Изучение упругих характеристик твёрдых тел

НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. Р.Е. Алексеева

 

Кафедра «Нанотенологии и биотехнологии»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лабораторная работа

 

«ИЗУЧЕНИЕ УПРУГИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТВЕРДЫХ ТЕЛ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнили: ст.гр. 12-НТ

Алтышев А.А. Королёв А.А.

Проверил: Водзинский В.Ю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нижний Новгород, 2014

 

Актуальность работы: само существование и тем более развитие электронной техники базируется на разработке и освоении новых материалов с заданными технологическими и эксплуатационными свойствами. Именно материалы являются основным звеном в возможности реализации многих инженерных решений микроэлектроники. Одними из важнейших характеристик материалов являются их механические и упругие характеристики.

Цель работы: ознакомление с основными упругими характеристиками материалов (модуль Юнга, модуль сдвига, коэффициент Пуассона) и экспериментальное их определение для ряда материалов. В ходе выполнения работы студенты изучают законы и условия распространения в кристаллической решетке продольных и поперечных оптических и акустических видов колебаний атомов.

 

1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Элементарный закон Гука

Под воздействием внешних сил в каждом элементарном объеме тела изменяется взаимное расположение частиц, что вызывает изменение сил взаимодействия между частицами, т. е. возникают напряжение, а само тело деформируется.

Упругая деформация после снятия нагрузки исчезает; пластическая деформация после снятия нагрузки не исчезает. Простейшими видами деформации являются деформация растяжения (сжатия) и сдвиг.

Растяжение (сжатие) – деформация, при которой поперечные сечения остаются плоскими, а нормальные напряжения в поперечном сечении распределены равномерно и равны. Относительное удлинение тела при упругом растяжении (сжатии) определяется законом Гука:

                                                           (1.1)

где σ = dFldS – механическое напряжение; Е- константа жесткости (модуль Юнга).

Удлинение   тела  сопровождается   уменьшением поперечного сечения d. Отношение относительного уменьшения поперечного сечения к относительному удлинению ε называется коэффициентом Пуассона:

     (1.2)

Коэффициент Пуассона характеризует изменение объема растягиваемого образца.

Сдвиг - деформация тела, вызываемая касательными напряжениями τ. При сдвиге параллельные напряжению τ слои тела смещаются относительно друг друга. Мерой сдвига является искажение углов (φ) элементарных параллелепипедов.

Перемещение dd’ называется абсолютным сдвигом, а соотношение dd’/ad=tgφ - относительным сдвигом. Ввиду малости угла сдвига tgφ≈φ.

В пределах упругости для деформации сдвига выполняется закон Гука в виде:

, где G - модуль сдвига.  (1.3)

Модули Юнга, сдвига Е коэффициента Пуассона μ и связаны, как характеристики одного процесса, соотношением

      (1.4)

При деформации растяжения поперечное сечение изменяется не одинаково по длине тела. Вследствие этого происходит сдвиг слоев нормальных по отношению к растягивающим силам. С учетом сдвиговых деформаций элементарный закон Гука для растяжения принимает вид:

.    (1.5)

 

Обобщенный закон Гука для изотропного тела

 

 

Рис. 1.

 

 

Так как элементарный куб находится в равновесии, то силы, действующие на противоположные грани, равны между собой. Каждое из напряжений, действующих на грани куба, раскладываем на составляющие σij, где i - означает направление составляющей, j - направление нормали соответствующей грани. Отсюда составляющие напряжения σ11 σ22 σ33— нормальные (сжимающие, растягивающие) напряжения, σ12, σ21, σ23, σ32, σ13, σ31 - касательные сдвиговые напряжения.

Таким образом, напряжение описывается девятью составляющими σij, являющимися компонентами тензора второго ранга – тензора механических напряжений:

     (1.6)

Так как система находится в равновесии и не вращается, то сумма вращающих моментов, действующих в противоположных направлениях, должна быть равна 0. Отсюда σ23=σ32, σ13=σ31, σ21=σ12 и из девяти компонентов независимыми остаются шесть, и тензор оказывается симметричным относительно главной диагонали тензора (σ11 σ22 σ33).

Обобщенный закон   Гука   устанавливает линейную зависимость между компонентами тензора напряжений σij и каждым компонентом тензора деформаций  εkl:

     (1.7)

Где диагонали компоненты (ε11, ε22, ε33) описывают растяжение или сжатие.

Остальные являются компонентами деформации сдвига. Причем εk,l=εl,k. Таким образом, тензор деформации имеет шесть независимых компонент.

Обобщенный закон Гука для изотропного тела записывается следующей системой из шести уравнений для деформации растяжения:

    (1.8)

Для компоненты сдвига

 

Закон Гука для анизотропных твердых тел

 

Монокристаллические твердые тела являются телами анизотропными. Для анизотропных твердых тел сущность закона Гука заключается в том, что каждая компонента тензора   деформации  εkl   линейно связана с каждой компонентой тензора напряжения  σij. Математически для монокристаллов можно записать:

     (1.9)

где Сijkl - тензор упругой жесткости, являющейся тензором четвертого порядка с 81 компонентом. Однако в силу того, что тензоры второго порядка симметричны (εkl=εlk, σij =σji), независимых компонент будет только 36. Кроме того, по причине симметричности самого тензора упругой жесткости относительно перестановки пар индексов:

из 36 компонент остается 21, которые будут характеризовать твердое тело, не обладающее никакой симметрией. Для кристаллов кубической сингонии, с учетом полной эквивалентности направлений вдоль осей [100]. [010], и [001], имеют место соотношения

С11= С22 - С33;     С12= С23 = С31;     С44= C55 = С66,

и остаются лишь три независимых компонента для тензора упругой жесткости:

Дисперсионные соотношения для колебаний цепочки атомов

Рассмотрим в качестве линейной модели твердого тела цепочку из N одинаковых атомов с массой М с межатомными расстояниями а (рис. 2.), для которых перемещение возможно лишь вдоль прямой, соединяющей атомы. Каждый атом обладает 1 степенью свободы, а вся система N - степенями свободы. Смешение любого атома из положения равновесия вызовет распространение возмущения по цепочке.

