Контрольная работа по "Финансовой математике"

Задача 1.

      Депозитный  сертификат номиналом 100 руб. выдан  5 мая с погашением 7 ноября под 25% годовых. 

Определить  сумму начисленных  процентов и  сумму погашения  долгового обязательства (3-мя способами).

Решение:

1. Если капитализация насчитывается на конец депозита 7 ноября, тогда

= 0,0685% в день.

От 5 мая до 7 ноября 186 дней: 186дней × 0,0685% = 12,741 %, т.е. 7 ноября депозитный сертификат номиналом 100 рублей должен быть выкуплен за 112,74 рублей.

2. Если капитализация поквартальная, то за каждые 3 месяца начисляется 6,25 %:

5 мая – 5 августа –  106,25 руб.;

5 августа – 5 ноября  – 6,640 (это проценты от суммы  собранной в 1 квартале) + 106,25 = 112,89 руб.;

плюс 2 дня = 112,89 + (0,0685 % * 2) = 113,03 рублей.

3. Если дневная капитализация, то депозитный сертификат будет выкуплен за: 100 руб. * (1 + 25 % / 365 дней) = 106,85 рублей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 2.

      Определить  число лет, необходимых для  увеличения первоначального капитала  в 5 раз, применяя простые и  сложные проценты по ставке 15 % годовых.

Решение:

Сначала определим  число  лет при начислении простых  процентов.

Формула простых процентов: S = P(1 + n × i), где

 S – наращенная сумма;

P – первоначальная сумма долга;

 i - ставка процента;

 n - число периодов начисления.

Первоначальный капитал  увеличится в 5 раз, следовательно, S = 5P

5P = P(1 + n × 0,15)

1 + n × 0,15 = 5

0,15 × n = 4

 n = 26,7, т.е. примерно через 26,7 лет капитал увеличится в 5 раз при простых процентах.

Формула сложных процентов: S = P(1 + i)ⁿ, где

 S – наращенная сумма;

P – первоначальная сумма долга;

 i - ставка процента;

 n - число периодов начисления.

Первоначальный капитал  увеличится в 5 раз, следовательно, S = 5P

5P = P(1 + 0,15)ⁿ 

(1,15)ⁿ = 5

n = 

n = 11,5 т.е. через 11,5 лет капитал увеличится в 5 раз при сложных процентах.

 

Задача 3.

      Вексель  с обязательством 15 тыс. руб. учитывается   банком за 3 месяца до погашения  с  дисконтом 3 тыс. руб. в  пользу банка.  Определить величину  ставки процента.

Решение:

Формула расчета дисконта:

D = S × n × d, где

S – наращенная сумма;

n – срок от момента учёта до даты  погашения векселя;

d – годовая учетная ставка.

d =

n = = 0,25

d = = 0,8, т.е. 80%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.

      Вексель  погашается через 3 года за 5 тыс.  руб.  Определить дисконтную цену  векселя по простым и сложным процентам.

Решение:

Примем ставку процентов  за 10% годовых.

Дисконтная цена векселя по простым процентам:

P = S(1 – n × d), где

S – наращенная сумма;

n – срок от момента учёта до даты  погашения векселя;

d – годовая учетная ставка.

P = 5 000 (1 – 3 × 0,1) = 3500 руб.

Дисконтная цена векселя по сложным процентам:

P = S(1 – d)ⁿ

P = 5000 (1 – 0,1)³ = 2645 руб.

 

Задача 5.

Допустим, что отцу Федору из романа И. Ильфа и Е. Петрова «Двенадцать стульев» срочно надо выкупить стулья у инженера Бруна. Хотя любезная попадья Катерина Александровна и выслала ему телеграфом в Батум необходимую сумму денег, но, увы, наличных денег для совершения покупки у отца Федора в данный момент нет. А стулья, как он прозорливо считает, в любой момент могут достаться конкурентам – Остапу Бендеру и кисе Воробьянинову. Поэтому он решается взять в местном коммерческом банке кредит на один день в сумме 100000 руб. при трехмесячной ставке 9 %, в надежде на то, что на следующий день он непременно получит высланные попадьей деньги. Определить какую величину процента должен заплатить отец Федор банку?

Решение:

Ставка i=9%*4=36% годовых

1 день – срок кредита,  т.к. день выдачи кредита и день его погашения считаются за один день.

Тогда:

S = P (1+ni)

S = 100000 (1+0,36 * 1/360) = 100100 руб. – должен будет вернуть

Размер процентов за операцию:

I = 100100-100000 = 100 руб. 

 

 

 

Задача 6.

      Пусть во  вклад с капитализацией процентов   помещены 10 млн. руб. Определить  наращение суммы вклада через  2 года, если проценты начисляют  ежеквартально из расчета 80% годовых.

Решение:

Простые проценты:

S = P(1+ n × i), где

S – наращенная сумма;

P – первоначальная сумма долга;

 i - ставка процента;

 n - число периодов начисления.

Для простых процентов неважно, сколько раз в год начисляют проценты, поэтому ежеквартальное начисление не учитываем (итоговая сумма будет та же).

 S = 10 000 000 ( 1 + 2 × 0,8) = 26 млн. руб.

