Дифракция света. Принцип Гюйгенса Френеля

Глава 1. Волновая оптика

Программа "Дифракция  света" иллюстрирует широкий круг дифракционных явлений. На основе принципа Гюйгенса–Френеля рассматриваются  дифракция света на экранах с  осевой симметрией (круглое отверстие) и на одномерных препятствиях (щель, край экрана). Иллюстрируется метод  векторных диаграмм (векторная диаграмма  для кольцевых зон Френеля  и спираль Корню). Программа позволяет  воспроизводить с помощью компьютера дифракционные эксперименты при  различных значениях волнового  параметра  и наблюдать переход от френелевской дифракции к дифракции Фраунгофера. Для случаев дифракции света на круглом отверстии и на щели вычисляется и выводится на экран дисплея продольный разрез дифракционного поля, иллюстрирующий формирование структуры дифракционной картины в ближней и дальней волновых зонах. В основу расчетов положен метод Кирхгофа.

1.2. Дифракция света

1.2.1. Принцип  Гюйгенса-Френеля

Здесь приводятся лишь краткие  сведения из теории дифракции волн.

Дифракцией света принято  называть отклонение от прямолинейного распространения света вблизи препятствий, например, при прохождении света  через отверстие. Строгое решение  дифракционных задач может быть, в принципе, найдено, исходя из волнового  уравнения и граничных условий. Однако, в такой строгой постановке решение, ввиду сложности, удается  получить только в нескольких простейших случаях. В оптике, как правило, используются приближенные методы, опирающиеся на принцип Гюйгенса-Френеля. Получаемые при этом решения вполне пригодны для практических приложений.

Принцип Гюйгенса-Френеля  следует рассматривать как рецепт приближенного решения дифракционных  задач. В основе его лежит допущение  о том, что каждый элемент поверхности  волнового фронта можно рассматривать  как источник вторичных волн, распространяющихся во всех направлениях (рис. 2.1.). Эти волны когерентны, так как они возбуждены одной и той же первичной волной. Результирующее поле в точке наблюдения P может быть найдено как результат интерференции вторичных волн. В качестве поверхности вторичных источников может быть выбрана не только поверхность волнового фронта, но и любая другая замкнутая поверхность. При этом фазы и амплитуды вторичных волн определяются значениями фазы и амплитуды первичной волны.

Рисунок 2.1. Принцип Гюйгенса–Френеля.

В соответствии с принципом  Гюйгенса–Френеля комплексная амплитуда  поля в точке наблюдения P, обусловленная  действием вторичных источников, заселяющих малый элемент поверхности  ds, может быть записана в виде

(2.1)

Здесь – комплексная амплитуда поля первичной волны от источника на элементе ds, – длина волны (источник предполагается монохроматическим), – так называемый коэффициент наклона, зависящий от угла между нормалью к элементу поверхности ds и радиусом-вектором . В теории Френеля не было дано конкретного вида зависимости ; многие задачи теории дифракции света могут быть решены при весьма общих предположениях относительно этой зависимости. Важно только принять во внимание, что – медленно убывающая функция угла , принимающая значение K = 1 при . Вид функции был получен в теории Кирхгофа (1883 г.), развитой на основе анализа решений волнового уравнения. Таким образом, излучение вторичных источников не изотропно, хотя волновые фронты (то есть поверхности постоянной фазы) являются сферическими.

При более точной количественной формулировке принципа Гюйгенса–Френеля следовало бы учесть в (2.1) фазовый  сдвиг на между излучением вторичных источников и первичной волной. Во многих задачах точное значение фазы колебаний не представляет интереса, поэтому не имеет смысла усложнять соотношение (2.1). Полное поле в точке P может быть найдено путем интегрирования (2.1) по всем вторичным источникам.

При решении дифракционных  задач, когда речь идет о распространении  световых волн вблизи препятствий, принцип  Гюйгенса-Френеля следует дополнить  постулатом Френеля о граничных условиях.

Рисунок 2.2. Граничные условия.

Пусть на экран с отверстием падает плоская волна (рис. 2.2). Постулат Френеля сводится к требованию заселения вторичными источниками только той части поверхности волнового фронта, которая не затенена экраном. Интегрирование выражения (2.1) следует выполнить по поверхности S, изображенной на рис. 2.2 пунктирной линией. При этом, там, где поверхность S затенена экраном, амплитуда вторичных волн равна нулю. На открытых частях экрана поле первичной волны предполагается невозмущенным. Постулат Френеля означает, что при интегрировании (2.1) комплексную амплитуду первичной волны следует заменить на , определяемую следующим образом:

Здесь – координаты в плоскости экрана. Обозначая через g комплексную амплитуду поля в точке наблюдения, можно записать

(2.2)

Постулат Френеля, как  и принцип Гюйгенса–Френеля, носит  приближенный характер. Его применение сильно упрощает дифракционную задачу и приводит к достаточно хорошим  для практики результатам при  условии, что размеры препятствий, на которых дифрагирует свет, а также расстояние между препятствием и точкой наблюдения велики по сравнению с длиной волны.

На основе принципа Гюйгенса-Френеля  удается получить простое наглядное  решение некоторых дифракционных  задач (задачи с осевой симметрией, дифракция на одномерных препятствиях). В общем случае дифракционная  задача сводится к вычислению интеграла (2.2).