Математический и физический маятник

В соответствии с уравнением динамики вращательного  движения:

M=Iε,

где ε=d²α/dt² - угловое ускорение, I - момент инерции маятника относительно оси О. Получаем:

I·d²α/dt²=-mgd·sinα                                                                                           (1)

Ограничившись малыми колебаниями (sinα~α), после преобразований получаем уравнение (1) в виде:

(d²α/dt²) + (mgdα/I)=0                                                                                       (2)

Сравнив выражения  мы видим их математическую аналогию, что позволяет записать выражения для циклической частоты и периода колебаний физического маятника:

ω₀=√(mgd/I)                                                                                                     (3)

T₀=2π/ω₀=2π√(I/mgd),                                                                                     (4)

где d - расстояние от центра тяжести до оси вращения.

          Если период колебаний не зависит от амплитуды, то такие колебания называются изохронными. Мы видим, что малые колебания физического маятника изохронны. Колебания приближенно изохронны, когда угловая амплитуда колебаний не превышает нескольких градусов. При больших амплитудах изохронность нарушается. На свойстве изохронности колебаний маятника основано его применение в часах.

 

 

 

5. Период колебаний физического маятника.

 

          В формулу для определения периода колебания физического маятника входят 4 параметра: ускорение свободного падения, расстояние между центром тяжести и осью вращения, масса тела и его момент инерции относительно оси, вокруг которой совершаются колебания.

          Период колебаний физического маятника не зависит ни, от фазы, ни от амплитуды колебания. Это утверждение справедливо для колебаний, подчиняющихся уравнение . Движение маятника описывается этим уравнением приближенно - в той мере, в какой справедлива использованная при выводе формула sin(j) » j. Исследование правильности утверждения о том, что период колебаний маятника не зависит от амплитуды, является чувствительным методом проверки теории.

          Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания. Для этого умножим левую часть этого уравнения на , а правую часть на . Тогда:

.

Интегрируя  это уравнение, получаем.

,

где произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты . Получаем: . Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

.

Отделяем  переменные и интегрируем это  уравнение:

.

Удобно сделать  замену переменной, полагая  . Тогда искомое уравнение принимает вид:

.

Здесь — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

.

Здесь — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.

          Если амплитуда колебаний мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Используемая литература.

 

1. Бухгольц Н.Н. «Основной курс теоретической механики» М.: Наука. 1969.
2. Боровой А., Херувимов А. «Колебания и маятники» Ж. Квант. № 8, 1981.