Динамика маятника Обербека

 

ВВЕДЕНИЕ

Целью данной работы является экспериментальное исследование зависимости углового ускорения от конструктивных параметров маятника, а именно от момента инерции привесок. Установление такой связи позволяет косвенно проверить основные законы динамики поступательного и вращательного движений. Задачей лабораторной работы является экспериментальная проверка зависимости углового ускорения маховика от момента инерции привесок.

1 ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ИЗМЕРЕНИЙ

В работе используется маятник Обербека. Экспериментальная установка изображена на рисунке 1.1.

1 – барабан;  6 – груз;

2 – стержень;  7 – нить;

3 – привеска;  

4 – стопорный винт;

5 – блок;

Рис.1.1- Схема экспериментальной установки

Установим все привески на минимальном  расстоянии от оси барабана и зафиксируем их стопорными винтами. Вращая маховик, поднимаем груз, подвешенный на нити, и запоминаем его положение для того, чтобы в каждом опыте начальная точка движения груза было одной и той же. Измерим время, за которое маховик совершит 5 полных оборотов. Переместим привески вдоль стержней на несколько сантиметров дальше от оси вращения. Расстояние от центра масс барабана до центров масс каждой привески r одинаковое. Повторяем эксперимент по пять раз для каждого из значений r. Измерения были проведены при шести различных r.

2 ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Угловое ускорение маховика:

,      (2.1)

где g – ускорение свободного падения (g ≈ 9,8 м/с²);

M_T – момент силы трения в подшипниках барабана;

R – радиус барабана (приблизительно равен 2 см);

m – масса груза;

I₀ – момент инерции ненагруженного маятника;

I – суммарный момент инерции привесок.

_{Угловой коэффициент графика зависимости t²(I):}

,      (2.2)

где φ – угол поворота маховика.

Свободный член графика зависимости t²(I):

.     (2.3)

 

 

Суммарный момент инерции привесок:

,       (2.4)

где r – расстояние от центра масс барабана до центров масс привесок;

m₀ – масса одной привески.

_{Угловой коэффициент графика  зависимости t²(I):}

,       (2.5)

где  – произвольный отрезок по оси I;

 – соответствующее  приращение аргумента.

Формула для вычисления случайной погрешности времени поворота маховика t:

,     (2.6)

где K – число измерений;

t_i – результат отдельного i-го измерения;

 – среднее значение времени t.

Суммарная погрешность прямых измерений t:

,   (2.7)

где  – систематическая погрешность (приборная погрешность) секундомера;

Абсолютная  погрешность косвенного измерения :

.     (2.8)

Момент  силы трения в подшипниках барабана (выражение через (2.2)):

.      (2.9)

Момент инерции  ненагруженного маятника (выражение  через (2.3)):

.   (2.10)

3 РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ

Таблица 3.1 - Результаты прямых и косвенных измерений

Номер Опыта	Номер измерения	Прямые измерения		Косвенные измерения			Примечания
		t, с	r,см	<t>,с	<t>2, c2	I, кг∙см2
1	1	2,09	2,5	2,106	4,435236	2	Угол поворота маховика 10π рад.   Масса привески 80 г.   Масса груза 145 г.     .     .
	2	2,11
	3	2,11
	4	2,11
	5	2,11
2	1	2,35	4	2,334	5,447556	5,12
	2	2,33
	3	2,33
	4	2,34
	5	2,32
3	1	2,64	5,5	2,648	7,011904	9,68
	2	2,65
	3	2,65
	4	2,64
	5	2,66
4	1	2,93	7	2,938	8,631844	15,68
	2	2,94
	3	2,94
	4	2,94
	5	2,94
5	1	3,34	8,5	3,342	11,168964	23,12
	2	3,35
	3	3,35
	4	3,35
	5	3,32
6	1	4,5	13	4,49	20,1601	54,08
	2	4,5
	3	4,49
	4	4,47
	5	4,49

 

Рассчитаем моменты инерции  привесок по формуле (2.4) и внесем данные в таблицу 3.1.

 (кг∙см²);

 (кг∙см²);

 (кг∙см²);

 (кг∙см²);

 (кг∙см²);

 (кг∙см²);

Используя данные таблицы 3.1, построим график зависимости t² от I.

Рис. 3.1 –  График зависимости t²(I)

Рассчитаем  случайную погрешность , используя данные таблицы 3.1, для первой и последней точек по формуле (2.6).

(с);

(с).

Рассчитаем  – суммарную погрешность прямых измерений t по формуле (2.7) для первой и последней точек.

(с);

(с).

Рассчитаем  абсолютную погрешность косвенных измерений , используя формулу (2.8), для первой и последней точек.

 (с²);

 (с²).

Значение абсолютной погрешности  косвенных измерений  и есть доверительный интервал по оси . Отложим доверительные интервалы на графике t²(I). Для промежуточных экспериментальных точек выберем произвольные доверительные интервалы, ориентируясь на значения для крайних точек. Проведем прямую через доверительные интервалы (рис. 3.1).

График  – прямая, не проходящая через начало координат, так как имеет вид:

y = kx + b,

где b=4 (с²) (ордината точки пересечения графика при x=0). b>0. Угол наклона графика к оси абсцисс острый. На основании этих данных, имеем право рассчитывать угловой коэффициент по формуле (2.5).

Пользуясь графиком, найдем k по формуле (2.5). Приращение квадрата времени рассчитаем, как разность между значениями последней и первой экспериментальных точек:

(с²/кг∙см²).

Рассчитаем  момент силы трения по формуле (2.9):

(кг∙см²/с²).

Рассчитаем  момент инерции ненагруженного маятника по формуле (2.10):

(кг∙см²).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Квадрат времени линейно зависит от момента  инерции привесок; также момент инерции привесок зависит от конструктивных параметров маятника.

Проводя измерения, удалось получить следующие значения:

(кг∙м²/с²) при массе груза 0,145 кг.

(кг∙м²) при радиусе барабана 0,02 м.