Исследования движения тел в диссипативной среде

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ»

 

кафедра физики

 

 

 

 

 

Лабораторная работа № 1

 

 

 

ИССЛЕДОВАНИЕ 

ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ДИССИПАТИВНОЙ  СРЕДЕ

 

 

Санкт-Петербург, 2012 
РАБОТА №1

ИССЛЕДОВАНИЕ  ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ДИССИПАТИВНОЙ  СРЕДЕ

 

Цель  работы: Определение вязкости диссипативной среды (жидкости) по установившейся скорости движения шарика в ней, а также исследование процессов рассеяния энергии в диссипативной среде.

Приборы и принадлежности: цилиндрический сосуд с жидкостью, металлические шарики, аналитические весы, масштабная линейка, секундомер.

В работе используется цилиндрический сосуд (рис. 1), на котором нанесены метки. Измеряя расстояние между метками  и время падения шарика в жидкости, можно определить скорость его падения. Шарик опускается в жидкость через  впускной патрубок, расположенный в  крышке цилиндра.

 

Исследуемые закономерности

Вязкость (внутреннее трение) жидкостей  и газов выражается в свойстве оказывать сопротивление перемещению  их слоев друг относительно друга  и возникновении сил трения между  слоями жидкости или газа, перемещающимися  с различной скоростью. При достаточно высокой вязкости жидкости и малых скоростях движения слоев они движутся практически параллельно друг другу (ламинарное течение) в направлении оси Ox с разной скоростью (рис.  2).

Силы трения направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев и описываются законом Ньютона , где – производная скорости по нормали к слоям, S – площадь соприкосновения слоев, –  коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость). Величина обратная вязкости   называется текучестью. Наряду с динамической вязкостью часто используется кинематическая вязкость , где – плотность жидкости.

На движение молекул в  жидкости, в отличие от газа, сильно влияет межмолекулярное взаимодействие, ограничивающее их подвижность. Молекула жидкости большую часть времени совершает колебания около положения равновесия внутри небольшого объема. Поэтому природа внутреннего трения жидкостей, определяется не только переносом импульса при переходе молекул из одного слоя жидкости в другой (что имеет место в газах), но и воздействием одного слоя жидкости на другой за счет сцепления между молекулами. Как следствие, вязкость жидкостей в очень сильной степени зависит от температуры. С ростом температуры текучесть жидкости возрастает, а вязкость падает, т.к. с увеличением температуры тепловое движение молекул усиливается, а среднее время “оседлой жизни” молекулы (время релаксации) уменьшается. При невысоких температурах коэффициент динамической вязкости изменяется по закону Френкеля-Андраде , где k – постоянная Больцмана, – абсолютная температура, E – энергия, которую должна приобрести молекула, чтобы перейти от одного положения к другому (энергия активации). Характерный вид температурной зависимости вязкости изображен на рис. 3.

Согласно Таблицам физических величин под ред. акад. И.К. Кикоина, зависимость вязкости  глицерина ( ) от температуры представлена в таблице:

	0	5	10	20	30	40	50
, Па·с	12,1	7,05	3,95	1,48	0,60	0,33	0,18

Сила сопротивления движению в вязкой среде. В вязкой среде на движущееся тело действует сила сопротивления, направленная против скорости тела. При небольших скоростях и небольших размерах тела эта сила обусловлена вязким трением между слоями среды и пропорциональна скорости тела

,

где – скорость движения тела, r – коэффициент сопротивления, зависящий от формы, размеров тела и от вязкости среды h.

Для шара радиуса R коэффициент сопротивления определяется формулой Стокса

.