Рис. 2.

Допустим, атом n получает смещение Un(x,t) относительно положения его равновесия. Если смещение атомов меньше межатомного расстояния, то в соответствии с законом Гука можно считать, что силы межатомного взаимодействия пропорциональны смещениям.

Для простоты будем считать, что атом n взаимодействует только с соседними атомами n-1 и n+1, тогда результирующая сила:

    (1.10)

где β – атомная упругая постоянная, первое слагаемое – сила, действующая на n – атом со стороны n+1, а второе – со стороны n-1 – атома.

Уравнение движения n – атома

     (1.11)

Решение уравнения (1.11) следует искать в виде бегущей волны:

     (1.12)

где U0 – смещение атома с n=0 в момент t=0; k=2π/λ – волновое число; ω=2πν – круговая частота колебаний.

После ряда преобразований получаем дисперсионное соотношение для волн, распространяющихся в линейной цепочке из одинаковых атомов

      (1.13)

Минус в уравнении (1.13) соответствует области отрицательных значений k,

 

 

Связь механических характеристик со скоростями распространения волн в твердом теле

 

Возбудить акустические колебания в твердом теле можно с помощью ультразвукового генератора. Ультразвуковые колебания кварцевого генератора вызывают периодическое сжатие - растяжение образца. Это продольное возмущение со скоростью υ распространяется в виде продольной волны вдоль образца.

 

Пусть вдоль тела длиной L распространяется акустическая продольная волна со скоростью υ (рис. 3.). За время dt возбуждение (волна) распространяется на dl =υdt . В что же время частицы среды сместятся на dx=υ1dt здесь υ1 - скорость смещения частиц из положения равновесия при деформации. В этом случае деформация деформированного волной участка тела

Рис. 3.

     (1.19)

По второму закону Ньютона:

    (1.20)

Предположим, что скорости смещения всех частиц в возбужденном участке равны

    (1.21)

а массу возбужденного участка представим в виде

    (1.22)

здесь dV — объем возбужденного участка.

Подставим (1.22) и (1.21) в (1.20) и получим выражение для силы, деформирующей среду,

     (1.23)

и соответственно для напряжения, возникающего в образце,

    (1.24)

Сравнивая (1.24) с (1.1) и учитывая (1.19), имеем:

     (1.25)

или, с учетом поперечных изменений образца при продольных деформациях,

   (1.26)

Аналогично   дли   распространения   поперечных   волн выражения

G=ρU2,     (1.27)

 где U - скорость распространения поперечных волн.

Совместное  решение  уравнений  (1.4,   1.26  и   1.27) позволяет выразить коэффициент Пуассона через скорость распространения волн υ и U:

    (1.37)

 

2. ОБОРУДОВАНИЕ

 

Определение скорости распространения УЗ волны может быть выполнено на установке УЗИС-76 методом компенсации с использованием эталонной линии (ЭЛ) задержки.

Основной частью ультразвуковой установки является ультразвуковой источник сигналов (УЗИС-76), состоящий из электронного блока (ЭБ), эталонной линии (ЭЛ) и измерительного устройства (ИУ). Электронный блок состоит из генератора-излучателя, приемника и осциллографа. В жидкость ЭЛ помещены две кварцевые пластины: неподвижная 1 и подвижная 2, перемещаемая микрометрическим винтом 3. Измерительное устройство включает в себя станину с направляющими и приспособление для закрепления звукопроводов 4, которые представляют собой два стержня из титанового сплава с плоскопараллельно шлифованными торцами.   К   внешним  торцам  прикрепляются   пьезопластины   5 и 6, а между внутренними торцами зажимается исследуемый образец 7.

 

3. РАСЧЁТНЫЕ  ФОРМУЛЫ

 скорость продольных ультразвуковых волн

 модуль Юнга 

 среднее значение

 среднее квадратичное отклонение

 абсолютная погрешность

 относительная погрешность прямых измерений

 погрешность косвенных измерений скорости ультразвуковой волны

 

 погрешности модуля Юнга

 

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ  ЧАСТЬ

 

Материал	Показания микрометра без образца, мм				Показания микрометра с образцом, мм				ρ, кг/м	υ, м/с	E , 1011 Н/м
Титан	1.7	1.75	1.79	1.74	15.18	15.15	15.26	15.19	4505	4986	1.12

 

 

5 РАСЧЁТЫ

          

 

6. РАСЧЁТ ПОГРЕШНОСТЕЙ

 

Погрешность показаний микрометра без образца:

 

 

 

          

 

 

             P=95%        

 

Погрешность показаний микрометра с образцом:

 

 

 

          

 

 

             P=95%        

 

7. ВЫВОДЫ ПО  РАБОТЕ

Ознакомились с работой ультразвуковой установки УЗИС-76.

Определили скорость распространения ультразвуковой волны методом компенсации с использованием эталонной линии

Сделали вывод, что механические свойства твердых тел определяются в первую очередь силами связи, действующими между атомами и молекулами тела, и во многом зависят от степени упорядоченности атомной структуры, наличия дефектов. Такие механические свойства, как упругость, пластичность, проявляются при воздействии внешних факторов (механическое воздействие, тепловые, магнитные, электростатические, электромагнитные и другие воздействия) и деформации твердого тела.