Механические колебания

1.Механические колебания

Колебание- называется вид движения физических тел или такие процессы, для которых характерна та или иная степень повторяемости во времени.

Повторяемость состояния  колебательной системы имеет  произвольный характер- апериодический и непериодический.

Периодическое- повторение состояний через равный промежуток времени(например маятник).

В зависимости есть ли на колебание воздействие из вне  или его нет колебания могут  быть свободные (совер.  за счет внутренних сил систем, которые повторяют смену состояний после того, как был сообщен внеш.  толчок), вынужденные( на систему действует переменная внешняя сила).

Затухающие(если с теч.  времени запас энергии колебательной системы уменьшается), незатухающие( если запас не уменьшается).

В физике любое тело совершает  колебание.

Амплитудой (А) называют наибольшее значение колеблющейся величины.

Период(Т)-время 1-ого колебания (Т=t/n=2π/ω=1/ν).

Частота(ν)-число полных колебаний в единицу времени (ν=n/t) .

Циклическая частота(ω)- число колебаний за 2π сек.(ω=2πν).

Смещение- расстояние, на котором находится тело от положения равновесия.

Фаза(ϕ)- параметр, который позволяет определить состояние колебательной системы в любой момент времени.

Закон колебательной движения представляет собой зависимость, которая  показывает как с течением времени  изменяются параметры(x=f(t)).

2. Гармонические  колебания — колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. 
Незатухающие колебания — колебания, энергия которых не уменьшается с течением времени (колебания с постоянной амплитудой). 
дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колебаний.

Его решение имеет вид: или

где А  - амплитуда, которая равняется абсолютному значению наибольшего смещения; W -  циклическая частота колебаний, - фаза колебаний, однозначно определяющая значение колебательной величины в момент времени t.  
Уравнение скорости при гармоническом колебании: 
или           v=ωA cos(ωt+φ0+π/2) 
Уравнение ускорения при гармоническом колебании: 
или    a=ω2Acos(ωt+φo+π).

Скорость при колебательных  процессах изменяется по гармоническому закону и является функцией времени. Ускорение изменяется по гармоническому закону, является функцией времени  и опережает колебания смещения по фазе на p и опережает колебание  скорости по фазе на p/2.

При прохождении колеблющимся телом положения равновесия (смещение равно нулю) ускорение равно нулю, а скорость тела максимальна (тело проходит положение равновесия по инерции), а  при достижении амплитудного значения смещения – скорость равна нулю, а ускорение максимально по модулю (тело меняет направление своего движения).

3.

4.Сложение  гармонических  колебаний, направленных вдоль  одной прямой.

 Гармоническое колебание  – колебание, при котором колеблющаяся  величина изменяется в зависимости  от времени по закону синуса  или  косинуса.                                                                            

Тело одновременно участвует  в двух колебаниях, происходящих вдоль  одной прямой.

Мы имеем уравнение  первого колебания: x₁=A₁cos(w₀₁t+f₀₁)  и уравнение второго колебания: x₂=А₂cos(w₀₂t+f₀₂). Т.к. частоты складываемых колебаний одинаковы(w₀₁=w₀₂=w₀), то получаем такое уравнение сложения колебаний : x=x₁+x₂=A₁cos(w₀t+f₀₁)+A₂cos(w₀t+f₀₂).

Вектор А- амплитуда результирующего  колебания.  Т.к. вектора А₁ и А₂ вращаются с одинаковыми скоростями то и А будет вращаться с той же скоростью w₀ , а разность фаз колебаний f₀₂-f₀₁=const. Применяя теорему косинусов найдём А: А²=А₁² +А₂² -2А₁А₂cos бэта .   А для начальной фазы f₀ получим : tg f₀=(A₁sin f₀₁ +A₂sin f₀₂)/(A₁cos f₀₁+ A₂cos f₀₂)

5. БИЕНИЕ. УРАВНЕНИЕ БИЕНИЙ

Биением называется явление  периодического изменения амплитуды  результирующих колебаний, возникающее  при сложении двух гармонических  колебаний одного направления с  близкими частотами( w₁ ≈w₂)

Биения возникают вследствие того, что разность фаз между двумя  колебаниями с различными частотами  всё время изменяется так, что  оба колебания оказываются в  какой-то момент времени в фазе, через  некоторрое время — в противофазе, затем снова в фазе и т. д.

