Колебательные движения

Колебательные движения

Самый простой случай К. движений уже рассмотрен в статье Гармоническое движение. Такое движение обуславливается переменной силой, во всякий момент направленной противоположно отклонению колеблющейся точки u, пропорциональной величине отклонений. Перемещение колеблющейся точки, в самом простом случае, выражается уравнением: x = αsin2πt/T, где α размах или амплитуда колебания, T — период одного колебания, t время, считаемое от момента прохождения точки чрез среднее свое положение и угол 2πt/T — фаза колебания. Фаза определяет место точки в пути и считается от 0 до 2π. Кинетическая энергия колеблющейся частицы (масса m), выражаемая, обыкновенно, через 1/2mv2 (живая сила), меняется в течение 1/2 периода от нуля до некоторого максимума. Поэтому средняя величина энергии для времени 1/2 периода выражается через π2ma2/T2. Все возможные типы колебаний могут быть приведены к простому колебанию — гармоническому. Фурье доказал особой теоремой, что всякое периодическое или К. движение с периодом T можно составить через сложение простых — с периодом T, 1/2T, 1/3T, и т.д. и притом составить только одним способом (т. е. с вполне определенными амплитудами и фазами). Иначе говоря, всякое К. движение с периодом Т разлагается на простые гармонические, причем период основного есть Т. Два простых колебания одного периода, следующие по одной и той же прямой, складываются — усиливая или ослабляя друг друга и даже уничтожая (если амплитуды равны, а фазы противоположны, т. е. разнятся на π). Такое явление называется интерференцией колебаний (см. Интерференция). Два колебания одинакового периода, направленные по взаимно перпендикулярным прямым, смотря по амплитудам и разности фаз, складываются или в движение по эллипсу (эллиптическое колебание), или по кругу (круговое колебание), или по прямой. Два колебания различных периодов по взаимно перпендикулярным линиям, в зависимости от амплитуд и разности фаз, складываются в траектории сложных форм, известных под общим именем фигур Лиссажу. Ряд точек, последовательно приходящих в К. движение, называется лучом. Передача колебаний от точки к точке — совершается с определенной скоростью, которая поэтому называется скоростью распространения колебаний. Расстояние между двумя ближайшими точками луча, находящимися в одинаковых фазах колебания, называется длиной волны (λ). Если в ряде точек в некоторый момент (t) перемещение одной точки ряда: x = аsin2πt/T, то перемещение всякой другой, находящейся в ряде на расстоянии y от первой, выразится уравнением x = asin2π(t/Т-у/λ). Такое уравнение называется уравнением луча и y называется разностью хода двух колеблющихся точек. Она соответствует разности фаз 2πy/λ

Колебания – один из самых распространенных процессов в природе и технике.

 Колеблются крылья  насекомых и птиц в полете, высотные здания и высоковольтные  провода под действием ветра, маятник заведенных часов и  автомобиль на рессорах во  время движения, уровень реки  в течение года и температура  человеческого тела при болезни.

Звук – это колебания плотности и давления воздуха, радиоволны – периодические изменения напряженностей электрического и магнитного полей, видимый свет – тоже электромагнитные колебания, только с несколько иными длиной волны и частотой.

Землетрясения – колебания почвы, приливы и отливы – изменение уровня морей и океанов, вызываемое притяжением Луны и достигающее в некоторых местностях 18 метров, биение пульса – периодические сокращения сердечной мышцы человека и т.д.

 Смена бодрствования  и сна, труда и отдыха, зимы  и лета... Даже наше каждодневное  хождение на работу и возвращение  домой попадает под определение  колебаний, которые трактуются как  процессы, точно или приближенно  повторяющиеся через равные промежутки времени.

Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и различные другие. Несмотря на такое разнообразие, все они имеют между собой много общего и поэтому описываются одними и теми же уравнениями.

Свободными колебаниями называются колебания, происходящие благодаря начальному

 запасу энергии, приданному колеблющемуся телу.

Чтобы тело совершало свободные колебания, необходимо вывести его из состояния равновесия.

 Специальный раздел  физики – теория колебаний  – занимается изучением закономерностей  этих явлений. Знать их необходимо  судо- и самолетостроителям, специалистам  промышленности и транспорта, создателям  радиотехнической и акустической  аппаратуры.

 Первыми учеными, изучавшими  колебания, были Галилео Галилей (1564...1642) и Христиан Гюйгенс (1629...1692). (Полагают, что соотношение между длиной маятника и временем каждого качания открыл Галлилей. Однажды в церкви он наблюдал, как качалась огромная люстра, и засекал время по своему пульсу. Позже он открыл, что время, за которое происходит один взмах, зависит от длины маятника - время наполовину уменьшается, если укоротить маятник на три четверти.).

Гюйгенс изобрел первые часы с маятником (1657) и во втором издании своей монографии «Маятниковые часы» (1673) исследовал ряд проблем, связанных с движением маятника, в частности нашел центр качания физического маятника.