Сложные проценты:

S = P(1 + i)ⁿ

Процентная ставка за квартал  n = 80/4 = 20%

 S = 10 000 000 (1 + 0,2)^2×4 = 42 998 169,6 руб.

 

 

Задача 7.

      По  муниципальной  облигации номиналом 10 тыс. руб., выпущенной на 2,5 года, предусмотрен  следующий порядок начисления  процентов: первый год – 60 %, в каждом последующем полугодии  ставка повышается на 5 %.

      Требуется:

1) определить  наращенную  стоимость облигации  по простой  процентной  и учетной  ставкам;

2) составить  план наращения  первоначальной  стоимости по простым процентам;

3) рассчитать  наращенную  стоимость облигации по сложной  процентной и учетной ставкам;

4) составить  план наращения  первоначальной  стоимости по  сложным процентам;

5) построить  график  наращения стоимости по  простым  и сложным процентам;

6) проанализировать  доходность вариантов наращения стоимости с позиций кредитора и заемщика.

Решение:

1. Наращенная стоимость по простой процентной ставке:

S = P(1+ n × i), где

S – наращенная сумма;

P – первоначальная сумма  долга;

i - ставка процента;

n - число периодов начисления.

S = 10 000 (1 + 1 × 0,6 + 0,5 × 0,65 + 0,5 × 0,7 + 0,5 × 0,75) = 26 500 руб. 

           Наращенная стоимость по простой учетной ставке:

S = Р

S_1год = 10 000 / (1 - 0,6 × 1) = 25 000 руб.

 Проценты: I _1год = 25 000 – 10 000 = 15 000 руб.

S_{3полугодие} = 10 000/(1 - 0,65 × 0,5) = 14 815 руб. (сумма за 3 полугодие)

I _{3полугодие} = 14 815 – 10 000 = 4 815 руб.

S_{4полугодие} = 10 000/(1 - 0,7 × 0,5) = 15 385 руб.

I _{4полугодие} = 15385 – 10000 = 5 385 руб.

S_{5полугодие} = 10 000 / (1 - 0,75 × 0,5) = 16 000 руб.

I _{5полугодие} = 16 000 – 10 000 = 6 000 руб.

Суммарная наращенная стоимость  по учетной ставке:

S = 15 000 + 4 815 + 5 385 + 6 000 = 31 200 руб.

2. Период  начисления:     Метод: простые  проценты

  1 год                          10 000 (1 + 1 × 0,6) = 16 000

             1,5 года                         10 000 (0,5 × 0,65) + 16 000 = 19250

             2 года                         10 000 (0,5 × 0,7) + 19 250 = 22 750

             2,5 года                          10 000 (0,5 × 0,75) + 22 750 = 26 500 

3. При начислении  сложных процентов применяется  формула

S = P(1+i)^а × (1+ i × b) , где

n = a + b, а – целое число лет, b – дробная часть года.

S = P(1+i₁)ⁿ¹(1+ i₂ n₂)(1+ i₃ n₃)(1+ i_n n_n)

S = 10 000 (1 + 0,6)¹ × (1 + 0,65 * 0,5) × (1 + 0,7 * 0,5) × (1 + 0,75 * 0,5) = 39 352,5 руб. 

 Сложная учетная ставка:

S = Р

S_1год = 10 000 / (1 – 0,6)¹  = 25000 руб.

S_{3полугодие} = 25 000 / (1 – 0,65)^0,5  = 42 258 руб.

S_{4полугодие} = 42 258 / (1 – 0,7)^0,5  = 77 152 руб.

S_{5полугодие} = 77 152 / (1 – 0,75)^0,5  = 154 304 руб.

 

4.  Период  начисления:        Метод: сложные проценты

              1 год                             10 000 (1 + 0,6 * 1) = 16 000

              1,5 года                             16 000 (1 + 0,65 * 0,5) = 21 200

              2 года                             21 200 (1 + 0,7 * 0,5) = 28 620

              2,5 года                             28 620 (1 + 0,75 * 0,5) = 39 352,5

5. График наращения стоимости по  простым и сложным процентам.

 

 

 

 

 

 

 

 

   6) Даже в одинаковых исходных условиях применение ставок приводит к различным результатам.

     После первого года простая учетная ставка и сложная учетная ставка и проценты дают одинаковый результат, поэтому на этом этапе разницы между этими методами начисления процентов для кредитора и заемщика нет.

    Уже в третьем полугодии резко выделается сложная учетная ставка, которая выгода кредитору и невыгодна заемщику. Разница между методами начисления процентов начинается и усиливается после 1,5 года. 

     По графика видно, что наиболее выгодным для кредитора является вариант сложной учетной ставки. Затем идут сложные проценты, простая учетная ставка и наименее выгодными являются простые проценты.

     А для заемщика наоборот – наиболее выгодным вариантом являются простые проценты, наименее выгодна сложная учетная ставка.

Вариант	№ задачи	Результаты
1.	1	112,74 руб. 2) 113,03 руб. 3) 106,85 руб.
	2	при простых % - 26,7 лет; при сложных % - 11,5 лет.
	3	80%
	4	по простым % - 3500 руб.; по сложным % - 3645 руб.
	5	100 руб.
	6	при простых % - 26 млн.руб.; при сложных % - 42998169,6 руб.
	7	по простой процентной ставке – 26500 руб.; по сложной процентной ставке – 39352,5 руб.