Айнымалы қозғалыс

Қарағанды мемлекеттік медицина университеті

 

 

 

 

 

 

 

Тақырыбы:Айналымдағы қозғалыс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Орындаған:2-001 Биология тобының

 Студенті Қойшыманов  Т Т

Тексерген: Нүкейов Н

 

 

 

 

Қарағанды 2014

 

Қатты дене механикасы

 

Жалпы өмірде кездесетін жағдайда дененің деформациясын елемеуге болатын немесе дененің екі нүктесінің (яғни екі бөлшегінің) ара қашықтығы өзгермей сақталатын денелерді абсолют қатты денелер деп айтамыз.

Айналмалы қозғалыс кезінде қатты денелердің барлық нүктелері шеңбер бойымен қозғалады, олардың центрлері айналу осі деп аталатын бір түзудің бойында жатады. Айналмалы қозғалысты сипаттау үшін кеңістіктегі айналу осінің қалпын және әрбір уақыт мезетіндегі дененің бұрыштық жылдамдығын білу керек. Қатты дененің айналысын қарастырған кезде инерция моменті деген ұғым енгіземіз.

Қатты дененің немесе материалдық нүктенің айналу осіне қатысты инерция моменті деп дененің немесе материалдық нүктенің массасы мен қарастырылып отырған оське дейінгі арақашықтығының квадратының көбейтіндісіне тең  физикалық шаманы айтады:

Қатты дененің өзі жеке-жеке материалық нүктелер жиынтығынан тұрады. Сондықтан қатты денені материалық нүктелер жиынтығы ретінде де қарастыруға болады.

Жүйенің (дененің) айналу осіне қатысты инерция моменті деп осы жүйені құрайтын  материалдық нүктелердің массаларының қарастырылып отырған оське дейінгі арақашықтықтың квадратының көбейтіндісінің қосындысына тең шаманы айтады:                 

Массасы бірқалыпты таралған дене үшін бұл сумма барлық көлемі бойынша интегралданады:   мұндағы  

Мысал: Біртекті тұтас цилиндрдің инерция моментін табайық. Цилиндр биіктігін , ал оның радиусын  деп алайық. Цилиндрді кішкене бөліктерге бөлеміз,     қалыңдығы тең. Оның ішкі радиусы r, ал сыртқы радиусы тең.

 

Әрбір кішкене цилиндірдің инерция моменті   ,  мұндағы цилиндрдың барлық нүктесінің осьтен арақашықтығы әрі ескереміз, ал -барлық элементар цилиндрдің массасы.

Қарастырылып отырған элементар цилиндрдің көлемі: ,

егер - материалдың тығыздығы болса,

онда     яғни оның массасы, ал    элементар инерция моменті болады.

Сонда тұтас цилиндрдің инерция моменті:

бұдан -цилиндрдің көлемі, ал оның массасы болады.     Сонда цилиндрдің инерция моменті:

Бұдан басқа кейбір денелердің иерция моменттері:

1. Радиусы болатын шардың центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті

 

               

2. Ұзындығы стерженге перпендикуляр әрі оның ортасы арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті

3. Ұзындығы стерженге перпендикуляр және оның бір ұшы арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті

Егер айналатын қатты дененің ауырлық центрі арқылы өтетін оське айланысты инерция моменті белгілі болса, онда оның кез-келген осы оське параллель осьтен айналғандағы инерция моменті Штейнер теоремасы арқылы анықталады:

• кез-келген оське қатысты инерция моменті – берілген оське параллель және дене инерциясының центрі арқылы өтетін оське қатысты инерция моменті мен дененің массасының осьтер арасындағы арақашықтығының квадратына көбейтіндісінің қосындысына тең:

Айналыстың кинетикалық энегиясы. Абсолют қатты дененің қозғалмайтын осьтен айналысын қарастырайық. Осы денені ойша кішкене  көлемшелерге бөлейік, оның массалары айналмайтын осьтен   қашықта болсын. Қатты денелердің оське қатысты айналысында массалары әр түрлі радиусты шеңберлер сыза қозғалып, сызықтық жылдамдыққа ие болады.

Бірақ біздің қарастырып отырғанымыз абсолют қатты дене болғандықтан, оның қозғалысының бұрыштық жылдамдығы бірдей болады: 

Дененің айналмалы қозғалысының  кинетикалық              энергиясы оның жеке бөліктерінің кинетикалық энергиясынан құралады:

немесе

бұған енді     i=riω      өрнегін пайдалансақ:

Сонымен, қозғалмайтын остьтен айналатын дененің кинетикалық энергиясы деп, осы оське қатысты инерция моменті мен бұрыштық жылдамдықтың квадратының көбейтіндісінің жартысына тең шаманы айтады:

Бұл өрнек ілгерімелі қозғалатын дененің кинетикалық энергиясына ұқсас келеді. Айналмалы қозғалыс кезінде массасының рөлін инерция моменті, ал сызықтық жылдамдық рөлін бұрыштық жылдамдық атқарады. Көлбеу жазықтықтан домалап келе жатқан дененің, мысалы цилиндрдің, кинетикалық энергиясы ілгерімелі қозғалыс энергиясы мен айналмалы қозғалыс энергиясының қосындысынан тұрады:

Күш моменті. Қозғалмайтын 0 нүктесіне байланысты күш моменті деп, 0 нүктесінен нүктесіне жүргізілген радиус-вектор векторы мен оған түскен күшінің көбейтіндісіне тең физикалық шаманы айтады:

Мұндағы псевдовектор, оның бағыты - ден -ке қарай бұрағандағы оң бұранданың ілгерімелі қозғалыс бағытымен бағыттас. Күш моментінің модулі:

мұндағы бұрышы мен арасындағы бұрыш, – бұл 0 нүктесі мен әсер етуші күш сызығының арасындағы ең қысқа арақашықтық  күш иіні деп аталады. Сонда   күш моменті айналдырушы күш пен айналу осіне дейінгі ең қысқа арақашықтық, иіннің көбейтіндісіне тең.

Енді осы денені айналдырған кездегі жұмыстың өрнегін анықтайық. Айналмайтын 0 осьтен қашықтығы нүктесіне күші әсер етсін. Күштің бағыты мен    векторының арасындағы бұрыш -ға тең.

Денеміз абсолют қатты дене болғандықтан, осы айналдырушы күш жұмысы осы дененің түгел бұрылуына жұмсалған жұмысына тең. Дене өте азғантай dφ бұрышқа бұрылған кезде, В нүктесі dS жол жүреді:   dS=rdφ. Бұрылған кездегі істелген жұмыс бұрылу бағытына түсірілген күш проекциясы мен бұрылу шамасының көбейтіндісіне тең: , мұндағы ,     сонда . Бізге бұрыннан   r sinα = l иінді береді,   ал     күш моментін береді. Сондықтан

яғни денені айналдырғандағы істелінген жұмыс әсер етуші күш моменті мен бұрылу бұрышының көбейтіндісіне тең.

Денені айналдырғанда істелінген жұмыс оның кинетикалық энергиясының өсуіне жұмсалады:

бірақ   ,   сондықтан     немесе           ескере отырып, мына өрнекті аламыз:

Денеге әсер етуші күш моменті дененің инерция моменті мен бұрыштық үдеуінің көбейтіндісіне тең: – қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің айналмалы қозғалысының динамикалық теңдеуін береді.

Импульс моменті және оның сақталуы. Айналмалы қозғалыс пен ілгерімелі қозғалысты салыстырайық, яғни дененің импульсінің аналогы қандай шама болатынын қарастырайық.

0 қозғалмайтын оське қатысты А материалдық нүктенің импульс моменті және векторлардың көбейтіндісімен анықталатын физикалық шама болып табылады:

мұндағы - 0 нүктесінен нүктесіне жүргізілген радиус – вектор, - материалдық нүктенің импульсі немесе қозғалыс мөлшері.

- псевдовектор, оның бағытын оң бұрғанда ережесімен -дан -ға айналдыра бұрғанда ілгерімелі қозғалысының бағытымен бағыттас болады. Импульс моментінің модулі:

мұндағы rsinα=l – 0 нүктесіне қатысты векторының иіні, ал   α - мен векторларының арасындағы бұрыш.

Импульс моменті иін мен материалдық нүктенің импульсінің көбейтіндісіне тең.

Енді кез-келген і нүктесінің немесе mi дене бөлшегінің массасының қозғалмайтын оське қатысты импульс моментін анықтаймыз. Абсолют қатты денені қозғалмайтын оське қатысты айналдыра қоссақ, онда осы дененің әрбір жеке нүктесі осы оське қатысты тұрақты ri радиуспен және i сызықтық жылдамдықпен шеңбер сыза қозғалады. жылдамдығы мен mі импульсі осы радиусқа перпендикуляр бағытталған, яғни радиус осы векторының иіні болып табылады.  Сондықтан әрбір жеке бөлшектің импульс моментін былай жазамыз:

Ал қозғалмайтын оське қатысты абсолют қатты дененің импульс моменті әрбір жеке бөлшектерінің импульс моменттерінің суммасына тең:

Бізге бұрыннан белгілі   пайдалана отырып, былай жазамыз:

Сонымен  қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің импульс моменті осы оське қатысты дененің инерция моменті мен бұрыштық жылдамдықтың көбейтіндісіне тең.

Соңғы өрнекті уақыт бойынша дифференциалдасақ:

яғни            

Бұл өрнек  қатты дененің айналмалы қозғалыс динамикасының тағы бір түрін береді. Қозғалмайтын оське қатысты қатты дененің импульс моментінің уақыт мезетіндегі өзгерісі осы оське қатысты күш моментіне тең болады.

Егер біз тұйық жүйе алсақ, онда сыртқы күш моменті      =0    бұдан

, олай болса                                            Соңғы өрнек импульс моментінің сақталу заңын береді: тұйық жүйенің импульс моменті сақталады, яғни уақыт өтуімен өзгермейді. Импульс моментінің сақталу заңы табиғаттың фундаменталды заңы.

Импульс моментінің сақталуын үйкеліссіз вертикаль осьтен айналатын Жуковский орындығына адамды тұрғызып көрсетуге болады.

көбейсе, ω азаяды немесе азайса, ω көбейеді.