Контрольная работа по "Финансовой математике"

Финансовая математика

Задача 1

По муниципальной  облигации номиналом 30 тыс.руб., выпущенной на 2,8 года, предусматривается следующий порядок начисления процентов: первый год - 10 %, в каждом последующем квартале ставка повышается на 0,1 %.

Необходимо:

1) определить наращенную  стоимость облигации по простой  и сложной процентной и учетной  ставкам;

2) составить план наращения  первоначальной стоимости по  простым и сложным процентам;

3) построить графики наращения  стоимости по простым и сложным  процентам на базе процентной и учетной ставок и проанализировать варианты доходности.

Решение:

1) рассчитаем наращенную стоимость  облигации по простой процентной  ставке

FV = 30 000 * (1 + 0,1 + 0,101/4 + 0,102 / 4+ 0,103 / 4 + 0,104 / 4 + 0,105/4 + 0,106/4 + 0,107/4 + 0,108 *0,6/12) = 38 622 руб.

Рассчитаем наращенную стоимость  облигаций по простой учетной  ставке по формуле

FV = PV / (1 – nd)

FV = 39 102 руб.

Составим план наращения первоначальной стоимости по простым процентам.

Он представлен в таблице 1.

План наращения по простым учетным  процентам представлен в таблице 2.

Наращенная стоимость по сложной  процентной ставке определяется по формуле  сложных процентов

FV = PV * (1 + j/m)^nm

Предположим, что капитализация  происходит каждый раз при смене  ставки.

Тогда наращенная сумма по сложной  процентной ставке

FV = 39 708,5руб.

Наращенная стоимость по сложной  учетной ставке определяется по формуле

FV = PV / (1 – d/m)^mn

Так же предполагаем, что капитализация  процентов происходит каждый раз  при смене процентной ставки.

FV = 41195,86 руб.

График наращения стоимости  по всем рассмотренным вариантам  представлен на рисунке 1.

Рис.1

 

 

Таблица 1 – наращение по простой процентной ставке

срок	0	1	1,25	1,5	1,75	2	2,25	2,5	2,75	2,8
процентная ставка		0,1	0,101	0,102	0,103	0,104	0,105	0,106	0,107	0,108
Проценты		3000	757,5	765	772,5	780	787,5	795	802,5	162
Наращенная сумма	30000	33000	33757,5	34522,5	35295	36075	36862,5	37657,5	38460	38622

 

Таблица 2 – план наращения по простой учетной ставке

срок	0	1	1,25	1,5	1,75	2	2,25	2,5	2,75	2,8	Итого
учетная ставка		0,1	0,1263	0,153	0,18025	0,208	0,23625	0,265	0,29425	0,3024	1,00375
Наращенная сумма	30000	33333,3	30777,1	30785,0	30792,9	30800,8	30808,7	30816,6	30824,6	30162,9	39102,0
проценты		3333,3	777,1	785,0	792,9	800,8	808,7	816,6	824,6	162,9	9102,0

 

Таблица 3 – план наращения по сложной процентной ставке

срок	0	1	1,25	1,5	1,75	2	2,25	2,5	2,75	2,8	Итого
процентная ставка		0,1	0,101	0,102	0,103	0,104	0,105	0,106	0,107	0,108
Проценты		3000,0	833,3	862,7	893,4	925,3	958,5	993,0	1029,0	213,3	9708,5
Наращенная сумма	30000	33000,0	33833,3	34696,0	35589,4	36514,7	37473,3	38466,3	39495,3	39708,5

 

Таблица 4 – план наращения по сложной учетной ставке

срок	0	1	1,25	1,5	1,75	2	2,25	2,5	2,75	2,8	Итого
учетная ставка		0,1	0,101	0,102	0,103	0,104	0,105	0,106	0,107	0,108
наращенная сумма	30000	33333,33	34196,8	35091,64	36019,13	36980,63	37977,54	39011,34	40083,57	41195,86
проценты		3333,33	863,47	894,84	927,49	961,50	996,91	1033,80	1072,24	1112,29	11195,9

 

 

 

Как показывают расчеты вариант сложных процентов более доходен, при условии держания данной облигации более 1 года. При сроке 1 год – доходность одинаковая.

 

Задача 2

Найти размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, если при разработке условий контракта была установлена договоренность о доходности кредита в 21 % годовых.

Решение:

Размер номинальной ставки можно определить из формулы эквивалентности процентных ставок

1 + i_эф = (1 + j_ном)ⁿ, где

i – эффективная годовая ставка

j – номинальная ставка

1 + 0,21 = (1 + j / 12)¹²

j = ( - 1) * 12 = 0,19214 = 19,214%

Номинальная процентная ставка должна составлять 19,214%.

 

Задача 3

Вексель с обязательством 50 тыс.руб. учитывается банком за 2,5 месяца до погашения с дисконтом 8 тыс. руб. в пользу банка. Определить величину ставки процента по этой операции.

Решение:

Ставку дисконта можно  определить из соотношения

D = Н * d * n, отсюда

D – величина дисконта

d – ставка дисконта

n – срок до погашения

d = D / (Н * n) = 8 000 / (50 000 * 2,5 / 12) = 0,768 = 76,8%

Ставка процента составляет 76,8%

Задача 4

Пусть во вклад с капитализацией процентов помещены 1,2 млн. руб. определить сумму вклада через 2 года 230 дней, если проценты начисляют ежеквартально из расчета 17% годовых.

Решение:

Формула для наращения по сложным  процентам с капитализацией несколько раз в год

S = P * (1 + j / m)^nm, где

m – количество начислений в год

FV = 1 200 000 * (1 + 0,17 / 4)^2,64*4 = 1 862 019,14 руб.