Уравнение биений: x = 2Acos[(w1 – w2)/2*t]cos[(w1 + w2)/2*t].(в мм)

частота биений равна  разности частот складываемых колебаний ((w1 – w2)/2) _{(в радианах)}

Период биений :  

А-амплитуда(в мм)

6. Сложение взаимно перпендикулярных  гармонических колебаний. Фигуры  Лиссажу.

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний необходимо найти уравнение траектории тела, то есть из уравнений колебаний типа x = x(t), y = y(t) исключить t и получить зависимость типа y(x).

например, сложим два колебания  с одинаковыми частотами:

исключив время, получим:

 В общем случае это  - уравнение эллипса. При A1=A2 - окружность, при   (m - целое) - отрезок прямой.       

 Вид траектории при  сложении взаимно перпендикулярных  колебаний зависит от соотношения  амплитуд, частот и начальных  фаз складываемых колебаний. Если  частоты складываемых взаимно  перпендикулярных колебаний имеют  различные значения, то замкнутая  траектория результирующего колебания  довольно сложна. Замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, которая  совершает одновременно два взаимно  перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу. Вид этих замкнутых кривых зависит от соотношения амплитуд, разности фаз и частот складываемых колебаний. Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур Лиссажу с прямыми, которые параллельны осям координат. По виду фигур можно найти неизвестную частоту по известной или найти отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко применяемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний. 

7. Сложение кол-ний приводит к более сложным формам колебаний. Для практических целей бывает необходимой противоположная операция: разложение сложного колебания на простые, обычно гармонические, колебания. 
Фурье показал, что периодическая функция любой сложности может быть представлена в виде суммы гармонических ф-ций, частоты которых кратны частоте сложной периодической ф-ции. 
Такое разложение периодической функции на гармонические и, следовательно, разложение различных периодических процессов (механические, электрические и т.п.) на гармонические называется гармоническим анализом. Существуют матем. Выражения, которые позволяют найти составляющие гармонические функции. Автоматически гармонический анализ колебаний, в том числе и для целей медицины, осуществляется специальными приборами – анализаторами. 
Совокупность гармонических колебаний, на которые разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания. 
Гармонический спектр удобно представить как набор частот ( или круговых частот) отдельных гармонник совместно с соотв. им амплитудами. Гармонический анализ позволяет достаточно детально описать и проанализ любой сложный колебательный процесс, он находит применение в акуститике, радиотехнике, электронике и других обл науки.

8. При гармонических колебаниях не учитываются силы трения и сопротивления , которые существуют в реальных системах. Действие этих сил значительно изменяет характер движения – колебание становится затухающим. Если в системе кроме квазиупругой силы действуют силы сопротивления среды, то второй закон Ньютона имеет вид: m*d²x/dt²=-kx+F_тр. При не очень больших амплитудах и частотах сила трения пропорциональна скорости движения и направлена противоположно ей: F_тр=-rv=-r*dx/dt, где r – коэффициент трения. m*d²x/dt²=-kx-r*dx/dt, или d²x/dt²+2В*dx/dt+w₀², где 2В= r/m; w₀²=k/m; В – коэффициент затухания; w₀ – круговая частота собственных колебаний системы. Решение данного уравнения зависит от знака разности: w²=w₀²-B², где w – круговая частота затухающих колебаний. При w₀²-B²>0 круговая частота w является действительной величиной и решение будет следующим: x=A₀e^-Btcos(wt=ф₀), где A=+-A₀e^-Bt. Период затухающих колебаний: T=2П/w=2П/( w₀²-B²)^1/2. Коэффициент затухания – быстрота убывания амплитуды колебаний. На практике степень затухания характеризуется логарифмическим декрементом затухания. ^=ln A(t)/A(t+T)=ln A₀e^-Bt/A₀e^-B(t+T)=ln e^Bt; коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания связаны зависимостью:  ^=ВT. При сильном затухании В²>w₀²; период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже называется апериодическим. Незатухающие и затухающие  колебания называют собственными или свободными. Они возникают вследствие начального смещения или начальной скорости и совершаются при отсутствии внешнего воздействия за счёт первоначально накопленной энергии.

