Потоки платежей

   Приведенная к началу ренты величина второго  платежа равна R ² и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: R , R ², R ³,..., , сумма которой

                                                                    (9.)

   где

                                                                                             (10.)

   — коэффициент приведения ренты. 

   Как видим, этот коэффициент зависит  только от двух параметров: срока ренты n и процентной ставки i. Поэтому его значения могут быть представлены в табличном виде. Такие таблицы можно найти в книгах или построить самим с помощью компьютера.

   Задача 6. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн руб. Ежегодное дисконтирование производится по сложной ставке 10% годовых. Определить современную стоимость ренты. 
 

   Решение. По формуле (9.) находим

    = 24,868 млн руб.

   Рента р-срочная, p 1, m 1. Рассуждения, аналогичные приведенным в предыдущем пункте, позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений р и m:

                                                    (11.) 

   от  которой нетрудно перейти к частным случаям при различных р и m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   V. Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты 

   Пусть А — современная величина годовой  ренты постнумерандо, a S — ее наращенная стоимость к концу срока n, р = 1, m= 1.

   Покажем, что наращение процентов на сумму А за n лет дает сумму, равную S:

                                     (12.) Отсюда же следует, что дисконтирование S дает А:

                                                   (13.)

   а коэффициенты дисконтирования и  наращения ренты связаны соотношениями

                                                   (14.)

                                                    (15.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   VI. Определение параметров финансовой ренты 

   Иногда  при разработке контрактов возникает  необходимость определить по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости А остальные параметры ренты: R, n, i, р, m. Такие параметры, как m и р, обычно задаются по согласию двух подписывающих сторон. Остаются параметры R, n, i. Два из них задаются, а третей рассчитывается. Такие расчеты могут быть неоднократно повторены при различных значениях задаваемых параметров пока не будет достигнуто согласие сторон.

   Определение размера ежегодной суммы платежа R. В зависимости от того, какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана — S или А, возможны два следующих варианта расчета:

   R=S/s_ni                                                 (16.)

   или

   R=A/a_ni.                                                 (17.) 

   Определение срока постоянной ренты. Рассмотрим решение этой задачи на примере обычной годовой ренты с постоянными заданными платежами. Разрешая исходные формулы для S и А относительно срока n, получаем соответствующие выражения:

      и   ;                                                (18.) 

      и   .     
 

   Последнее выражение для n, очевидно, имеет смысл только при R >Ai.

   Определение ставки процентов. Для того чтобы найти ставку i, будем рассматривать выражения для S или А из (18) как нелинейные уравнения относительно неизвестной i (опять предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте постнумерандо), которые эквиваленты двум другим:

     или                                           (19.) 

   В этих уравнениях единственным неизвестным является проектная ставка i.

   Решение нелинейных уравнений может быть найдено лишь приближенно. Известно несколько методов решения таких уравнений: линейной интерполяции, Ньютона—Рафсона и др. Мы рассмотрим только первый из них.

   Прежде  всего нужно найти с помощью  прикидочных расчетов нижнюю и верхнюю оценки ставки. Это осуществляется путем подстановки в одну из формул (18) различных числовых значений i и сравнения результата с правой частью выражения. Далее корректировка нижнего значения ставки производится по следующей интерполяционной формуле:

                                                   (20.) 

   в которой  и - значения коэффициента наращения (или коэффициента приведения) ренты для процентных ставок и соответственно. Полученное значение ставки проверяют, подставляя его в левую часть исходного уравнения и сравнивая результат с правой частью. Если достигнутая точность недостаточна, повторно применяют формулу (20), заменив в ней значение одной из приближенных оценок ставки на более точное, найденное на предыдущей итерации, и соответствующее ей значение коэффициента наращения (или приведения). 

   VII. Список литературы

1. Лукашин Ю.П «Финансовая математика» 2003г
2. Криничанский К.В. Финансовая математика. 2011г
3. В. И. Малыхин ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА