 2

 

Результаты измерений периода колебаний диска, шара, полого цилиндра, цилиндра,

стержня.

 

№ опыта	Тдиска	Тшара	Тцилиндра	Тп.цилиндра	Тстержня
	с	с	с	с	с
1	1.735	1.691	1.029	1.310	2.043
2	1.755	1.690	1.028	1.325	2.071
3	1.750	1.690	1.029	1.320	2.048
4	1.755	1.690	1.029	1.322	2.064
5	1.757	1.690	1.031	1.314	2.081
среднее	1,750	1.690	1.029	1.318	2.061

 

 

 

 

Таблица 3

Результаты момента инерции для различных положений груза

 

r,	м	0.04	0.06	0.08	0.1	0.12
r2	м	0.0016	0.0036	0.0064	0.01	0.0144
T	с	2.313	3.164	3.431	3.786	4.195
J	кг·м2·10-3	5.97	6.8	8	9.5	11.4

 

 

Примеры вычислений

 

Исходные данные:

 

	ед. измерения	стержень	цилиндр	полый цилиндр	шар	диск	груз
m	кг	0.177	0.352	0.349	0.645	0.264	0.212
R	м	0,6	0,05	0,05 0,047	0,065	0,11

 

 

 

 Абсолютные погрешности прямых измерений:

 

 Динамометра          

 Измерительного прибора

 Секундомера

 Угла отклонения

 

 

D= = =0.02

Определение моментов инерции различных тел относительно оси, проходящей через центр симметрии:

 

Jдиска= = кгм

  Iдиска= =

 

Jшара кгм   

 Iшара=

 

Jцил=    

  Jцил= кгм

 

Jп.ц= Jп.ц.= =0.8 кгм

 

Jстержня=

Iстержня=

 

Изучение зависимости момента инерции от расстояния масс от оси вращения:

 

J=

 

J= =

 

 

 

Проверка теоремы Штейнера:

 

J =

 

Т при смещении стержня на 0.05м равен 2.888с. T = 2.908c, d=0.05м

 

 

J=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Погрешность косвенных измерений:

 

= , расчет проведен для диска.

Окончательный ответ:

J=1.5

 

= , расчет проведен для задания В

Окончательный ответ:

J=2.7

 

= , расчет проведен для задания С

Окончательный ответ:

J=4.28

 

Аналитическое выражение зависимости:

 

 

 

Результаты опыта показали, что с увеличением массы тела и расстояния от оси, происходит увеличение значения момента инерции.

Вывод: согласно проведенному анализу при измерении момента инерции различных тел и проверки теоремы Штейнера можно использовать метод крутильных колебаний, так как он дает достаточно точные результаты, но имеют место грубые ошибки при измерениях.

 

Полученный результат отличается от теоретического значения равного 1,59 на , однако погрешность измерений достаточно велика.