9. Вынужденные колебания – колебания, которые возникают в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

На материальную точку  кроме квазиупругой силы и силы трения действует внешняя вынуждающая  сила: F=Focosw*t, где Fo-амплитуда; w-круговая частота колебаний вынуждающей силы.  Дифференциальное уравнение имеет вид: m*d²x/dt²= -kx-r*dx/dt+F_ocosw*t, или d²x/dt²+ 2B*dx/dt+w₀²x=f₀cosw*t, где f₀=F₀/m. Решение данного дифференциального уравнения является суммой двух слагаемых: x=A₀e^-Btcos(wt+ф₀) и x= Acos(wt+ф₀), где A=f₀/((w²₀-w²)²+4B²w²)^1/2, tg ф₀=-2Bw/( w²- w²₀). Установившееся вынужденное колебание , происходящее под воздействием гармонически изменяющейся вынуждающей силы, тоже является гармоническим. Частота вынужденного колебания равна частоте вынуждающей силы. Вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно вынуждающей силы.

Амплитуда вынужденного колебания  прямо пропорциональна амплитуде  вынуждающей силы и имеет сложную  зависимость от коэффициента затухания  среды и круговых частот собственного и вынужденного колебаний. Если w₀ и В для системы заданы, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной. Само явление – достижение максимальной амплитуды для заданных w₀ и В – называют резонансом. Резонансная круговая частота: w_рез=(w₀²-2B²), то амплитуда равна:         A_рез=f₀/(2B(w₀²-B²)^1/2). При отсутствии сопротивления (В=0) амплитуда вынужденных колебаний при резонансе бесконечно большая. При этом  w_рез- w₀, т.е. резонанс в системе без затухания наступает тогда, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Механический резонанс может быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие резонанса связано главным образом с разрушением, которое он может вызвать.

10. Механические волны.  Кинематическое уравнение волны.  Основные характеристики волновых  процессов и связь между ними.

Волна (волновое движение)- процесс распространения колебаний в пространстве.

Известны два вида волн: механические и электромагнитные. Механические волны распространяются только в  упругих средах. Механические волны  делятся на два вида: поперечные и продольные.

Если колебания частиц совершаются перпендикулярно направлению  распространения волны, то она называется поперечной.

Если, колебания частиц совпадают  с направлением распространения  волны, то она называется продольной.

Рассмотрим, основные характеристики волнового движения. К ним относятся:

Все параметры колебательного процесса (s, A,T,ω, ν,φ ).

Смещение (s) - это расстояние, на которое отклоняется колеблющаяся система в данный момент времени, от положения равновесия.

Амплитуда (А) - максимальное смещение.

Период (Т) - время одного полного  колебания.

Линейная частота (ν) - это число колебаний в единицу времени,

измеряется в Гц - это  одно колебание в сек. ν = 1/Т.

Циклическая или круговая частота ( ω). Она связана с линейной

частотой следующей зависимостью: ω =2πν .

Фаза колебания (φ) характеризует  состояние колеблющейся

системы в любой момент времени: φ=ω t + φ0, φ0 - начальная фаза колебания.

Дополнительные параметры, характеризующие только волновое движение:

а) Фазовая скорость (ϑ) - это скорость, с которой колебания распространяются в пространстве.

б) Длина волны (λ) - это наименьшее расстояние между двумя

частицами волнового пространства, колеблющихся в одинаковых фазах

или расстояние, на которое  распространяется волна за время  одного периода.

Характеристики связаны  между собой: λ= υТ, λ=υν

         ^О                                 А

                     Х

Колебательное движение любой  частицы волнового пространства определяется уравнением волны. Пусть  в точке О колебания совершаются по закону:

s=Asinω t

Тогда в произвольной точке А закон колебаний:

11. Механическая волна- мех. возмущения, распространяющиеся в пространстве и несущие энергию.

2. основных вида механических волн:

*Упругие (распространение упругих деформаций). Возникают благодаря связям, существующими между частицами среды: перемещение одной частицы с точки равновесия приводит к перемещению соседних. Частицы среды, вовлекаемые в колебательное движение, получают энергию от волны. 

*Волны на поверхности жидкости.

Поток энергии – кол-во перенесенной энергии от волнового  процесса. Поток энергии волн равен  отношению энергии, переносимой  волнами через некоторую поверхность, к времени, в течение которого эта энергия перенесена: Ф = dE ÷ dt.

