Момент инерции различных тел. Теорема Штейнера

 

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский  государственный  горный  институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

                        

Отчёт по лабораторной работе № 15

          По дисциплине:                   Общая физика

 Тема: МОМЕНТ ИНЕРЦИИ РАЗЛИЧНЫХ ТЕЛ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА.

 

Выполнил: студент  гр. ТО-10___    _____________         Каныгин Н. В.

                                                                                                                       ^{(подпись)                                  (Ф.И.О.)}  

Проверил:      ____________                                                Егорова Н.И.

                                              ^{(подпись)                                                                                           (Ф.И.О.)}

 

 

Оценка: _____________

 

Дата: __________________

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2010 год

 

 

Цель работы – измерить моменты инерции различных тел. Проверить теорему Штейнера.

 

Общие сведения

Момент инерции тела  является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент  инерции  тела   зависит от размеров и формы тел и  от   распределения  массы  тела относительно оси вращения.

Момент инерции относительно произвольной оси можно найти  с помощью теоремы Штейнера:

Момент инерции относительно произвольной оси О₁О₁ равен сумме момента инерции I₀, относительно оси OO, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела  и произведения массы тела на квадрат расстояния d между осями.

 

Расчетные формулы:

1) Момент инерции сплошного цилиндра  относительно оси совпадающей  с осью цилиндра:

R -Радиус цилиндра; m- масса.

 

 

2) Исследуемые тела насаживаются  на ось спиральной пружины.  Если закрутить пружину на  угол j, то в результате деформации пружины возникнет упругая сила. Она создает крутящий момент (момент силы) М:

 

M=Dj       

D – модуль кручения пружины.

3)

J - момент инерции.

 

4) М=Fl

l –расстояние от оси вращения до места приложения силы.

 

5)

J_ст-момент инерции стержня, m –масса одного груза.

6)

 m₁ –масса стержня, l – длина стержня.

 

7)Теорема Штейнера

 

 

 

 

 

 

Оборудование: вращающийся вал, динамометр, полый цилиндр, сплошной цилиндр, шар, диск, стержень с подвижными грузами, световой барьер со счетчиком, весы.

Исходные данные

1) ∆F=5*10^-3H        

Δl=0,5*10^-3м

Δφ=0.5^◦

j=π=3.14

F=1.05H

L=0.045м

∆R=0,5*10^-3м

∆m=10^-3кг

m=0,131кг;

l=0.6м;

d=0,04м;

 

 

Таблица измерений:

Определение модуля кручения пружины D

j	F(Н)	L(м)	M(Н*м)
p/2	0,5	0,05	0,025
p	1,1	0,05	0,055
3p/2	1,8	0,05	0,09
2p	2,4	0,05	0,12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A: Определение момента инерции сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через центр симметрии

 

Измерения:

m=0.362 кг

T₁=0.962 c;

T₂=0.962 c;

T₃=0.962 c;

T₄=0.962 c;

T₅=0.962 c;

T_ср=0.962 c;

R=50*10^-3 м

J= 0,00045 кг*м²

 

B: Изучение зависимости момента инерции от расстояния масс от оси вращения.

 

r, (м)	0,03	0,05	0,07	0,09	0,11	0,13
r2, (м2)	0,0009	0,0025	0,0049	0,0081	0,0121	0,0169
T, (с)	2,9	3,1	3,4	3,7	4,1	4,5
J, (кг.*м2)	0,0043	0,0050	0,0060	0,0074	0,0091	0,0111

 

I=I_ст+2mR²   I_cт=m₁l₁/12  I=(0.131кг*0,6м/12)+2*0,21кг*м²=0,0043кг*м²

Цилиндр

 

r, (м)	0,05	0,05	0,05	0,05	0,05	0,05
r2, (м2)	0,0025	0,0025	0,0025	0,0025	0,0025	0,0025
T, (с)	1,3	1,3	1,266	1,271	1,266	1,3
J, (кг.*м2)	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004	0,0004

 

I=mR²/2     I=0.35кг*0,0025м²/2=0,0004 кг*м²

 

 

Шар

 

r, (м)	0,06	0,06	0,06	0,06	0,06	0,06
r2, (м2)	0,0036	0,0036	0,0036	0,0036	0,0036	0,0036
T, (с)	1,6	1,56	1,61	1,61	1,6	1,63
J, (кг.*м2)	0,00094	0,00094	0,00094	0,00094	0,00094	0,00094

 

I=2/5mR²  I=2/5*0.65кг*0.0036м²=0.00094 кг* м²

 

 

Диск

 

r, (м)	0,11	0,11	0,11	0,11	0,11	0,11
r2, (м2)	0,0121	0,0121	0,0121	0,0121	0,0121	0,0121
T, (с)	1,7	1,72	1,73	1,72	1,72	1,7
J, (кг.*м2)	0,0016	0,0016	0,0016	0,0016	0,0016	0,0016

 

I=mR²/2     I=0.264кг*0,0121м²/2=0,0016 кг*м²

 

 

 

 

 

Расчет погрешностей:

 

Пример вычисления:

 

 М=Fl=1.05(H)*0.045(м)=0.0473 H*м

D=M/j=0.0473 (H*м)/3.14=(0.0151+0.002) H*м

A:

ΔJ=0,000002 кг*м²

m=0.362 кг

T_ср=0.962 c;

R=50*10^-3 м

B:

m_ст=0,131кг;

m_груз =0,21 kg

r=0,11 (м)

r²= 0,0121 (м²)

T=4,12 (с)

J= = =0,0091 (кг^.*м²)

 

С: Проверка теоремы Штейнера.

T₀=2,790c;

T=2.830c;

J_теор= =0,0041 (кг^.*м²)

  = 0,0034 (кг^.*м²)

 

J= =0,0037 (кг^.*м²)

 

 

 

Вывод: В данной работе был измерен момент инерции тела, насаженного на ось пружины с помощью метода крутильных колебаний. По второму графику доказывается, что момент инерции изменяется пропорционально . Прямая линия, получившаяся на графике доказывает справедливость теоремы Штейнера. Изучил моменты инерции различных тел И доказал что J≈ J_теор (J_теор= 0,0041 (кг^.*м²)  J =0,0037 (кг^.*м²))