Исследование динамики колебательного и вращательного движения

Санкт-Петербургский  государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ»

 

кафедра физики

 

 

 

 

 

 

Л А Б О Р А Т О Р  Н А Я   Р А Б О Т  А  № 3

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Санкт-Петербург, 2012 

РАБОТА №3.

 ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ  КОЛЕБАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Приборы и принадлежности: крутильный маятник, секундомер, масштабная линейка, микрометр.

Цель работы: исследование динамики колебательного движения на примере крутильного маятника, определение модуля сдвига материала подвеса.

Применяемый в работе крутильный маятник (рис. 1) представляет собой диск 1, закрепленный на упругой стальной проволоке 2, свободный  конец которой зажат в неподвижном  кронштейне 3. На кронштейне расположено  кольцо 4, масса которого известна. Кольцо 4 можно положить сверху на диск 1, изменив  тем самым момент инерции маятника. Для отсчета значений угла поворота маятника служит градуированная шкала 5, помещенная на ободе диска 1.

Исследуемые закономерности

 

Момент инерции крутильного  маятника

Момент инерции – физическая величина, характеризующая инертные свойства твердого тела при его вращении. В соответствии с одной из формулировок основного уравнения динамики вращательного  движения

,

в которой  момент инерции I связывает угловое ускорение тела e и момент сил M, действующих на него.

Если твердое тело вращается  вокруг неподвижной оси, то момент инерции  относительно этой оси вычисляется  как сумма произведений элементарных масс Dm_i, составляющих тело, на квадраты их расстояний r_i до оси вращения, т.е.

,

где r – плотность тела, DV_i – элементы объема. Таким образом, момент инерции является аддитивной величиной.

В случае сплошного тела сумма  в определении момента инерции  переходит в интеграл:

.

Крутильный маятник совершает  колебательное движение. В то же время, за время, меньшее, или равное половине периода его колебаний, движение маятника между двумя крайними положениями (максимальными углами поворота по- и против часовой стрелки) является вращательным. Поэтому, используя уравнение движения крутильного маятника и основное уравнение динамики вращательного движения, можно определить момент инерции маятника, а также все характерные физические величины, описывающие вращательное движение.

Уравнение движения крутильного маятника. При повороте тела, закрепленного на упругом подвесе, в подвесе в результате деформации сдвига возникает вращающий момент упругих сил , где k – коэффициент кручения, зависящий от упругих свойств материала подвеса, его размеров и формы, j - угол поворота. Без учета сил трения в подвесе уравнение движения тела имеет вид

      или        ,

которое является уравнением гармонического осциллятора с частотой собственных колебаний , I – момент инерции диска крутильного маятника.

Трение в подвесе создает тормозящий момент, пропорциональный скорости движения маятника, , где R – коэффициент сопротивления. С учетом сил трения уравнение движения маятника принимает вид

,     или       ,

в котором  коэффициент b = R/2I  называют коэффициентом затухания. Последнее уравнение является уравнением осциллятора с затуханием. Решение этого уравнения при  представляет собой затухающие колебания и имеет вид

,

где – начальная амплитуда колебаний маятника, – время затухания, определяющее скорость убывания амплитуды A(t) маятника и численно равное времени, за которое амплитуда убывает в e раз (рис. 2)

,   ,

w – частота колебаний осциллятора с затуханием, связанная с собственной частотой соотношением . Время затухания t также выражается через момент инерции I и коэффициент сопротивления R выражением .

 

Крутильный маятник как диссипативная  система

Полная энергия колебаний  маятника убывает со временем по закону

,

где – начальная энергия колебаний. Убывание энергии происходит за счет совершения работы против сил трения. Энергия при этом превращается в тепло (диссипирует). Скорость диссипации энергии (мощность потерь) может быть найдена как:

.     

Помимо коэффициента затухания b (или времени затухания t) и мощности потерь P_d колебательная диссипативная система характеризуется также добротностью Q, позволяющей судить о способности системы сохранять энергию. Добротность определяется отношением запасенной системой энергии к потерям энергии за время , что соответствует изменению фазы колебания на 1 радиан. Легко видеть, что добротность

,

т.е. численно равна числу колебаний  за время . За это время амплитуда колебаний уменьшается в e^p @ 23 раза, а энергия колебаний в e^2p @ 535 раз, иными словами за это время колебания практически затухают. Часто также используется параметр – число колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

В технике для характеристики колебательных систем с затуханием вводят декремент затухания D, равный отношению амплитуд колебаний, отличающихся на период колебаний,  и его логарифм – логарифмический декремент затухания d = lnD.