Единицей потока энергии  волн является ватт (Вт).

Связь потока энергии волн с энергией колебющ. точек и скоростью распространения волны: выделим объем среды, в которой распространяется волна, в виде прямоугольного параллелепипеда; площадь его основания S, а длина ребра численно равна скорости υ (совпадает с направлением волны), ωp – объемная плотность энергии колебательного движения.

Ф = ωp ⋅S ⋅ υ.

Плотность потока энергии волн или  интенсивность волн - поток энергии волн, отнесенный к площади, ориентированной перпендикулярно направлению волн:

I = Ф ÷ S = ωp ⋅υ или в векторной форме: I = ωp V

Единица плотности  потока энергии (Вт/ м²) или (Дж).

Вектор Умова – это Вектор I, показывающий направление распространения волн (равен потоку энергии волн, проходящему через единичную площадь, перпендикулярную этому направлению). Вектор Умова зависит от плотности среды, квадрата амплитуды колебания частиц, квадрата частоты колебаний и скорости распространения волны: ωp= ρ ⋅ A²⋅ω ÷ 2,

Отсюда I = (ρ ⋅ A²⋅ω ÷ 2)⋅V.

12. 3. Благодаря хорошему распространению ультразвука в мягких тканях человека, его относительной безвредности по сравнению с рентгеновскими лучами и простотой использования в сравнении с магнитно-резонансной томографией ультразвук широко применяется для визуализации состояния внутренних органов человека, особенно в брюшной полости и полости таза. Помимо широкого использования в   диагностических целях ультразвук применяется в медицине как лечебное средство.Ультразвук обладает действием: противовоспалительным, рассасывающим, анальгезирующим, спазмолитическим, кавитационным усилением проницаемости кожи. Широко применяется ультразвук для приготовления однородных смесей (гомогенизации). Подобные эмульсии играют большую роль в современной промышленности, это: лаки, краски, фармацевтические изделия, косметика.

2. Поглощение ультразвуковых  колебаний и их рассеивание  характеризуют глубину проникновения  ультразвука в ткани.  Поглощение  тканями УЗ-волн – основа диагностики  состояния внутренних органов  по принципу трансмиссии –  анализа интенсивности волны,  прошедшей через тело пациента, и применения УЗ в терапии  и хирургии.

Если среда, в которой  происходит распространение ультразвука, обладает вязкостью и теплопроводностью  или в ней имеются другие процессы внутреннего трения, то при распространении  волны происходит поглощение звука, то есть по мере удаления от источника  амплитуда ультразвуковых колебаний  становится меньше, так же как и  энергия, которую они несут. Среда, в которой распространяется ультразвук, вступает во взаимодействие с проходящей через него энергией и часть её поглощает. Преобладающая часть  поглощенной энергии преобразуется  в тепло, меньшая часть вызывает в передающем веществе необратимые  структурные изменения. Поглощение является результатом трения частиц друг об друга, в различных средах оно различно. Поглощение зависит  также от частоты ультразвуковых колебаний. Теоретически, поглощение пропорционально  квадрату частоты. Для определения  степени поглощения и ослабления ультразвука в ткани введен термин «глубина полупоглощения , отражающий расстояние, которое должен пройти ультразвук в данной среде, пока его энергия не уменьшится вдвое.

