Начисление процентов

Лекция 1

Начисление процентов

1. Время как фактор в финансовых расчетах
2. Проценты, виды процентных ставок
3. Наращивание и дисконтирование
4. Аннуитенты и планирование платежей по ссудам

 

1.

Финансовыми вычислениями называются расчеты, позволяющие проанализировать и  спрогнозировать денежные потоки и процентные ставки.

Денежные финансовые потоки – любое перемещение средств в наличной и безналичной форме.

Одной из важнейших средств денежных потоков – распределение их по времени.

Любая финансовая операция предполагает совокупность условий, согласованных участниками (сумма кредита, займа, инвестиций способы начисления процентов).

 

Задачи:

1. Измерение конечных финансовых результатов операций для каждой из участвующих в ней сторон.
2. Сравнение эффективности различных операций
3. Выявление зависимости конечных результатов от основных параметров операций, сделки, контрактов
4. Расчет параметров эквивалентного измерения условий контракта

 

Необходимость учета фактора времени определяется сущностью процесса финансирования и кредитования, и выражается в виде принципа неравноценности денег относящимся к разным моментам времени.

Факторы времени имеют значение в бухгалтерском учете и финансовом контроле.

 

2.

Сущность процента - в изменении стоимости денежных средств во времени.

Процентная ставка – отношение процентных денег, полученных за единицу времени к величине капитала.

Виды процентных  ставок:

Обычная ставка (декурсивная) – момент начисления и выплат процентов приходится на конец пользования денежных средств.

Учетная ставка (антисипативная, дисконтная) – момент начисления выплаты процентов приходится на начало пользования денежных средств.

 

 

Эквивалентность ставок определяется по формулам:

  , где d – годовая учетная ставка; i – годовая обычная ставка; t – срок банковской операции в днях; Y – число дней в году.

 

При сопоставлении доходности нескольких банков необходимо проводить расчет эквивалентных ставок.

Практика уплаты процентов основывается на теории наращения денежных средств по арифметической (соответствует простым процентам) или геометрическим (соответствует сложным) процентам.

В зависимости от базы начисления проценты подразделяются:

-простые - база начисления  остается неизменной весь срок  операций 

-сложные – база начислений  которых изменяется в течении  срока операций за счет капитализации (присоединение банковских процентов)

 

3.

Наращение – процесс увеличения стоимости денег во времени за счет увеличения стоимости процентов.

Наращенная сумма  или будущая стоимость (FV) зависит от размера процентной ставки (i) текущей стоимости операции (PV), числа процентных периодов (n), а также от вида процентной ставки.

Если ставка процентов – простая, то наращенная сумма находится по формуле: FV=PV*(1+n*i).

Формула для расчета будущей стоимости денег при использовании сложных процентов: FV=PV*(1+i)n

При начислении процентов более одного раза в год применяются формулы сложных процентов:

FV=PV*(1+i/m)n*m

Формула для расчета доходности банковской операции: FV=PV*(1+i*(t/Y))

Наряду с наращением денежных с в банковской практике широко применяется процесс дисконтирования (учет).

Дисконтирование – используется для оценки текущей стоимости будущих поступлений.

Дисконтирование применяется при определении размера денежных средств, которые необходимо инвестировать чтобы получить требуемую сумму в будущем, а так же при учете векселей, из купонных облигаций и прочих ценных бумаг .

 При использовании  простых процентов дисконтирования  осуществляется по формулам: PV=FV/(1+n*i);  PV=FV/(1+i*t/Y).

Формулы для учета дисконтных ценных бумаг: PV=FV*(FV*n*d)=FV*(n*d) ; PV=FV(FV*d*t/Y)=FV*(1-d*t/Y).

Если при дисконтировании применяются сложные проценты, то : PV=FV/(1+i)n

Если дисконтирование осуществляется несколько раз в год, то предыдущее уравнение примет вид: PV=FV/(1-i/m)n*m .

 

4.

Аннуитет – это ряд последовательных платежей производимых через равные промежутки времени.

