Диэлектрики

1.13. Поляризация диэлектриков

1. Связанные заряды

Заряды в диэлектрике под  действием поля могут смещаться  из своих положений равновесия лишь на малые расстояния, порядка атомных. Диэлектрик состоит из электрически нейтральных молекул и под действием приложенного электрического поля «центр тяжести» электронов в молекуле немного смещается относительно «центра тяжести» атомных ядер. Молекулы становятся электрическими диполями, ориентированными в направлении поля . В этом случае говорят, что диэлектрик поляризован.

                                  

Видно, что на одном конце параллелепипеда  из диэлектрика выступают нескомпенсированные положительные заряды, а на противоположном конце - отрицательные поверхностные заряды. Их называют поляризационными или связанными зарядами. Очевидно, что связанные заряды нельзя разделить механически (в отличие от индуцированных зарядов в проводниках).

Заметим, что связанные заряды могут  возникать не только на поверхности, но и в объеме диэлектрика.

Механизм поляризации диэлектриков может быть и иным. Существуют диэлектрики, молекулы которых обладают дипольными моментами уже в отсутствие электрического поля. Такие молекулы называются полярными. Если поля нет, то полярные молекулы совершают хаотические тепловые движения и ориентированы совершенно беспорядочно. При наложении электрического поля дипольные молекулы ориентируются преимущественно в направлении поля. Это и означает, что диэлектрик становится поляризованным.

2. Сторонние заряды

Помимо электрически нейтральных  молекул в диэлектрике могут  существовать положительно или отрицательно заряженные ионы. Такие заряды называются сторонними. Они возникают в диэлектрике, например, при электризации трением. К сторонним зарядам относятся также все заряды, находящиеся на проводниках.

3. Трудности расчета  поля

Электрическое поле в диэлектрике  определяется как сторонними, так  и связанными зарядами, причем величина и распределение связанных зарядов изначально не известны, а сами зависят от результирующего электрического поля. Это значительно усложняет расчет поля в диэлектриках. В частности, теорема Гаусса для вектора

содержит в правой части связанный  заряд, который сам нуждается  в определении. Эти трудности решаются далее путем введения новых величин и установления новых связей.

4. Вектор поляризации

Для количественного описания поляризации  вводят в рассмотрение  вектор поляризации. Так называется дипольный момент единицы объема диэлектрика:

.

Вектор поляризации - локальная  характеристика поляризованного диэлектрика (также как, например, объемная плотность  заряда - локальная характеристика заряженного тела).

Вектор  зависит от напряженности электрического поля . Опыт показывает, что для обширного класса диэлектриков и широкого класса явлений связь между векторами и линейная. Такая закономерность объясняется тем, что напряженности макроскопических электрических полей обычно малы по сравнению с напряженностями микрополей внутри атомов и молекул. Если среда изотропна, то векторы и коллинеарны и можно записать

  ,                                                           (1)

где a - безразмерный коэффициент, называемый поляризуемостью (диэлектрической восприимчивостью) диэлектрика. Он зависит от типа диэлектрика.

5. Теорема Гаусса  для вектора 

Поток вектора поляризации через произвольную замкнутую поверхность равен взятому с обратным знаком связанному заряду диэлектрика в объеме, который охватывается поверхностью S, то есть

.                                                      (2)

Доказательство этой важной теоремы  приведем позже.

6. Вектор электрического  смещения (вектор  ). Теорема Гаусса для вектора

Для расчета поля в диэлектрике  введем вспомогательный вектор . По определению

.                                                                (3)

Учитывая, что в изотропном диэлектрике , получим

,                                                                 (3а)

где - диэлектрическая проницаемость.

Для вектора справедлива теорема Гаусса

,                                                                (4)

где S – произвольная замкнутая поверхность, - сторонний заряд, охватываемый этой поверхностью.

Доказательство: Поток вектора через произвольную замкнутую поверхность равен

.

То обстоятельство, что в это уравнение (4) не входят связанные заряды, плотность которых обычно не известна, позволяет использовать это уравнение для определения вектора . Вектор напряженности поля затем рассчитывается с использованием формулы (3а). Конкретное исполнение этого алгоритма обычно довольно сложное и требует компьютерных расчетов. Но некоторые задачи решаются просто.

7. Дифференциальные  соотношения

Теоремы Гаусса для векторов и могут быть представлены в дифференциальном виде:

,                                                            (5)

.                                                           (6)

Вывод этих соотношений вполне аналогичен выводу теоремы Гаусса для вектора :

.                                                        (7)

Доказательство. При выводе теоремы Гаусса в дифференциальной  форме чисто математическими методами для произвольных вектора и скаляра было доказано:

Если  ,                то .

Отсюда следует математическая теорема Гаусса-Остроградского:

,

которая связывает поток произвольного вектора через замкнутую поверхность S  с интегралом от дивергенции этого вектора по объему, ограниченному этой поверхностью.

Пользуясь этой теоремой, получим:

                 .

                   .

1.14. Условия на границе раздела двух диэлектриков

Найдем условия, которым должны удовлетворять  векторы  и на границе раздела двух диэлектриков. Величины, характеризующие поле в первой среде, будем отмечать индексом 1, во второй среде - индексом 2.

