Учёт фактора времени в финансовом менеджменте

 

Эквивалентность процентных ставок различного типа

Эквивалентные процентные ставки – это такие процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые результаты.

Приравнивая попарно формулы для определения наращенной суммы, можно получить соотношения, выражающие зависимость между любыми двумя различными процентными ставками.

Приравнивая соотношения и , получим: 

– простая годовая ставка ссудного процента

– простая годовая учётная ставка 

Пример 11. Срок уплаты по долговому обязательству – полгода, учетная ставка равна 18%. Какова доходность данной операции, измеренная в виде простой ставки ссудного процента?

Решение

Используем формулу простой годовой ставки ссудного процента

Проверка:  1. При простой процентной ставке  

         2. При простой учётной ставке 

 

Пример 12.   Определить, под какую ставку процентов выгоднее поместить капитал на два года: 

а) под простую ставку процентов 20% годовых;

б) под сложную ставку в 16% при ежеквартальном начислении? 
 Решение

I способ. Найдём простую процентную ставку, эквивалентную данной сложной ставке, воспользовавшись формулой :

. , т.е. 18,43%.

Так как простая процентная ставка (20%), которая дала бы одинаковый с данной сложной процентной ставкой результат, превышает предложенную (18,43%), ясно, что выгоднее использовать простую процентную ставку.

II способ.Посчитаем коэффициенты наращения, получаемые в обоих случаях:    а) под простую ставку процентов 

        б) под  сложную ставку при ежеквартальном  начислении 

Разницаврезультатахподтверждает сделанныйранеевывод.

 

Аннуитеты

В большинстве современных коммерческих операций подразумеваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Такая последовательность называется потоком платежей.

Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами постоянны, называютаннуитетом, или финансовой рентой.

Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале соответствующих интервалов, носит название аннуитета пренумерандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) – пожалуй, самый распространенный случай. Такой аннуитет предполагает получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и т.д.).

Введем следующие обозначения:

Р–величина каждого отдельного платежа;

iс    – сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;

Sk– наращенная сумма для k-го платежа аннуитета постнумерандо;

S–наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма всех платежей с процентами);

Ak– современная величина к-гоплатежа аннуитета постнумерандо;

А –современная величина всего аннуитета постнумерандо.

п– число платежей.

 

Аннуитет постнумерандо

Аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Рв течение nлет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке  ic .

Основные количественные характеристики аннуитета постнумерандо:

1. Общая наращенная сумма  определяется по формуле:

 

 

где  ki,n – коэффициент наращения в удобном для вычислений виде равен:

Для определения коэффициентов наращения и приведения обыкновенного аннуитета существуют таблицы, которыми удобно пользоваться в практических вычислениях. Нужно иметь в виду, что n в данном случае – не число лет, а число периодов одинаковой продолжительности (день, месяц, квартал и т. д.), в которых принята данная процентная ставка. Таким образом, если задана годовая процентная ставка, можно найти эквивалентную ей ставку на более коротком интервале и рассматривать далее пкак число таких интервалов.

 

Таблица 3. Коэффициенты наращения аннуитета

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 4. Коэффициенты приведения аннуитета

          _____________________________________________________________

 

 

2. Современная величина  всего аннуитета определяется  по формуле 

3. Современные значения каждого платежа (Ак) определяются по формуле:                                        

Пример 13. Для погашения пакета облигаций, выпущенных ОАО «Интерком» на 5 лет, создаётся выкупной фонд. Ежегодные платежи предприятия в него составляют 150 000 руб., на них в конце каждого года начисляются проценты по ставке 7 %. Определите итоговую наращенную сумму денежных средств, современную величину всего аннуитета и современное значение каждого платежа.

Решение. Для расчёта будущей стоимости выкупного фонда используем формулу                                       

         Коэффициент наращения определим  по формуле    

Аналогичный результат получим по таблице.   Итоговая наращенная сумма будет равна      S = P ∙ 150 000 ∙ 5,7507 = 862605 руб.

Современную величину всего аннуитета определим по формуле

Размер очередного платежа может быть определён по формулам:

 

Современные значения каждого платежа (Ак) определим по формуле:

В аннуитете постнумерандо платежи и начисление процентов производится в конце года. Поэтому современная величина платежа за первый год будет равна:

Аналогичным образом произведём дисконтирование платежей за остальные годы.

Современная величина всего аннуитета должна быть равна сумме современных значений всех платежей и начисленных процентов, т.е.

А = А1+ А2+ А3+ А4+ А5.

В нашем примере

А = 140190+131010+122445+114435+106950=615030 615000 руб., что соответствует значению, определённому ранее по формуле.

Ответ: Полный набор показателей аннуитета составил:

- наращенная сумма денежных средств - 862605 руб.;

-  современную  величину всего аннуитета – 615000 руб.;

- современное  значение каждого платежа: А1 - 140190 руб.; А2 -131010 руб.; 

  А3 -122445 руб.;  А4 – 114435 руб.;  А5 - 106950 руб.

 

Аннуитет пренумерандо

 

Аннуитет пренумерандос ежегодными платежами Рв течение nлет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке  ic .

Очевидно, отличие от предыдущего случая состоит здесь в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличивается на один год, т. е. каждая наращенная сумма Skувеличивается в (1 + ic) раз. Следовательно, для всей суммы Snимеем   Sn =S(1 + ic). 

Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо получаем следующее соотношение:

Для определения современных значений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке icпроводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета постнумерандо. Поэтому каждая современная величина Акбудет больше в (1+i) раз. Таким образом,  Ап= А(1 + ic). А для коэффициента приведения  ai,nп получаем

Пример 14. Найти наращенную сумму аннуитета и современную величину потока платежей, если в течение трёх лет доход, получаемый в начале года, будет составлять по 500 тыс.руб. Ставка дисконтирования – 6% годовых.

Решение.

В данном примерепоток платежей в течение трёх лет представляет собой постоянный аннуитет пренумерандо. Наращенная сумма такого аннуитета определится по формуле:

Коэффициент наращения может быть определён по таблице 3 наращенного значения аннуитета: k0,06; 3 = 3,1836∙(1+0,06)=3,3746.

Наращенная сумма аннуитета составит:

Sп =500∙3,3746=1687,3 тыс.руб.

Для проверки определим сумму наращенных сумм по годам.

Доход, полученный в первом году, через три года составит:

S1=500∙(1+0,06)3=500∙1,1910=595,5 тыс.руб.; доход, полученный во втором году, S2= 500∙(1+0,06)2 = 500∙1,1236 = 561,8 тыс.руб. и доход, полученный в третьем году, S3 = 500∙(1+0,06)1=500∙1,06 = 530 тыс.руб.

Общая наращенная сумма Sп=S1п+S2п+S3п=595,5+561,8+530=1687,3 тыс.руб.

По формуле (1+ можем рассчитать современную величину аннуитета. Коэффициент приведения аннуитета определим по таблице 4. Для n=3 иic =0,06  k0,06; 3 =2,6730. Тогда kn =2,6730∙1,06=2,8334.

Современная величина аннуитета  Ап=500∙2,8334=1416,7 тыс.руб.

Можем проверить вычисления определив сумму современных величин всех платежей и начисленных процентов. Формула  современных значений каждого платежа (Ак) примет вид: 

Современные величины всех платежей будут равны:

тыс.руб.;

тыс.руб.;

тыс.руб.

Сумма современных величин всех платежей будет равна:

Ап = тыс.руб.

Ответ: наращенная сумма аннуитета составит 1687,3 тыс.руб., а современная величина аннуитета составит 1416,7 тыс.руб.

 

Цель вложения денежного капитала вразличного вида ценные бумаги – получение дохода  и/или сохранение капитала от обесценения в условиях инфляции. Следовательно, необходимо уметь правильно оценивать реальный доход поразного вида ценным бумагам.