 Большой вклад в  изучение колебаний внесли многие  ученые: английские – У. Томсон (лорд  Кельвин) и Дж. Рэлей, русские –  А.С. Попов и П.Н. Лебедев, советские  – А.Н. Крылов, Л.И. Мандельштам, Н.Д. Папалекси, Н.Н. Боголюбов, А.А. Андронов и другие.

Физические основы полета.

 Локомоция в сплошных  средах (воздухе и воде) настолько  отличается от передвижения на  границе раздела сред, что заслуживает  особого внимания природа сил, делающих такое движение возможным. Сплошная среда представляет  собой континуум, в котором не  на что опереться, не от чего  оттолкнуться. В вязкой жидкости, каковой является вода и воздух, возможны две основные формы  движения: ламинарное, или слоистое, когда линии тока параллельны  друг другу, и турбулентное, при  котором происходит перемешивание  жидкости. В турбулентных течениях  скорость и давление в каждой  точке пространства непостоянны  и характеризуются нерегулярными высокочастотными пульсациями.

 Всякое тело, движущееся  в сплошной среде, испытывает  на своей поверхности нормальные  и касательные напряжения. Их  результирующая представляет собой силу полного сопротивления среды движению тела, причем вектор силы полного сопротивления далеко не всегда совпадает с направлением движения. Проекция полного сопротивления тела на ось х в скоростной системе координат (ось х направлена вдоль скорости движения, ось z перпендикулярна к ней в горизонтальной плоскости, а ось у - в вертикальной) есть лобовое сопротивление, проекция же на ось у при положительном у есть подъемная сила, при отрицательном – в зависимости от того, где происходит движение, либо топящая (в воде), либо отрицательная подъемная сила (в воздухе). Лобовое сопротивление складывается из сопротивления трения и сопротивления давления или сопротивления формы (разности давлений впереди и позади тела). Количественно лобовое сопротивление и подъемная сила выражаются формулами:

 где S – некоторая характерная  площадь тела, V - скорость движения, r- плотность среды, сх и су – безразмерные коэффициенты соответственно лобового сопротивления и подъемной силы. Они зависят от формы движущегося тела, его ориентации в пространстве, но, прежде всего от соотношения сил инерции (они проявляются в давлении на поверхность тела) и трения, которые определяются вязкостью. Соотношение этих сил дает безразмерный комплекс, численное значение которого должно быть одинаковым у подобных течений. Иными словами, речь идет о масштабном критерии, который дает возможность сравнивать движение различных объектов, имеющих разные характеристики. Этот комплекс получил название числа Рейнольдса (Re):

 где l – характерный размер, m - вязкость среды, r- плотность среды.

 Диапазон Re биологических объектов достаточно велик [1] – от 10-6 (бактерии) до 107 (крупные китообразные). Этот ряд начинают мелкие организмы, движение которых целиком зависит от вязкости, и заканчивают крупные плавающие, на движение которых оказывают влияние в основном силы инерции. Стоит инфузории перестать двигать ресничками, как она тут же останавливается. Рыбе же достаточно один раз ударить хвостовым плавником, чтобы сравнительно долго скользить вперед. Когда такое мелкое насекомое, как трипс, перестает двигать крыльями, оно останавливается, птица же при этом продолжает по инерции двигаться вперед.

 По мере увеличения  роли инерционных сил с ростом  Re в движении животных все большее значение приобретает подъемная сила. При Re = 103 подъемная сила в три раза и более превышает лобовое сопротивление. Так, для крыла мухи – каллифоры отношение подъемной силы к лобовому сопротивлению равно 3:1, а у более крупных насекомых оно еще больше. Там, где силы инерции преобладают над силами трения, движение животных основано главным образом на использовании подъемной силы.

Строение крылового аппарата.

 Локомоторным центром  насекомого является грудь. Два  ее сегмента – средне –  и заднегрудь, которые снабжены крыльями - объединяют под общим названием "птероторакс". В крыловых мышцах груди осуществляется переход энергии из химической формы в механическую. Таким образом, птероторакс можно сравнить с двигателем летательного аппарата. Усилие сокращения мышц передается на крылья через скелет и систему мелких пластинок в корне крыла. Крылья совершают взмахи и генерируют аэродинамические силы.

 Крыло насекомого представляет  собой уплощенный вырост стенки  грудного отдела, покрытого двумя  слоями кутикулы, прочно соединенными  друг с другом. Дорсальная поверхность  крыла постепенно переходит в  спинной отдел скелета, вентральная  – в боковую стенку сегмента. В области сочленения находятся  уплотненные участки скелета  – склериты, их взаимное расположение между краем спинки и крылом характеризуется строгой упорядоченностью, здесь же сосредоточен ряд суставов [2,3].

 Крылья насекомых в  отличие от крыльев летающих  позвоночных животных лишены  собственной мускулатуры и приводятся  в движение сокращениями мышц  груди. (рис.1). Морфункциональную связь между мышцами и крыльями осуществляют скелет птероторакса и крыловые сочленения. Усилие от сокращения мышц передается сперва на спинную область сегмента – тергум, а затем на основание крыльев. Крыло насекомого представляет собой рычаг первого рода и для того, чтобы поднять или опустить его, совсем необязательно прикладывать усилие к длинному плечу – пластине крыла. Достаточно на небольшой угол опустить или поднять короткое плечо, надавив на него краем спинки (рис. 1). Последняя уплощается или выгибается под действием мышц, называемых мышцами непрямого действия.От этой схемы резко отличается работа летательного аппарата у стрекоз. У них крыловые мышцы прикрепляются непосредственно к основаниям крыльев (рис. 1). Такие мышцы, называемые крыловыми мышцами прямого действия, при сокращении тянут крылья за основания вниз, опуская их на некоторый угол. У всех прочих насекомых мускулы – опускатели относятся к крыловым мышцам непрямого действия, так как прикрепляются не к основаниям крыльев, а к двум складкам спинки спереди и сзади от крыла. Когда такие мышцы сокращаются, спинка аркообразно выгибается, приподнимая основания крыльев, вследствии чего их лопасти опускаются. Мускулы – подниматели опускают спинку, а с ней и основания крыльев, что приводит к движению крыльев вверх. У стрекоз мускулы – подниматели опускают спинку, а с ней и основания крыльев, что приводит к движению крыльев вверх. У стрекоз мускулы – подниматели прикрепляются близко друг к другу на спинке, а сама спинка маленькая и не играет большой роли в движении крыльев, однако крыловые мышцы прямого действия развиты у них сильнее, чем у других насекомых. Такая система движения крыльев неспособна обеспечить их быстрые взмахи, но обладает тем преимуществом, что каждое из четырех крыльев работает независимо. Это позволяет стрекозам совершать в воздухе различные сложные маневры. Все прочие насекомые (мухи, перепончатокрылые, клопы) мало уступают стрекозам в маневренности, которая достигается взмахами крыльев правой и левой сторон с подчас очень высокой частотой. Кроме того, большинство насекомых обладают способностью изменять наклон плоскости взмаха по отношению к продольной оси тела.

Подходы нестационарной аэродинамик

 Рассмотрим природу  сил, создаваемых при взмахе крыла  насекомого. Крыло, совершающее колебательные  движения, то ускоряется, то тормозится, в крайних точках взмаха оно  испытывает вращение вокруг своей  продольной оси. Такое движение  нестационарно, и для его описания непригодны методы, разработанные в классической аэродинамике для крыла или для пропеллера. Тем не менее существуют подходы, цель которых состоит в приближении существующих классических методов к сложной картине движения крыльев насекомых при взмахах. Два из них наиболее популярны. При описании машущего полета на базе квазистационарного подхода, допускают, что крыло насекомого – тонкая пластинка, обтекаемая потоком с постоянной скоростью (силовые коэффициенты постоянны по размаху и по времени), а аэродинамическое взаимодействие между правым и левым крыльями отсутствует.

 В центре современной теории крыла находится постулат Чаплыгина – Жуковского: задняя кромка крыла является линией, по которой стекает поток с верхней и нижней поверхностей крыла. Как только крыло начинает двигаться (рис. 2, а, 1), на его задней кромке образуется вихрь (рис. 2, а, 2). Этот вихрь быстро растет до тех пор, пока не прекратится движение жидкости вокруг задней кромки крыла, то есть пока она не станет линией схода потока с верхней и нижней поверхностей (рис2, а, 3). Как только это произойдет, вихрь отрывается и уносится с потоком. Отрыв разгонного вихря индуцирует циркуляцию определенной величины вокруг крыла, которую можно представить так называемым присоединенным вихрем (рис. 2, а, 2). Направление его вращения противоположно таковому разгонного вихря. Наложение набегающего потока на циркуляцию вокруг крыла создает знакомое из классической аэродинамики распределение давление по аэродинамическому профилю (рис. 2, б), в связи с чем величина подъемной силы, приходящейся на единицу размаха крыла, определяется из теоремы Жуковского

 где Г- циркуляция потока вокруг профиля. Зависимость коэффициентов подъемной силы и лобового сопротивления от угла атаки выражается посредством поляры Лилиенталя, которую можно представить как кривую, описываемую вектором полной аэродинамической силы R при изменении угла атаки (рис. 2,в). В свою очередь, полная аэродинамическая сила раскладывается на вертикальный (подъемная сила Y) и горизонтальный компонент (сопротивление крыла Q). В соответствии с этим подходом обтекание крыла, совершающего взмахи, рассматривается как последовательность отдельных стационарных ситуаций, когда изменениями угла атаки и скорости набегающего потока можно пренебречь. Моментов, удовлетворяющих квазистационарному подходу, в цикле взмаха два: один из моментов приходится на большую часть нисходящей ветви траектории, другой на нижнюю треть восходящей (рис. 2, г). При движении вниз крыло создает подъемную силу и тягу, при махе вверх – тягу и отрицательную подъемную силу. Создает ли крыло какие – либо силы в другие фазы взмаха, неизвестно, так как процессы, происходящие в верхней и нижней точках траектории, не поддаются описанию с позиции квазистационарного подхода.