Контрольная работа по "Физики"

Задание 2. 1. Понятие теплопроводности и закон Фурье. Понятие диффузии и закон Фика. Понятие внутреннее трения и закон Ньютона. Экспериментальное определение вязкости жидкости методом Стокса.

 

Ответ.

В термодинамически неравновесных системах происходят особые необратимые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых осуществляется пространственный перенос массы, импульса, энергии. К явлениям переноса относятся теплопроводность (перенос энергии), диффузия (перенос массы) и внутреннее трение (перенос импульса. 
Теплопроводность — это молекулярный перенос теплоты между непосредственно соприкасающимися телами или частицами одного тела с различной температурой, при котором происходит обмен энергией движения структурных частиц (молекул, атомов, свободных электронов).

 Перенос энергии в  форме теплоты подчиняется закону Фурье:  
 
 (1)  
 
где jE — плотность теплового потока — величина, которая определяется энергией, переносимой в форме теплоты в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, λ — теплопроводность, — градиент температуры, равный скорости изменения температуры на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус говорит о том, что во время теплопроводности энергия перемещается в направлении убывания температуры (поэтому знаки jE и – противоположны). Теплопроводность λ равна плотности теплового потока при градиенте температуры, равном единице.  
 
Можно показать, что  
 
 (2)  
 
где сV — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, которое необходимо для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном объеме), ρ — плотность газа, <ν> — средняя скорость теплового движения молекул, <l> — средняя длина свободного пробега.  
 
Диффузия. При происходит самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей и даже твердых тел; диффузия есть обмен масс частиц этих тел, при этом явление возникает и продолжается, пока существует градиент плотности. Во времена становления молекулярно-кинетической теории по вопросу явления диффузии возникли противоречия. Поскольку молекулы перемещаются в пространстве с огромными скоростями, то диффузия должна происходить очень быстро. Если же открыть в комнате крышку сосуда с пахучим веществом, то запах распространяется довольно медленно. Но здесь нет противоречия. При атмосферном давлении молекулы обладают малой длиной свободного пробега и, при столкновениях с другими молекулами, приемущественно «стоят» на месте.  
 
Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика:  
 
 (3)  
 
где jm — плотность потока массы — величина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси х, D — диффузия (коэффициент диффузии), dρ/dx — градиент плотности, который равен скорости изменения плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке. Знак минус говорит о том, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности (поэтому знаки jm и dρ/dx противоположны). Диффузия D численно равна плотности потока массы при градиенте плотности, равном единице. Согласно кинетической теории газов,  
 
 (4)  
 
Внутреннее трение (вязкость). Суть механизма возникновения внутреннего трения между параллельными слоями газа (жидкости), которые движущутся с различными скоростями, есть в том, что из-за хаотического теплового движения осуществляется обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, который движется быстрее, уменьшается, который движется медленнее — увеличивается, что приводит к торможению слоя, который движется быстрее, и ускорению слоя, который движется медленнее.  
 
Как известно, сила внутреннего трения между двумя слоями газа (жидкости) подчиняется законуНьютона:  
 
 (5)  
 
где η — динамическая вязкость (вязкость), dν/dx — градиент скорости, который показывает быстроту изменения скорости в направлении х, перпендикулярном направлению движения слоев, S — площадь, на которую действует сила F.  
 
Согласно второму закону Ньютона взаимодействие двух слоев можно рассматривать как процесс, при котором в единицу времени от одного слоя к другому передается импульс, который по модулю равен действующей силе. Тогда выражение (5) можно записать в виде  
 
 (6)  
 
где jp — плотность потока импульса — величина, которая определяется определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси х через единичную площадку, перпендикулярную оси х, dν/dx — градиент скорости. Знак минус говорит о том, что импульс переносится в направлении убывания скорости (поэтому знаки jp и dν/dx противоположны).  
 
Динамическая вязкость η численно равна плотности потока импульса при градиенте скорости, равном единице; она вычисляется по формуле  
 
 (7)  
 
Из сопосавления формул (1), (3) и (6), которые описывают явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой. Эти законы были известны еще задолго до того, как они были обоснованы и получены из молекулярно-кинетической теории, которая позволила установить, что внешнее сходство их математических выражений является следствием общностью лежащего в основе явлений теплопроводности, диффузии и внутреннего трения молекулярного механизма перемешивания молекул в процессе их хаотического движения и столкновений друг с другом.  
 
Рассмотренные законы Фурье, Фика и Ньютона не вскрывают молекулярно-кинетической сути коэффициентов λ, D и η. Выражения для коэффициентов переноса получаются из кинетической теории. Они записаны без вывода, поскольку строгое и формальное рассмотрение явлений переноса довольно громоздко, а качественное — не имеет смысла. Формулы (2), (4) и (7) дают связь коэффициентов переноса и характеристики теплового движения молекул. Из этих формул следуют простые зависимости между λ, D и η: 
 
 и    
 
Используя эти формулы, можно по найденным из опыта одним величинам найти другие.

 

 

 

Задача 2.2. Вычистите теплопроводность азота N2 при температуре 300 К и давлении 100 кПа. Эффективный диаметр молекулы азота 0,37 нм.

