Контрольная работа по "Финансовой математике"

1. Под какой (простой)  процент надо отдать капитал,  чтобы через 12 лет он утроился?

Решение: Согласно формулы S_t = , имеем:

3S₀ = (1+j*12)*S₀ ,

2S₀ = 12*j*S₀ ,

j= ,

j=0, 1667 , то есть 16, 67%

Ответ: 16, 67%

2. Клиент вложил в  банк 100 000 руб. Какая сумма будет  на счету этого клиента через  год, если банк начисляет проценты  по номинальной ставке при  ежемесячном начислении 5 %?

Решение: S₀ = 100 000 руб., t = 1 год = 12 мес., j = 5%

S_t = 100 000 (1 + )¹² = 105 116,19

Ответ: 105 116,19 руб.

3. Банк начисляет проценты  по ставке 10% годовых. Определить  сумму вклада, необходимую для  накопления через 2 года 500 тыс.  руб. в случае простых и сложных  процентов.

Решение: 1) в случае простых процентов: S_t= (1+j*t)* S₀

S_t = 500 000 руб., t = 2 , j = 10%

500 000 = S₀ *(1 + 0,10* 2)

1,2 * S₀  = 500 000

 

S₀ = 416 666, 67

2) в случае сложных процентов: S_t=

500 000 = S₀ *(1 + 0,10)²

S₀ = 413 223, 14

Ответ: 1) 416 666, 67; 2) 413 223, 14.

4. Ссуда размером в  100000 руб. выдана на 30 лет под  номинальную ставку 10 % годовых. Должник  по контракту обязан выплачивать  равными долями долг вместе  с процентами. Определить сумму  ежемесячного платежа и общую сумму всех платежей.

Решение: При ежеквартальном начислении процентов по формуле S_t=S₀(1 + j/m)^nm , получаем, что наращенная сумма равна S_t =100 000* (1+ )^4*30 = 1 935 814, 98. Тогда ежемесячный платеж получаем: 1 935 814,98 : 360 = 5 377, 26

Ответ: сумму ежемесячного платежа 5 377,26 к.; общая сумма всех платежей 1 935 814,98.

5. Иван Иванович Петров хочет  вложить 30 000 руб., чтобы через  5 лет получить 40 000 руб. Под какую  номинальную процентную ставку  при ежемесячном начислении процентов  он должен вложить свои деньги?

Решение: Используя формулу , получаем

40 000 = 30 000* . Решая данное уравнение, получаем, что

j = 5,76

Ответ: номинальная процентная ставка равна 5, 76%.

6. Вклад в сумме 500 тыс. руб.  положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 16 % годовых. Определить реальный доход вкладчика для двух ожидаемых месячных уровней инфляции 5 % и 3 %.

Решение: для месячного уровня инфляции 5 %:

При указанных данных, то есть S₀  = 500 000, n=0,5 , m = 12, R_α = 0,16 , α= 0,05, имеем индекс инфляции за полгода J = (1 + 0,05)⁶ = 1,340. Тогда уровень инфляции δ = 1,340 – 1 = 0, 34, то есть 34%.

Наращенная сумма вклада с процентами составит:

= 500 000 (1 + )⁶ = 541 357, 28.

Сумма вклада с процентами, приведенная  к моменту его оформления, составит

= =403 997, 97.

Реальный доход вкладчика составит

D = S_α – S₀ = 403 997, 97 – 500 000 = - 96 002, 03

Следовательно, вкладчик понесет убытки с позиций покупательной  способности получаемой суммы в  банке.

Ответ: - 96 002, 03

Решение: для месячного уровня инфляции 3 %:

При указанных данных, то есть S₀  = 500 000, n=0,5 , m = 12, R_α = 0,16 , α= 0,03, имеем индекс инфляции за полгода J = (1 + 0,03)⁶ = 1,194. Тогда уровень инфляции δ = 1,194 – 1 = 0, 194, то есть 19, 41%.

Наращенная сумма вклада с процентами составит:

= 500 000 (1 + )⁶ = 541 357, 28.

Сумма вклада с процентами, приведенная к моменту его оформления, составит

= =453 398, 06.

Реальный доход вкладчика  составит

D = S_α – S₀ = 453 398, 06 – 500 000 = - 46 601,94

Следовательно, вкладчик понесет убытки с позиций покупательной способности получаемой суммы в банке.

Ответ: - 46 601, 94

7. Вычислить эффективную  ставку процента, если банк начисляет  проценты ежеквартально, исходя  из номинальной ставки 10 % годовых. 

