Движение математического маятника

где (0<κ<1).

Эти  интегралы, как показал Луивилль, в конечном виде не берутся. Их Лежандр назвал эллиптическими интегралами,соответственно,1-го,2-го и 3-го рода. Первые два содержат лишь один параметр κ, а последний, кроме него, ещё (комплексный) параметр h. Лежандр внес  в эти интегралы ещё дальнейшие упрощения, выполнив в них подстановку z=sinφ (φ изменяется от 0 до π/2).  При этом из них непосредственно переходит в интеграл    .(A)

Второй преобразуется  так:

,

т.е. приводится к предыдущему интегралу и к новому интегралу

. (B)

 Наконец, третий интеграл  при указанной подстановке переходит  в 

.(C)

Интегралы (A),(B) и (C) также называются эллиптическими интегралами 1-го,2-го и 3-го рода  - в форме Лежандра.

5§.Закон движения  маятника (в эллиптических функциях).

                 (5)

-общее решения уравнения  в явном виде.

Видно, что квадратура в конечном виде не берётся: интеграл справа непосредственно приводится к эллиптическому интегралу 1го рода.

Так как , ,

то

Подставляя этот результат в уравнение (5), получаем:

 

и положив  =κ (0< κ<1), введём новую переменную интегрирования φ

по формулам  , ;                   (6)

откуда        

Кроме того,

 

при этом изменению θ от 0 до α отвечает изменение φ от 0 до π/2. Тогда получим закон движения маятника в виде

       (7)

Интеграл, стоящий в правой части равенства (7), представляет собой эллиптический интеграл первого рода. Величина κ называется модулем  эллиптического интеграла.

Так как по первой из формул (6) легко выразить φ через θ,то зависимость t от θ можно считать установленной.

Этот интеграл есть функция верхнего предела и модуля. Желая выразить, наоборот, θ через t, мы нуждаемся в обращении эллиптического интеграла

               (8)

Если в равенстве (8) рассматривать верхний предел, а как функцию от интеграла u, монотонно возрастающую непрерывную (и даже дифференцируемую) функцию от φ в промежутке (-; то такая функция носит название амплитуды u (am u)-как её обозначил Якоби - и обозначается так: , или .    (9)

А мы обозначим так:    ,то    ,  или .  

Из (8) теперь ясно, что        и, значит, .

Беря от обеих частей равенства (9) синус, мы получим:

           (10)

Функцию («синус амплитуды» или «эллиптический синус») обычно обозначают просто через sn u. (Функция sn u,рассматривается как функция комплексного аргумента, является одной из простейших (введённых Абелем и Якоби),так называемых, эллиптических функций.).Итак, окончательно, зависимость θ от t выражается равенством

Функция sn u представляет собой так называемую эллиптическую функцию Якоби. Поскольку,  согласно уравнению (7), u=t, то , переходя в равенстве (10)  с помощью формулы (6), найдём  закон движения маятника, выраженный через эллиптическую функцию sn, в виде

.   (11)

 

6§.Графики траекторий  движения маятника.

Построим численно кривые движения математического маятника при различных начальных  условиях используя закон движения маятника, выраженный через эллиптическую функцию .

Задавая угол и промежуток времени, мы строим графики зависимости  ().

 Возьмём =Pi/4 и для точности определения зависимости () возьмём  t1=0..10, t2=0..20, t3=0..30.

При =5 -> ()= -1,2; =15 -> ()=1,2  Замечаем, что через каждые 10с, повторяется угол отклонения.

 

Возьмём =Pi/3 и для точности определения зависимости () возьмём  t1=0..10, t2=0..20, t3=0..30.

При =5 -> ()= -1,84; =8,44 -> ()=1,86  Замечаем, что через почти каждые 3,5с, повторяется угол отклонения.

Таким образом, мы видим, что движение маятника периодическое. За 1 период при увеличении времени угол сначала увеличивается, а потом уменьшается.

 

 

7§.Заключение

В данной работе мы выполнили поставленные задачи и достигли заданной цели. Мы познакомились с такими понятиями, как «математический маятник», «эллиптическая функция» и «эллиптический интеграл»… Отметили, как численно строить соответствующие кривые движения при различных начальных условиях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8§.Список литературы

1.Беляева Н.А. Обыкновенные  дифференциальные уравнения Сыктывкар,2012

2.Боровой А., Херувимов А. Колебания и маятники. Ж. Квант. № 8, 1981.

3.Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. М.: Наука. 1969.

4.Фихтенгольц Г.М. Курс  дифференциального и интегрального исчисления 2том  М.: Наука. 1969.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9§.Приложение

>

        

>

>

>

       

>

>

>

>

>

>

>