При движении тела в вязкой среде  происходит рассеяние (диссипация) его  кинетической энергии. Слои жидкости, находящиеся на разном расстоянии от движущегося тела, имеют различную скорость. Слой жидкости, находящийся в непосредственной близости от поверхности движущегося тела, имеет ту же скорость, что и тело, по мере удаления от него скорость частиц жидкости плавно уменьшается, рис. 4. В этом состоит явление вязкого трения, в результате которого энергия тела передается слоям окружающей среды в направлении, перпендикулярном движению тела. Если скорость тела велика или тело имеет большие размеры, за телом возникают вихри и обтекание становится турбулентным. В этом случае сила сопротивления становится пропорциональной квадрату скорости: , где –  площадь поперечного сечения тела, а – плотность жидкости, – коэффициент пропорциональности. Сила сопротивления при турбулентном обтекании определяется не столько трением одних слоев жидкости о другие, сколько увеличением кинетической энергии жидкости, вынужденной двигаться, чтобы расступиться и пропустить тело.

Движение тела в диссипативной  среде. Рассмотрим падение шарика в жидкости. В исследуемом в лабораторной работе случае скорость шарика оказывается невелика, и можно считать, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости.  Пусть начальная скорость шарика у поверхности жидкости  , его радиус , а и   – плотность жидкости и шарика соответственно. Согласно II закону Ньютона:

.

Здесь – сила Архимеда, – сила Стокса, – присоединенная масса жидкости, увлекаемая телом за собой. Для шарика присоединенная масса равна половине массы вытесненной жидкости: . Если ввести обозначения , , то  задача сведется к решению неоднородного дифференциального уравнения вида . Данное уравнение имеет решение

 

,   ,

где – установившаяся скорость движения шарика, – его начальное ускорение.

Зависимость скорости движения тела в  диссипативной среде от времени  представлена на рис. 5. Видно, что скорость шарика в зависимости от величины начальной скорости может либо убывать, при , либо возрастать при , но в любом случае асимптотически стремится к постоянному значению .

Время, за которое величина ускорения уменьшается в e раз, определяется параметром , который носит название времени релаксации. Его характерное значение в исследуемом случае составляет доли секунды. В промежутке между рисками прошедшее с момента начала движения время многократно превышает , и движение шарика можно считать равномерным, а значение его установившейся скорости находить как .

Уравнение движения шарика в  этом случае имеет вид  , или

.

 _{Из  полученного уравнения  может быть найден  коэффициент сопротивления  среды}

,

_{а вязкость среды определяется согласно формуле  Стокса:}

.

Радиус шарика может быть выражен через его массу  . Тогда

,

где А – константа, зависящая от плотности жидкости и материала шарика:

.

 В лабораторной работе в качестве жидкости используется глицерин, материал шарика – свинец или сталь.

 

Превращение энергии в диссипативной  системе.

Полная энергия движущегося в жидкости тела в произвольный момент времени определяется выражением

,

где h – высота расположения тела над дном сосуда. В установившемся режиме

.

Передача энергии жидкой среде, окружающей движущееся тело, происходит за счет совершения работы против сил  трения. Энергия при этом превращается в тепло. Скорость диссипации энергии (мощность потерь) в установившемся режиме может быть найдена как

.

Уравнение баланса энергии  на участке установившегося движения имеет вид:

,

где – путь, проходимый телом между двумя метками, за время t.  Уравнения движения тела (второй закон Ньютона) и баланса энергии являются эквивалентными друг другу.

Задание по подготовке к работе

1. Изучите описание лабораторной работы.
2. Рассчитайте значение коэффициента А в формуле для вязкости.
3. Выведите формулы расчета приборных погрешностей параметра h через прямо измеряемые в опыте величины m, l, t, используя метод логарифмирования функции.
4. Подготовьте бланк протокола наблюдений (формат А4) согласно разделу «Указания по проведению наблюдений», создайте и занесите в протокол  таблицу для записи результатов наблюдений, внеся в нее строки для параметров , , а также их приборные погрешности. Предусмотрите место для записи параметров лабораторной установки и опыта: плотностей среды и материала шариков и , расстояния между метками , расстояния от верхней поверхности патрубка до поверхности жидкости , температуры в лаборатории.