 

Задача 5

Определить, на какой срок должен быть выпущен сертификат номиналом 85 тыс. руб. достигнет 92 тыс.руб. при условии, что начисляются сложные проценты по ставке 9% годовых раз в году и поквартально? Расчеты выполнить по процентной и учетной ставкам.

Решение:

- проценты начисляются по процентной  ставке, начисление один раз в  год

S = P * (1 + i)ⁿ

log (S / P) = n * log(1 + i)

n = log (S / P) / log (1 + i) = log (92 / 85) / log (1,09) = 0,9183 года

n = 0,9183 года = 11 месяцев 1 день

- проценты начисляются по процентной  ставке, начисление поквартальное

S = P * (1 + i / m)^nm

log (S / P) = nm * log(1 + i / m)

n = log (S / P) / (m * log(1 + i / m)) = log (92 / 85) / (4 * log (1 + 0,09 / 4)) = 0,889159 лет = 10 месяцев 20 дней

- проценты начисляются по учетной  ставке, начисление один раз в  год

P = S * (1 – d)ⁿ

log (P / S) = n * log(1 - d)

n = log (P / S) / log(1 - d) = log (85 / 92) / log (1 – 0,09) = 0,839113 лет = 10 месяцев 2 дня

- проценты начисляются по учетной  ставке, начисление поквартальное

P = S * (1 – d / m)^nm

log (P / S) = nm * log(1 – d/m)

n = log (P / S) / (m * log(1 - d)) = log (85 / 92) / (4*  log (1 – 0,09 / 4)) = 0,86937 лет = 10 месяцев 13 дней

 

Задача 6

Простая процентная ставка по векселю равна 7,5%. Определить значение эквивалентной ставки, если вексель выдан :

а) на 170 дней;

б) на 5 лет.

При сроке 170 дней рассмотреть варианты:

1. временная база ставок одинакова – 360 дней,
2. временная база процентной ставки -  365 дней, учетной – 360 дней.

Решение:

Срок 170 дней

- вариант 1 – временная база ставок одинакова и составляет 360 дней. В этом случае эквивалентная ставка составляет.

Iэкв = 170 / 360 * 7,5% = 3,542 %

- вариант  2 - временная база процентной ставки 365 дней, учетной – 360, то учетную ставку можно определить используя формулу

Исходя из этого d = 0,0715 = 7,15%

Эквивалентная ставка при сроке 170 дней = 3,375%

Рассчитаем  эквивалентную процентную ставку, если вексель выдан на 5 лет.

В этом случае эквивалентную ставку можно определить

i_экв = i_пр * 5 = 7,5% * 5 = 37,5% - эквивалентная ставка равна 37,5% годовых.

 

Задача 7

Вексель выдан  на сумму 35 тыс.руб. с уплатой 15.06. Векселедержатель учел вексель в банке 20.07 по ставке 8%. Требуется определить сумму, полученную векселедержателем и размер дисконта в пользу банка.

Решение:

Величину дисконта можно определить по формуле

D = Н * d * n, где

Н – номинал векселя

d – дисконтная ставка

n – срок до погашения векселя в годах

Рассчитаем срок до погашения векселя

14 (июнь) + 30* 10 + 11 (июль)– 1 = 324 дней

Величина дисконта

D = 35000 * 0,08 * 324 / 360 = 2520 руб.

Сумма полученная векселедержателем

Р = Н – D = 35 000 – 2520 = 32 480 руб.

 

Задача 8

На какой  срок должен быть выпущен сберегательный сертификат номиналом 55 000 руб., если сумма погашения при 11% годовых (простые и сложные проценты) составляет 75 000 руб.?

Решение:

Простые проценты

S = Р * (1 + i*n), где

S – наращенная сумма

Р – первоначальная сумма

i – процентная ставка

n – срок

Тогда срок можно определить по формуле

n = (S / P – 1) / i = (75000 / 55 000 – 1) / 0,11 = 3,3058 лет = 3 года 3 месяца 20 дней

Сложные проценты

S = Р * (1 + i)ⁿ

n = log (S / P) / log (1 + i) = log (75 / 55) / log (1,11) = 2,972 года = 2 года 11 месяцев 20 дней

 

Задача 9

Вексель номиналом 9 тыс.руб., выданный на 90 дней, учитывается по ставке 9%. Определить приведенную величину наращенной стоимости и размер дисконта по данной операции.

Решение:

Математическое дисконтирование

Приведенная величина наращенной стоимости

Р = S / (1 + i * t / К), где

i – процентная ставка

t – срок до погашения, дней

К – число дней в периоде (365 дней)

Р = 9 000 / (1 + 0,09 * 90 / 365) = 8804,61 руб.

Величина дисконта

D = S – Р = 9 000 – 8 804,61 = 195,39 руб.

Коммерческий учет

Приведенная величина наращенной стоимости

Р = S * (1 – d * t / К), где

d – учетная ставка

Р = 9 000 * (1 – 0,09 * 90 / 360) = 8 797,5 руб.

Величина дисконта

D = S – Р = 9 000 – 8 797,5 = 202,5 руб.

Задача 10

Пусть во вклад  с капитализацией процентов помещены 1,5 млн. руб. Определить сумму вклада через 2 года 230 дней, если проценты начисляют ежемесячно из расчета 8 % годовых.

Решение:

Длительность периода наращения  в месяцах = 31,7 месяцев

Наращенную сумму вклада можно  определить по формуле наращения  сложных процентов при начислении процентов несколько раз в  год

S = P * (1 + i / m)^mn = 1 500 000 * (1 + 0,08 / 12)^31,7 = 1 851 686,99 руб.

Наращенная сумма составит 1 851 686,99 руб.