Текущая стоимость аннуитета (с постоянными платежами и постоянной процентной ставкой) рассчитывается по формулам:

PVpost = PMT* (1-(1+i)-n) /i  (postnumerando)

PVpre = PMT*( (1-(1+i)-n) /i) * (1+i)  (prenumerando)

При планировании платежей по ссудам также используется дисконтирование регулярного финансового потока. В этом случае применяют выражение в форме: PMT=PVpost : 1-(1+i)-n/i, (post)

PMT=PVpre: (1-(1+i)-n/i)*(1+i) , (pre)

Формула для расчета размера платежей при несовпадении момента начисления и уплаты процентов:

Где: i- ставка процентов за кредит; m – число начислений процентов по кредиту в течении года; n – число лет; PMT –

Для расчета аннуитента postnumerando (с постоянными платежами и постоянной процентной ставкой) используют формулу:

FVpost =                     FV = *(1+i)

Универсальной формулой для расчета наращенной стоимости аннуитета postnumerando является:

FV= PMT*

 

Лекция 2

Расчеты простых процентов в условиях инфляции.

 

Инфляцию характеризуют 2 показателя:

- уровень инфляции

- индекс инфляции (во сколько  раз вырастет цена)

Уровень инфляции и индекс инфляции за один и тот же период связаны соотношением:

I(τ)=1+τ   или   t=I(τ)-1   , где I(τ) – индекс инфляции;  τ – уровень инфляции.

Покупная совокупность наращенной суммы с учетом инфляции S(τ) должна быть равна покупной способности суммы S при отсутствии инфляции.

Поэтому S(τ)=S+▲S , где ▲S – сумма, которая должна быть добавлена к сумме S для сохранения её покупной способности.

Ссуда в условиях инфляции выделяется в начале года с последующим погашением в конце:

S=p(1+τ)     , где S – наращенная сумма за год; τ – реальная доходность ссудной операции; p – сумма первоначального долга.

Предполагаем, что задан годовой уровень инфляции (τгод) , тогда ▲Sгод = S* τгод, отсюда:

S(τ)=S+S* τгод = S(1+ τгод) = S*I(τ).

В условиях инфляции, погашаемая сумма S(τ) за год должна составить:

S(τ)=S(1+ τгод )=p(1+r)(1+ τгод)

Величину S(τ) можно представить в виде:

S(τ)=p[1+i(τ)]=p*Кн(τ) , где i(τ) – простая ставка % при выдаче ссуды, учитывается инфляция; Кн – множитель наращения в условиях инфляции.

В результате имеем: p(1+r)(1+ τгод) = P [1+r(τ)].

Коэффициент наращения по реальной доходности операции будет равен:

Кн(τ) = 1+i(τ) = (1+r)(1+ τгод)

Кн(τ) = Кн*I(τ)

Выражение для простой ставки %, учитывающей в рассмотренном случае ожидаемый уровень инфляции. Оно носит название: эффект Фишера.

I(τ) = r+ τгод + r* τгод

Приближенное значение ставки % по кредиту в условиях инфляции при заданных значениях реальной годовой ставки % и годового уровня инфляции:

I(τ) ~ r+ τгод

Погашаемая сумма с учетом инфляции при n<1:

S(τ) = P[1+n*i(τ)] = P[1+ d/K * i(τ)]

Способ расчета % по краткосрочным ссудам (при n<1) в условиях инфляции: I(τ)=(1+τt)N   (1), где

τt – уровень инфляции за период t

N – количество периодов в течении рассмотренного срока.

Исходя из (1) получим: S(τ) = Sr*I(τ) , т.е. p[1+δ/K * i(τ)] = p(1+δ/K*r)(1+τt)N

Отсюда: i(τ)=[(1+δ/K*r)(1+τt)N-1]*K/δ

 

Задача

Годовой уровень инфляции; ставка при выдаче ссуды и установление инфляции 20%, ссуда в размере 10 млн руб, выдаваемая на 3 месяца, при доходности 8 % годовых.

r=8%

p=10 млн

t= 3 мес

i (τ)= 20%

1) - индекс инфляции к новому году

2) Ставка % при выдаче ссуды  в условиях инфляции: i(τ)=3,05

3) Погашенная сумма: S(τ) = 10 млн *(1+3/12*3,05)=17 625 000 руб

4) Покупная стоимость  этой суммы:

Рассмотрим случай, кода при заданном годовом уровне инфляции ссуда выдается на срок более года (n>1), если n – целое число, то

, где 

Отсюда:

Предположим, что при выдаче ссуды задается отдельный индекс инфляции за весь срок ссуды. Тогда:

i(τ))=P(1+n*r)*I(τ)

Отсюда множитель наращения равен:

Из выражения получим формулу для расчета простой ставки % при выдаче ссуды, если задан индекс инфляции за весь срок ссуды:

Реальное значение суммы начисления % за некоторый срок, приведенное к моменту предоставления денег в долг: S*=S/I(τ)

Формула для расчета простых ставок процентов в одном периоде их начисления: