Контрольная работа по финансовой математике

Минобрнауки России

Федеральное государственное  образовательное бюджетное учреждение

высшего профессионального  образования

 

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНУНИВЕРСИТЕТ)

Калужский филиал

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

 Финансовая  математика             

 

Вариант №2

 

 

 

 

          Выполнила: Трушкова С.А.

      Специальность:  финансы и кредит.

          Группа: день,  4 курс

                                                                   № л.д.: 09ФФБ01402

        Преподаватель:   доц. Семененко М.Г.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Калуга-2012

ЗАДАНИЕ 1

Имеются квартальные  данные о кредитах коммерческого  банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (16 кварталов):

Таблица 1

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	30	38	45	30	32	42	51	31	36	46	55	34	41	50	60	37

 

Требуется:

1. Построить адаптивную  мультипликативную модель Хольта-Уинтерса  с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания a₁=0,3; a₂=0,6; a₃=0,3.

2. Оценить точность  построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3. Оценить адекватность  построенной модели на основе  исследования:

• случайности остаточной компоненты по критерию пиков;
• независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d₁=1,10 и d₂=l,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r₁=0,32;
• нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4. Построить точечный  прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5. Отразить на графике  фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение

1. Мультипликативная  модель Хольта-Уинтерса с линейным  ростом имеет следующий вид:

,

где Y_p(t) — расчетное значение экономического показателя для периода t; k — период упреждения; a(t), b(t) — коэффициенты модели, которые уточняются по мере перехода от одного уровня временного ряда к следующему; F(t+k–L) —коэффициент сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель; L — период сезонности (для квартальных данных L=4).

Уточнение параметров модели для уровня временного ряда t производится с помощью следующих формул:

 

	;	(1)
	;	(2)
	,	(3)

где a₁, a₂, a₃ — параметры сглаживания (по заданию a₁=0,3; a₂=0,6; a₃=0,3).

Начальные значения параметров модели a(0) и b(0) определим, построив методом наименьших квадратов линейную модель

(4)

по первым восьми значениям Y(t) из таблицы исходных данных. С помощью встроенных функций табличного процессора EXCEL «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» были определены значения параметров a(0) и b(0) (см. приложение). Окончательно модель (4) имеет вид:

Y_p(t)= 33,89286+ 0,77381хt

 

С использованием формул (1) — (3) строим адаптивную модель Хольта-Уинтерса для всех N=16 уровней временного ряда.

t	a(t)	b(t)	F(t)	Yпрог	Остатки
-3			0,8564
-2			1,081059
-1			1,27
0	33,89286	0,77381	0,79223		E(t)	Е(t)-E(t-1)
1	34,77578	0,806543	0,860162	29,68852	0,311475
2	35,45284	0,767698	1,075532	38,4666	-0,4666	-0,77807
3	35,9843	0,696827	1,258327	46,00006	-1,00006	-0,53347
4	37,03712	0,803626	0,802891	29,0599	0,9401	1,940164
5	37,64922	0,746167	0,854035	32,54916	-0,54916	-1,48926
6	38,59191	0,805123	1,083199	41,29545	0,704551	1,253708
7	39,73692	0,907091	1,273395	49,57435	1,425652	0,721101
8	40,03395	0,724072	0,785762	32,63271	-1,63271	-3,05836
9	41,17646	0,849604	0,866186	34,80879	1,191207	2,823918
10	42,15828	0,889269	1,087955	45,52261	0,477395	-0,71381
11	43,09077	0,902234	1,275183	54,81656	0,183439	-0,29396
12	43,77613	0,837173	0,780312	34,56803	-0,56803	-0,75147
13	45,4295	1,082032	0,887973	38,64341	2,356594	2,924628
14	46,3454	1,032193	1,082495	50,60247	-0,60247	-2,95906
15	47,27993	1,002894	1,271496	60,41513	-0,41513	0,187342
16	48,02306	0,924962	0,774403	37,67568	-0,67568	-0,26055
17				43,4645	16,24341	44,86512
18				53,98728
19				64,58937
20				40,05436

 

2. Оценим точность  построенной модели через среднюю относительную ошибку аппроксимации , определяемую по формуле

%

где — остатки.