 

Указания по выполнению наблюдений

1. На аналитических весах взвесьте поочередно пять шариков. После взвешивания каждый шарик заверните в лист бумаги и напишите на ней порядковый номер шарика. Результаты занесите в протокол наблюдений.
2. Поочередно, согласно нумерации, опуская шарики в жидкость через впускной патрубок, измерьте секундомером время прохождения каждым шариком расстояния между двумя метками на боковой поверхности сосуда. Результаты занесите в протокол наблюдений.    
3. Измерьте миллиметровой линейкой и занесите в протокол расстояние между метками на сосуде и расстояние от верхней поверхности патрубка до поверхности жидкости . Запишите температуру воздуха в лаборатории. Запишите значения плотностей жидкости и материала шариков.
4. Занесите в протокол приборные погрешности приборов, с помощью которых в данной работе проводились измерения.

 

Задание по обработке результатов

1. По данным таблицы результатов наблюдений определите значение вязкости глицерина. Обработку погрешностей проведите выборочным методом, представьте ее в табличном виде согласно учебному пособию «Морозов В. В., Соботковский Б. Е., Шейнман И. Л. Методы обработки результатов физического эксперимента».

В таблицу для определения вязкости жидкости выборочным методом, внесите строки для параметров m, t, , h, . Определите результат для доверительной вероятности 95 % и запишите его после округления в стандартной форме.

2. Для одного из опытов определите коэффициент сопротивления r и мощность рассеяния и проверьте баланс энергии на участке установившегося движения.
3. Для одного из опытов рассчитайте начальные скорость , ускорение и время релаксации . Постройте графики зависимостей скорости и ускорения от времени.
4. Сравните найденное значение вязкости с табличным значением для данной температуры.
5. Покажите, что коэффициент сопротивления жидкости и мощность рассеяния могут быть вычислены по формулам и .
6. Используя ранее определенные значения , вычислите коэффициент сопротивления и мощность рассеяния и сопоставьте полученные числовые значения с вычисленными в п. 2.
7. Вычислите количество теплоты, выделяющееся за счет трения шарика о жидкость, при его прохождении между двумя метками.
8. Сделайте выводы на основе полученных результатов сравнения.

 

Контрольные вопросы

1. Какие параметры характеризуют исследуемую систему как диссипативную?  От каких величин зависит коэффициент сопротивления движению тела в диссипативной среде?
2. Дайте определения динамической, кинематической вязкости и текучести жидкости, а также ее ламинарного и турбулентного течения.
3. Как зависит сила сопротивления движению шарика в жидкости от скорости при малых и больших скоростях его движения.
4. Сделайте рисунок и укажите на нем все силы, действующие на шарик, падающий в жидкости.
5. Используя обозначения сил, указанных на рисунке, напишите уравнение движения шарика (второй закон Ньютона) в диссипативной среде для момента касания шариком поверхности жидкости. Напишите уравнение, описывающее движение шарика в жидкости в нестационарном и стационарном режиме.
6. Выведите (или докажите подстановкой в уравнение движения) зависимости скорости и ускорения шарика от времени в нестационарном режиме.
7. Используя выражения для сил п. 3, напишите уравнение движения шарика в стационарном режиме. Используя это уравнение, получите выражение для вязкости жидкости через радиус шарика.
8. Объясните различный характер температурной зависимости вязкости жидкостей и газов.  
9. Чем обусловлена необходимость учета присоединенной массы? 
10. Обоснуйте, почему в данной работе для обработки данных косвенных измерений нельзя применять метод переноса погрешностей, но возможно применение выборочного метода.
11. Дайте определение времени затухания. Как определить время затухания, пользуясь графиком переходного процесса в диссипативной системе,  проведя касательную к нему при t = 0. Для этого дайте определение ускорения и его геометрическую интерпретацию.