Лекции по "Физике"

Элементы  цепи синусоидального  тока. Векторные 
диаграммы и комплексные соотношения для них

1. Резистор

Идеальный резистивный  элемент не обладает ни индуктивностью, ни емкостью. Если к нему приложить  синусоидальное напряжение  (см. рис. 1), то ток i через него будет равен

Соотношение (1) показывает, что ток имеет ту же начальную фазу, что и напряжение. Таким образом, если на входе двулучевого осциллографа подать сигналы u и  i, то соответствующие им синусоиды на его экране будут проходить (см. рис. 2) через нуль одновременно, т.е. на резисторе напряжение и ток совпадают по фазе.

Из (1) вытекает:

;

.        

 

Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим  им комплексам:

;

,

- разделим первый  из них на второй:

или

Полученный результат  показывает, что отношение двух  комплексов есть вещественная константа. Следовательно, соответствующие им векторы напряжения и тока (см. рис. 3) совпадают по направлению.

2. Конденсатор

Идеальный емкостный  элемент не обладает ни активным сопротивлением (проводимостью), ни индуктивностью. Если к нему приложить синусоидальное напряжение  (см. рис. 4), то ток i  через него будет равен 

Полученный результат показывает, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на /2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать сигналы u  и  i, то на его экране будет иметь место картинка, соответствующая рис. 5.

Из (3) вытекает:

;

.    

 

Введенный параметр  называют реактивным емкостным сопротивлением конденсатора. Как и резистивное сопротивление,  имеет размерность Ом. Однако в отличие от R данный параметр является функцией частоты, что иллюстрирует рис. 6. Из рис. 6 вытекает, что при  конденсатор представляет разрыв для тока, а при   .

Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим  им комплексам:

;

,

- разделим первый  из них на второй:

или

В последнем соотношении   - комплексное сопротивление конденсатора. Умножение на  соответствует повороту вектора на угол  по часовой стрелке. Следовательно, уравнению (4) соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 7.

3. Катушка индуктивности

Идеальный индуктивный элемент не обладает ни активным сопротивлением, ни емкостью. Пусть протекающий через него ток (см. рис. 8) определяется выражением . Тогда для напряжения на зажимах катушки индуктивности можно записать

Полученный результат  показывает, что напряжение на катушке индуктивности опережает по фазе ток на /2. Таким образом, если на входы двухлучевого осциллографа подать сигналы u и i, то на его экране (идеальный индуктивный элемент) будет иметь место картинка, соответствующая рис. 9.

Из (5) вытекает:

 

.

Введенный параметр  называют реактивным индуктивным сопротивлением катушки; его размерность – Ом. Как и у емкостного элемента этот параметр является функцией частоты. Однако в данном случае эта зависимость имеет линейный характер, что иллюстрирует рис. 10. Из рис. 10 вытекает, что при  катушка индуктивности не оказывает сопротивления протекающему через него току, и при   .

Переходя от синусоидальных функций напряжения и тока к соответствующим  комплексам:

;

,

разделим первый из них на второй:

или

В полученном соотношении   - комплексное

сопротивление катушки  индуктивности. Умножение на  соответствует повороту вектора на угол  против часовой стрелки. Следовательно, уравнению (6) соответствует векторная диаграмма, представленная на рис. 11

.

4. Последовательное  соединение резистивного  и индуктивного  элементов

Пусть в ветви на рис. 12   . Тогда

где

, причем пределы изменения  .

Уравнению (7) можно  поставить в соответствие соотношение 

,

 
которому, в свою очередь, соответствует  векторная диаграмма на рис. 13. Векторы на рис. 13 образуют фигуру, называемую треугольником напряжений. Аналогично выражение

графически может  быть представлено треугольником сопротивлений (см. рис. 14), который подобен треугольнику напряжений.

5. Последовательное  соединение резистивного  и емкостного элементов

Опуская промежуточные выкладки, с  использованием соотношений  (2) и  (4) для ветви на рис. 15 можно записать

где

,  причем пределы изменения .