Значение  не превышает 5 %, что свидетельствует о высокой точности модели.

3. Для того чтобы  модель Хольта-Уинтерса была адекватной  исследуемому экономическому процессу, ряд остатков E(t) должен обладать свойствами случайности, независимости последовательных уровней и нормальности распределения.

1) Проверим случайность  уровней ряда остатков по критерию  поворотных точек. Для этого каждый уровень ряда E(t) сравниваем с двумя соседними — предыдущим и последующим. Если этот уровень одновременно больше или меньше обоих соседних уровней, то точка считается поворотной. В нашем случае общее число поворотных точек в ряду остатков равно p=10 .

График остатков

Критическое число поворотных точек для N=16 определяется по формуле

Так как  , то условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

2) Проверим независимость уровней  ряда остатков (отсутствие автокорреляции) двумя методами: по d-критерию Дарбина-Уотсона и первому коэффициенту автокорреляции r(1).

d-статистика Дарбина-Уотсона определяется по формуле

.

Сравниваем d-статистику с критическими значениями d₁=1,10 и d₂=l,37. Так как , то уровни ряда остатков признаются независимыми.

Первый коэффициент автокорреляции определяется по формуле

.

Видно, абсолютная величина (модуль) первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения r₁=0,32, что также указывает на независимость уровней ряда остатков.

3) Проверим соответствие  ряда остатков нормальному закону  распределения по R/S-критерию:

,

где E_max и E_min — наибольший и наименьший остатки соответственно; — среднее квадратическое отклонение ряда остатков.

Значение R/S-критерия попадает в критический интервал от 3 до 4,21. Это означает, что уровни ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения.

Таким образом все условия адекватности и точности выполняются, что позволяет говорить о приемлемом качестве модели.

4. С использованием формулы

строим прогноз размеров кредитов на четыре квартала вперед.

 

Имеем

:

• 17-й квартал (период упреждения k=1): Y_р(17)= 43,46;
• 18-й квартал (k=2): Y_р(18)= 53,99;
• 19-й квартал (k=3): Y_р(19)= 64,59;
• 20-й квартал (k=4): Y_р(20)= 40,05.

 

 

   5. Строим график фактических, расчетных и прогнозных значений кредитов на жилищное строительство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 2

Даны цены финансового  инструмента (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней:

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	765	685	750
2	792	703	733
3	740	706	733
4	718	641	666
5	680	600	640
6	693	638	676
7	655	500	654
8	695	630	655
9	700	640	693
10	755	686	750

 

Рассчитать:

• экспоненциальную скользящую среднюю;
• момент;
• скорость изменения цен;
• индекс относительной силы;
• %R, %K и %D.

Интервал сглаживания n принять равным пяти дням (n=5). Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение

 1.   Экспоненциальная скользящая средняя для уровня временного ряда t определяется по формуле

EMAt = k Ct + (1-k) EMAt-1,

где C_t — цена закрытия дня t; k=2/(n+1)= 0,333333

    Первым уровнем, для которого определяется EMA, является уровень . Для этого уровня EMA рассчитывается по формуле средней арифметической первых n уровней ряда:

= 704,4.

Далее вводим в ячейку Е6 вводим формулу и раскопируем  для остальных дней. Получаем:

 

Дни	Mакс.цена  Ht	Мин цена за день Lt	Цена  закрытия Сt	EMAt
1	765	685	750
2	792	703	733
3	740	706	733
4	718	641	666
5	680	600	640	704,4
6	693	638	676	693,9333
7	655	500	654	679,6222
8	695	630	655	670,4148
9	700	640	693	676,9432
10	755	686	750	700,2955

Покажем на графике:

 

5-8-ой дни наблюдается  нисходящий тренд, рекомендуется  продажа финансового инструмента. 9-10-ый день наблюдается восходящий тренд, рекомендуется покупка финансового инструмента.

   

2. Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня и цены n дней тому назад:

.

676-750=-74

654-733=-79

655-733=-78

693-666=27

           750-640=110

Построим график:

   6-8-ой дни график  момента находится ниже нулевого  уровня, рекомендуется продажа финансового  инструмента. 9-10-ый дни график  момента находиться выше нулевого  уровня, рекомендуется покупка финансового инструмента.