Дифференциальные уравнения в физике. Общие понятия

Дифференциальные уравнения в  физике. Общие понятия

          Многие  задачи физики приводят к необходимости  решения дифференциальных уравнений.  Это обусловлено тем, что практически  все физические законы, описывающие  физические процессы являются  дифференциальными уравнениями,  относительно некоторых функций,  характеризующих эти процессы. Данные  физические законы представляют  собой теоретическое обобщение  многочисленных экспериментов и  описывают эволюцию искомых величин  в общем случае, как в пространстве, так и во времени. В частности,  второй закон Ньютона, является  не чем иным, как дифференциальным  уравнением второго порядка:

            (1)

и основной задачей динамики является определение закона движения материальной точки  по заданным силам , действующим на эту точку, что в математическом отношении означает решение уравнения (1) и определение координат материальной точки как функций времени: .

          С учётом  сказанного, учитывая важность дифференциальных  уравнений для изучения как  общей, так и теоретической  физики, рассмотрим основные понятия  и приёмы интегрирования некоторых  видов дифференциальных уравнений,  наиболее часто встречающихся  в физических приложениях, сопровождая  изложение материала конкретными  примерами.

Общие понятия.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, которое кроме независимых  переменных и неизвестных функций  этих переменных, содержит ещё и  производные неизвестных функций.

Если функции, входящие в дифференциальное уравнение зависят от одной независимой  переменной, то уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Если же в уравнение входят частные  производные неизвестных функций  по нескольким независимым переменным, то уравнение называют дифференциальным уравнением с частными производными.

Наивысший порядок производных  неизвестной функции, входящих в  дифференциальное уравнение называется порядком дифференциального уравнения.

Мы будем рассматривать лишь обыкновенные дифференциальные уравнения. При этом, поскольку при описании динамики физических процессов, все  величины, характеризующие эти процессы, зависят от времени, то при изложении  материала, независимое переменное обозначим через t.