Возьмем цилиндр, основания которого расположены по разные стороны от границы раздела. Высота цилиндра бесконечно мала по сравнению с линейными размерами его основания (рис.). Если вблизи границы раздела отсутствуют сторонние заряды, то поток вектора через выбранную поверхность равен нулю. Но этот поток можно представить в виде суммы потоков через основания цилиндра и его боковую поверхность. Поток через боковую поверхность бесконечно мал (т.к. высота цилиндра бесконечно мала). Сумма потоков через основания цилиндра равна

,

где и проекции векторов на направление нормали к границе раздела. Таким образом, если на границе раздела двух диэлектриков нет сторонних зарядов (связанные заряды  могут быть), то

.                                                                  (8)

Следовательно, нормальная компонента вектора  на границе раздела меняется непрерывно. Из выражения (8) следует

,

то есть нормальная компонента вектора напряженности претерпевает скачок на границе раздела двух диэлектриков в раз.

Рассмотрим теперь изменение на границе раздела касательных составляющих векторов и .   Пусть вблизи границы раздела в диэлектрике 1 поле равно , а в диэлектрике 2  -  . Возьмем небольшой вытянутый прямоугольный контур (рис.). Стороны контура, параллельные границе раздела, достаточно малы, так, что в их пределах поле в каждом диэлектрике практически не изменяется. "Высота" контура считается очень малой. Тогда согласно теореме о циркуляции вектора

.

Следовательно,

,                                                                  (9)

то есть тангенциальная составляющая вектора  оказывается одинаковой по обе стороны границы раздела (не претерпевает скачка). Из (9) следует

 

.

Пример 1. Преломление силовых линий на границе раздела двух диэлектриком с . Построим векторы напряженности в первом и втором диэлектриках вблизи границы раздела, учитывая, что и . Силовые линии (линии поля ) вблизи границы раздела параллельны вектору в первом диэлектрике и параллельны вектору     во втором диэлектрике.

 

Пример 2. Пластина из диэлектрика с диэлектрической проницаемостью e помещена в однородное электрическое поле так, что ее нормаль составляет угол a с напряженностью этого поля (рис.). Найдите модуль E вектора напряженности поля внутри пластины вдали от ее краев.

1.15. Поверхностная и объемная  плотность связанного заряда

Можно доказать, что система уравнений 

,                                                        (теорема Гаусса)

,           (условие потенциальности электростат. поля)

                                         («материальное» уравнение)

и граничные условия для векторов и при заданных сторонних зарядах и потенциалах проводников позволяет, по крайней мере, численно рассчитать эти поля.

После расчета полей  и связанный заряд на поверхности и в объеме диэлектриков можно рассчитать при помощи уравнений:

,               ,               .

В частности, при , получим

.

Для определения поверхностной плотности  связанного заряда воспользуемся теоремой Гаусса для вектора , выбирая замкнутую цилиндрическую поверхность, примыкающую к границе раздела (см. рис.). Тогда:

,

и

Пример 3. Поле однородно заряженного диэлектрического шара. Известен радиус шара R, диэлектрическая проницаемость e и объемная плотность стороннего заряда r. Необходимо найти поле , поверхностную и объемную плотности связанного заряда и .

 

1.16. Доказательство теоремы Гаусса для вектора

1) Рассмотрим нейтральную неполяризованную молекулу. При включении электрического поля молекула поляризуется. Это можно представить, как смещение некоторого связанного положительного заряда в направлении поля на расстояние и смещение такого же отрицательного заряда на в противоположном направлении. В результате образуется диполь с моментом . 

Дипольный момент некоторого объема диэлектрика равен

,

где - число молекул в этом объеме. Модуль вектора поляризации равен

,

где n – концентрация молекул.

2) Рассмотрим малую площадку dS внутри диэлектрика.  При включении внешнего электрического поля диэлектрик поляризуется – положительные заряды смещаются относительно отрицательных. Найдем заряд, который проходит, через элемент dS в направлении нормали к площадке.

Пусть при включении внешнего поля положительные заряды смещаются вдоль поля (вдоль вектора поляризации) на расстояние l₊, а отрицательные заряды смещаются в противоположном направлении на l_-.

Через элемент поверхности dS в результате поляризации пройдет положительный заряд

,

заключенный внутри косого цилиндра. Кроме того, через элемент dS в противоположном направлении пройдет отрицательный заряд величиной

.

Здесь - объемная плотность связанного заряда. В результате при поляризации диэлектрика в направлении вектора через площадку dS прошел заряд

.

Но  . Поэтому при поляризации в направлении нормали через нее пройдет связанный заряд

.

3) Рассмотрим теперь произвольную замкнутую поверхность S, которая охватывает часть диэлектрика. Пусть внешняя нормаль к поверхности. Когда внешнее поле отсутствует, и диэлектрик не поляризован, суммарный связанный заряд внутри поверхности S равен нулю. При включении поля и поляризации диэлектрика через поверхность S из заключенного в ней объема выйдет связанный заряд величиной

.

При этом, очевидно, связанный заряд  внутри поверхности S станет равным . Следовательно, . Теорема доказана.