Дано:Т=300К;  Р= 100кПа;  d =0,37нм

Решение: Коэффициент теплопроводности (1)

 

   В этой формуле СV – удельная теплоемкость газа при V = const, которая выражается формулой

 (2)

для азота число степеней свободы i = 5.   

  Плотность газа r определим из  уравнения Менделеева-Клапейрона:                                       

  . (3)                  

Средняя арифметическая скорость молекул:

.  (4)

Средняя длина свободного пробега молекул                                 

  ; ,             (5)          

где n – концентрация молекул газа.   

  Тогда                                  

  .        (6)

Подставим (2), (3), (4) и (6) в формулу (1), получим

,                               

  ,                                                                          (7)

где k = 1,38 10-23 Дж/К; R = 8,31 Дж/(моль К).   

  Проверим размерность:

.   

  Подставим числовые значения  в формулу (7):

9*10-3=9          

     

  Ответ: К = 9 мВт/(м К).

Задание 2.3 Как связаны друг с другом коэффициенты явления переноса?

 

Ответ.

     До сих пор рассматривался газ, находящийся в равновесном состоянии, т.е. когда  во всех точках занимаемого объема такие величины, как T, P и n – концентрация молекул одинаковые. Рассмотрим процессы, возникающие при отклонении газа от равновесия. Явления (процессы), возникающие в газах при отклонении их от равновесия, называются явлениями переноса. К этим явлениям относятся диффузия, теплопроводность и внутреннее трение. Все явления переноса связаны с выравниванием того или иного физического параметра в результате хаотического теплового движения молекул.

   Процесс установления внутри фаз равновесного распределения концентрации газовых молекул (а также молекул жидких и твёрдых тел) называется диффузией.

     Процесс направленного переноса внутренней энергии (выравнивание температуры) называется теплопроводностью.

Процесс направленного переноса количества движения (связано с возникновением сил трения между слоями) называется внутренним трением.

В газах все эти явления связаны  с нарушением максвелловского распределения молекул по скоростям. Во всех этих явлениях мы имеем дело с переносом в газе какой-либо физической величины:

тепла ΔQ – теплопроводность;

количества движения ΔL – внутреннее трение;

массы ΔM – диффузия.

Основа вывода всех уравнений едина, а именно: выбирается покоящаяся среда и выравнивание той или иной величины происходит исключительно благодаря неупорядоченному тепловому движению молекул (нет перемешивания). Т.к. движение газовых молекул беспорядочно, то любое из возможных движений считается равновероятным. Выбирается произвольная площадка ΔS и рассматривается переход молекул из одной области в другую через площадку за время Δt. Обозначая переносимую величину за B, получим: ,                                                     (19)

где       k – коэффициент пропорциональности;

l – коэффициент теплопроводности;

Д – коэффициент диффузии;

h – коэффициент вязкости;

– градиент вдоль направления Х:

dH = dT – температуры;

dH = dn – концентрации;

dH = dv – скорости;

dB – переносимая величина:

dB = dQ – теплота;

dB = dM – масса;

dB = dF – сила (количество движения).

Тогда получаем систему уравнений:

– уравнение теплопроводности;

– уравнение диффузии (1-й закон Фика);

– уравнение внутреннего трения

 
Знак “–“ указывает, что процесс происходит в  сторону убывания градиента.

Коэффициенты имеют значения:                                     

,                           (20)

где       Cудv – удельная теплоёмкость при V = const;

r  – плотность;            

– средняя длина свободного пробега;

– средняя скорость движения молекулы.

Сопоставляя формулы уравнения (20), видно, что один коэффициент может быть получен из другого.

Связь между коэффициентами:

l = η·Судv = Д·Судv·ρ                                                                       (21)

Пример:

характеристики газовых молекул при нормальных условиях:

Газ	h	× 104 м	l
O2	187	6,47	57
CO2	139	3,97	33
H2O (при 1000С)	90	4,04	50

Уравнения переноса, рассмотренные для газов, имеют более общий характер, т.е. они частично годны для жидких и твёрдых тел.

 

 

 

Задача 2.4 Давление воздуха в комнате 1атм, температура 300 К. Какую долю объема комнаты занимают сами молекулы воздуха? (Диаметр молекулы   воздуха примите равным d = 0,3 нм).

 

 Дано: P=1атм=101323Па, T=300K, M(воздуха)=29*10-3кг/моль, d=0,3нм=3*10-10м.

Решение:

 

Из уравнения Менделеева-Клаперона

.

P- давление газа, Vг – объем газа, m – масса газа, М – молярная масса газа, R – универсальная газовая постоянная, 8,31Дж/(моль*К).

Объем сферической молекулы

Число молекул в газе найдем из определения числа Авагадро

 

Здесь ν – количество молей. Na = 6,02*1023 моль−1

Отсюда

Объем занимаемый N молекулами найдем умножая объем одной молекулы на количество молекул

N=π

Долю объема комнаты которую занимают сами молекулы воздуха * найдем как отношение объема, занимаемого молекулами к объему всего газа:

 

Подставляя численные значения

= 4.34*10-7

 

Ответ: 4.34*10-7 или 4.34*10-5%