Решение: По формуле получаем, что эффективная ставка процента равна i = = 0, 1038 ,то есть 10,38%.

Ответ: 10,38%.

8. Три платежа 8 тыс.  руб., 10 тыс. руб. и 4 тыс. руб.  с выплатами 1 апреля,15 июня и  1 сентября данного года соответственно  заменяются двумя, причем 1 июля этого же года выплачиваются 20 тыс. руб. и 2.6 тыс. руб. Стороны договорились об использовании простой процентной ставки 25 % годовых. Определить дату выплаты суммы 2.6 тыс. руб. для различных вариантов краткосрочного инвестирования.

Решение: Используем следующие временные интервалы:

1 апреля —  15 июня — 75 дней,

15 июня —  1 июля — 15 дней,

1 июля — 1 сентября — 60 дней,

1 сентября —  дата второго платежа – 60+х.

Тогда, подставляя в формулу  данные, при базовой дате 1 июля имеем:

Решая данное уравнение, получаем, что выплата суммы 2.6 тыс. руб должна произойти 1 декабря.

Ответ: 1 декабря

9. Долг в сумме 100 млн. руб. выдан на 5 лет под  20 % годовых. Для его погашения  создан погасительный фонд. На  инвестируемые в нем средства начисляются проценты по ставке 22 %. Пусть фонд формируется 5 лет, взносы производятся в конце каждого года равными суммами. Необходимо найти размеры срочных уплат и составить план  формирования фонда.

Решение: К концу срока необходимо накопить в фонде следующую сумму: D = S₀(1+g)ⁿ,  D = 100 000 000*(1 + 0,20)⁵ = 248 832 000.

Тогда размер годового платежа  в погасительный фонд из формулы  R* =248 832 000 будет равен R = 32 148 837,21.

К концу первого года размер фонда равен величине первой выплаты, т.е. 32 148 837, 21.

В конце второго года размер фонда увеличится на сумму  процентов, начисленных на первую выплату  за 1 год, т.е. 32 148 837,21 * 0,22 = 7 072 744, 19 и ещё на 32 148 837, 21 после второй выплаты. Суммарный прирост составит: 7 072 744, 19 + 32 148 837, 21 = 39 221 581,4.

Таким образом размер фонда к концу второго года составит 39 221 581,4 +  32 148 837, 21 = 71 370 418, 61

год	Размер выплаты (т.р.)	%	Прирост (т.р.)	Размер фонда (т.р.)
1	32 148 837, 21	-	32 148 837,21	32 148 837, 21
2	32 148 837, 21	7 072 744,19	39 221 581,4	71 370 418, 61
3	32 148 837, 21	15 701 492,09	47 850 329,3	79 999 166, 51
4	32 148 837, 21	17 599 816, 63	49 748 653,84	81 897 491, 05
5	32 148 837, 21	18 017 448,03	50 166 285,24	82 315 122,45

 

10. Составить план погашения  потребительского кредита на  сумму 150 000 руб., который открыт  на 3 года по ставке 14 % годовых.  Погашение кредита ежеквартально.  Определить стоимость кредита. 

Решение: Общее количество начисленных процентов за 3 года равно: P = DTj =150 000 * 3 * 0,14 = 63 000руб.

Тогда общая сумма  расходов по погашению кредита равна: 150 000 +63 000 = 213 000 руб.

Размер ежеквартальных взносов: 213 000 : (3*4)= 17 750 руб.

Сумма последовательных номеров выплат = 3*4 ((3*4+1):2) = 78.

Величина процентного  платежа  = 63 000 (12:78) = 9 692,31

Сумма погашения  основного долга  = 17 750 – 9 692,31 = 8 057,69

Платеж	t	Долг	Срочная уплата (yt)	Проценты( )	Погашение основной суммы долга
1	12	150000, 00	17 750	9 692,31	8 056, 69
2	11	141 942,31	17 750	8 884,62	8 865,38
3	10	133 076,93	17 750	8 076,92	9 673,08
4	9	123 403,85	17 750	7 269,23	10 480, 77
5	8	112 923,08	17 750	6 461,54	11 288,46
6	7	101 634,62	17 750	5 653,85	12 096, 15
7	6	89 838,47	17 750	4 846,15	12 903,85
8	5	76 634,62	17 750	4 038,46	13 711,54
9	4	62 923,08	17 750	3 230,77	14 519,23
10	3	48 403,85	17 750	2 423,08	15 326,92
11	2	33 076,93	17 750	1 615,38	16 134,62
12	1	16 942,31	17 750	807,69	16 946,31
				63 000	150 000