  или  d = bT =

 

Определение модуля сдвига. Методом крутильных колебаний пользуются для косвенного измерения модуля сдвига G материала подвеса. Модуль сдвига характеризует упругие  свойства материала и в случае малых деформаций равен силе, действующей на единицу площади S при единичном угле сдвига g (рис. 3) касательно сдвигу слоев вещества в месте определения модуля G.

Для подвеса из стальной проволоки  модуль сдвига определяется из соотношения

,

где l – длина подвеса, d – его диаметр,  k – коэффициент кручения.

Указания  по выполнению наблюдений

1. Измерить  масштабной линейкой длину подвеса l, микрометром или штангенциркулем диаметр проволоки подвеса d, а также внешний D_ex и внутренний D_in диаметры кольца, диаметр D₀ и толщину h₀ диска маятника. Результаты измерений, а также значение массы и плотности материала диска маятника и кольца записать в протокол наблюдений.

2. Измерить  период колебаний маятника, для  чего повернуть диск на некоторый  угол (примерно 30^о) и отпустить его, включив одновременно секундомер. Отсчитав n = 10 полных колебаний, отключить секундомер. Измерения повторить 5 раз, занося результаты измерения в таблицу 1 протокола наблюдений.

3. Измерить  период колебаний маятника с  кольцом, для чего положить  кольцо на диск маятника и  выполнить действия, описанные в  п. 2, занося результаты измерения в таблицу 1 протокола наблюдений.

4. Измерить  время затухания колебаний, для  чего, сняв кольцо с диска, повернуть  диск на угол примерно 30^о, записав при этом в таблицу 2 отсчет a₁  на шкале диска. Отпустить диск, включив одновременно секундомер. Измерить время , за которое амплитуда уменьшится примерно в два раза, записав при этом соответствующий отсчет a_t по шкале диска. Притормозив диск рукой, прекратить колебания и записать отсчет a₀ по шкале диска в состоянии покоя. Измерения повторить 5 раз, сохраняя соотношение между максимальной и минимальной амплитудами и занося результаты каждый раз в таблицу 2 протокола наблюдений.

5. Надеть кольцо  на диск и повторить измерения  времени затухания колебаний диска с кольцом, согласно п. 4.

Задание по обработке результатов

1. Статистическая обработка измеренных значений. Определить по данным таблиц 1 и 2 средние значения интервалов времени , , и . Определить погрешности этих величин с доверительной вероятностью P = 95%.

2. Определение периода колебаний маятника. Пользуясь методом переноса погрешностей, для диска без кольца и с кольцом рассчитайте средние значения и полные погрешности периода колебаний .

3. Определение момента инерции маятника. Определить момент инерции маятника по формуле

,      ,

где – момент инерции кольца. Вычислить погрешность , пользуясь правилами расчета погрешностей косвенных измерений. Рассчитать значение момента инерции диска маятника, исходя из его размеров и плотности материала. Сравнить полученный результат с экспериментальным значением.

4. Определение времени затухания маятника. Пользуясь методом переноса погрешностей, для диска без кольца и с кольцом рассчитайте средние значения и полные погрешности времени затухания t маятника и погрешность Dt при P = 95%. Время затухания вычисляется по формуле

.

5. Определение собственной частоты колебаний гармонического осциллятора. Пользуясь выражениями   и , определить собственные частоты и колебаний для диска без кольца и с кольцом. Вычислить их погрешности.

6. Определение коэффициента кручения и модуля сдвига материала подвеса. Найти коэффициент кручения  и погрешность Dk. Рассчитать среднее значение модуля сдвига G.

7. Определение полной энергии, мощности потерь и добротности маятника. Пользуясь соответствующими соотношениями, определить средние значения указанных величин.

8. В соответствии с уравнением затухающих колебаний построить графики зависимости угла сдвига и амплитуды колебаний от времени для одного из наблюдений.

Контрольные вопросы

1. Запишите уравнения движения для гармонического осциллятора без затухания и с затуханием и объясните физический смысл величин, входящих в эти уравнения.
2. Сформулируйте основное уравнение динамики вращательного движения. В чем состоит физический смысл момента инерции?
3. Дайте определение момента инерции. Выведите формулы для моментов инерции кольца и маятника без кольца в п. 3 Задания по обработке результатов.
4. Какие параметры характеризуют исследованную систему как диссипативную?
5. Дайте определение времени затухания. Как определить время затухания, пользуясь графиком переходного процесса в диссипативной системе?
6. Дайте определение добротности колебательной системы и логарифмического декремента затухания. Как они взаимосвязаны друг с другом? Каков физический смысл этих параметров? Выведите формулы для расчета этих параметров.
7. Дайте определение модуля сдвига. В чем состоит физический смысл этой величины?