1.  Жидкость и твердые  тела представляют собой хорошие  проводники ультразвука, а воздух  и газы – плохие. При переходе  ультразвука из одной среды  в другую возникает его отражение,  зависящее от волновых сопротивлений   сред. Если ультразвуковая волна  в среде падает перпендикулярно  на плоскую поверхность второй  среды,  то часть энергии пройдет  через граничную поверхность,  а часть отразится.  Во всех  случаях связи излучателя с  облучаемой средой, например, с   телом человека, необходимо строго  следить, чтобы между излучателем  и тканью не было даже минимального  воздушного слоя. Чтобы исключить  воздушный слой, поверхность ультразвукового  излучения покрывается слоем  масла или оно наносится тонким  слоем на поверхность тела. При  распространении ультразвука в  среде возникает переменное звуковое  давление, которое принимает положительное  значение в области сжатия  и отрицательное в следующей  за ней области разряжения. Это  приводит к образованию разрывов  сплошной жидкости с образованием  микроскопических полостей (кавитация). Механическое действие. Колебание давления в ультразвуковом поле вызывает микромассаж тканей, возникает микровибрация на клеточном и субъклеточном уровнях, разрушение биомикромалекул, микроорганизмов, грибков, вирусов, злокачественных опухолей и камней в почках. Ультразвук вызывает повреждения и перестройку клеточных мембран, изменения их проницаемости. Физико-химическое действие. Ультразвук вызывает ускорение диффузии, ультразвуковую люминисценцию, образование разности потенциалов в биологических тканях, ускорение некоторых химических реакций. Медико-биологическое применение ультразвука можно разделить на два направления: диагностика и терапия. К первому относится локационные методы с использованием импульсного излучения. Это обнаружение опухолей в мягких тканях и трещины в костях, определение опухолей и оттеков мозга (эхоэнцэфалография). Локационные методы основаны на отражении ультразвука от границы раздела сред с различной плотностью. К этому методу относится и ультразвуковая кардиография – измерение размеров сердца в динамике; определение размеров глазных сред в офтальмологии. Ультразвуковой эффект Доплера используется для изучения характера движения сердечных клапанов и скорости кровотока.

Ультразвук используется для получения объемного изображения  внутренних органов (ультразвуковая голография).

22 Гармонические колебания  — колебания, при которых физическая (или любая другая) величина изменяется  с течением времени по синусоидальному  или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид

Или 

где х — смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А — амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω — циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний происходящих в течение 2π секунд;   — полная фаза колебаний,   — начальная фаза колебаний.

Обобщенное гармоническое  колебание в дифференциальном виде

Свободные колебания совершаются  под действием внутренних сил  системы после того, как система  была выведена из положения равновесия. Чтобы свободные колебания были гармоническими, необходимо, чтобы  колебательная система была линейной (описывалась линейными уравнениями  движения), и в ней отсутствовала  диссипация энергии (последняя вызвала  бы затухание).

Вынужденные колебания совершаются  под воздействием внешней периодической  силы. Чтобы они были гармоническими, достаточно чтобы колебательная  система была линейной (описывалась  линейными уравнениями движения), а внешняя сила сама менялась со временем как гармоническое колебание (то есть чтобы зависимость от времени этой силы была синусоидальной).

13. 1. При взаимодействии УЗ с веществом можно условно выделить три действия: механическое, тепловое и химическое.

а. механическое действие.

*УЗ-волны оказывает механическое действие, в основе которого лежит действие переменного давления, создающего кавитацию.

б. тепловое действие.

В результате увеличения колебательного движения частиц среды, а также захлопывания каверн, в небольших объемах выделяется большая тепловая энергия, что приводит к повышению температуры среды. Следовательно, ультразвук оказывает тепловое действие. Тепловой эффект ультразвука зависит от его интенсивности и длительности.

в. химическое действие.

при кавитации образуются реакционноспособные вещества, которые  вступают во взаимодействие с молекулами, следовательно УЗ оказывает химическое действие. Проявляется химическое действие не сразу после облучения, а по истечению некоторого времени.

2.Поглощение и распространение  УЗ-волн зависит как от свойств среды (плотности, вязкости, температуры) среды, так и от интенсивности и частоты ультразвука.

экспоненциальному закону:

I=I_oe^-kh

Глубина проникновения зависит  от частоты УЗ-волны и вида ткани. Чем больше частота УЗ-волны, тем меньше глубина проникновения и больше коэффициент поглощения. Поглощение в жидкой среде значительно меньше, чем в мягких тканях и тем более костной ткани.

3.В  фармации ультразвук находит  применение в экстракции, при  растворении, получении эмульсий, суспензий, изготовлении микрогранул, стерилизации и фоно-форезе, производстве ампул, т.е. там, где ультразвук непосредственно контактирует через жидкую фазу с молекулой вещества. УЗ-локация-определение расположения и размер неоднородных включений, полостей, внутренних органов и т.д.УЗ разделим на 2 направления: методы диагностики и исследования; методы воздействия 1)Эхоэнцефалография-определение опухолей и отека головного мозга.Ультразвуковая кардиография-измерение размеров сердца в динамике. Ультразвуковая локация-определение размеров глазных сред.2) ультразвуковая физиотерапия, утразвуковой остеосинтез(«сваривание» костных тканей)