 
На основании уравнения (7) могут  быть построены треугольники напряжений (см. рис. 16) и сопротивлений (см. рис. 17), которые являются подобными.

 

6. Параллельное соединение  резистивного и  емкостного элементов

     

Для цепи на рис. 18 имеют место соотношения:            

  ;

, где   [См] – активная проводимость;                       

  , где  [См] – реактивная проводимость конденсатора.

 

Векторная диаграмма токов для данной цепи, называемая треугольником токов, приведена на рис. 19. Ей соответствует уравнение в комплексной форме

,

где

;       

   - комплексная проводимость;      

  .

Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 20.

Для комплексного сопротивления  цепи на рис. 18 можно записать

.

Необходимо отметить, что полученный результат аналогичен известному из курса физики выражению  для эквивалентного сопротивления  двух параллельно соединенных резисторов.

7. Параллельное соединение резистивного и индуктивного элементов

     

Для цепи на рис. 21 можно  записать

;           

  , где  [См] – активная   проводимость;

, где   [См] – реактивная проводимость катушки индуктивности.

Векторной диаграмме  токов (рис. 22) для данной цепи соответствует уравнение в комплексной форме

,

где ;       

   - комплексная проводимость;      

  .

Треугольник проводимостей, подобный треугольнику токов, приведен на рис. 23.

 
Выражение комплексного сопротивления  цепи на рис. 21 имеет вид:

.

Литература  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

6.4. Сопротивление в  цепи синусоидального  тока

 

      Если напряжение подключить к сопротивлению R, то через него протекает ток

     (6.7)  

    Анализ выражения (6.7) показывает, что напряжение на сопротивлении и ток, протекающий через него, совпадают по фазе.  
        Формула (6.7) в комплексной форме записи имеет вид

     (6.8)  

     где     и     - комплексные  амплитуды  тока и напряжения.  
     Комплексному уравнению (6.8) соответствует векторная диаграмма (рис. 6.4).

  
 
 
 

    Из анализа диаграммы следует, что векторы напряжения и тока совпадают по направлению. 
 
     Сопротивление участка цепи постоянному току называется омическим, а сопротивление того же участка переменному току - активным сопротивлением. 
 
 
                               Рис.6.4  
     Активное сопротивление больше омического из-за явления поверхностного эффекта. Поверхностный эффект заключается в том, что ток вытесняется из центральных частей к периферии сечения проводника.

6.5. Индуктивная катушка  в цепи синусоидального тока

 

     Сначала рассмотрим идеальную индуктивную катушку, активное сопротивление которой равно нулю. Пусть по идеальной катушке с индуктивностью L протекает синусоидальный ток . Этот ток создает в индуктивной катушке переменное магнитное поле, изменение которого вызывает в катушке ЭДС самоиндукции

     (6.9) 

    Эта ЭДС уравновешивается напряжением, подключенным к катушке: u = e_L = 0.

     (6.10)  

    Таким образом, ток в индуктивности отстает по фазе от напряжения на 90^o из-за явления самоиндукции.  
     Уравнение вида (6.10) для реальной катушки, имеющей активное сопротивление R, имеет следующий вид:

     (6.11)  

    Анализ выражения (6.11) показывает, что ЭДС самоиндукции оказывает препятствие (сопротивление) протеканию переменного тока, из-за чего ток в реальной индуктивной катушке отстает по фазе от напряжения на некоторый угол φ (0^o< φ < 90^o), величина которого зависит от соотношения R и L.      Выражение (6.11) в комплексной форме записи имеет вид:

     (6.12)  

     где Z_L - полное комплексное сопротивление индуктивной катушки ;  
            Z_L - модуль комплексного сопротивления;  
            - начальная фаза комплексного сопротивления;  
          - индуктивное сопротивление (фиктивная величина, характеризующая реакцию электрической цепи на переменное магнитное поле).  
      Полное сопротивление индуктивной катушки или модуль комплексного сопротивления

.  

      Комплексному уравнению (6.12) соответствует векторная диаграмма (рис.6.5).

 
Рис. 6.5