Контрольная работа «Финансовая математика»

Федеральное агентство по образованию

Южно-Уральский государственный  университет

Кафедра экономической теории и  мировой экономики

 

 

 

 

 

 

 

Контрольная работа

по курсу «Финансовая математика»

 

 

                                                                            

Выполнил:

                                                                            

.                                          

                                                     Проверена:

                                                          Козина М.В.

                                                                                     

                                             

                                             г.Челябинск 2013 г.

                                                                   Задача 1

 

Определить простую ставку процентов, при которой первоначальный капитал  в размере 10 000 руб. достигнет через 180 дней суммы 19 000 руб.

     Дано:                                                           Решение:

 

PV = 10 000 руб.                        Вывод формулы для простой ставки процентов:

FV = 19 000 руб.                       

t = 180 дней                               

T = 360 дней                               

_________________                       

i - ?

 

 

Ответ: простая ставка процентов  равна 180%.

 

Задача 2

 

 

Кредит в размере 15 000 руб. выдан с 26.03 по 18.10 под простые 24% годовых. Определить размеры долга для различных вариантов начисления процентов.

       Дано:                                               Решение:

 

PV = 15 000 руб.                 Размер долга:

i = 24% = 0,24                     ;

__________________         1) «английская практика»: Т=365 или 366 дней.

FV – ?                                    (дней)

I – ?                                       (руб.)

2) «французская практика»: T=360 дней.

(дней)

(руб.)

3) «германская практика»: T=360 дней. 

 (дня)

(руб.)

 

Ответ: размер долга составляет:

- согласно «английской практике»:   17 031,781 руб.;

- согласно «французской практике»: 17 060 руб.;

- согласно «английской практике»:   17 020 руб.

 

Задача 3

 

 

Банк объявил следующие условия  выдачи ссуды на год: за I квартал ссудный процент 24%, а в каждом последующем квартале процентная ставка по ссуде увеличивается на 3%. Определить сумму к возврату в банк, если ссуда выдана на год и составляет 15 000 руб.(простые проценты)

Дано:                                                Решение:

 

                    Сумма начисленных процентов: 

                   ;

                                   

                                

T = 1 год = 360 дней          

PV = 15 000 руб.                 Сумма к возврату:

         

= 30×3 = 90 дней                 

__________________        

FV - ?                                    = 19 275 (руб.)

 

Ответ: сумма к возврату в банк составит 19 275 руб.

 

Задача 4

 

Договор вклада заключён сроком на 2 года и предусматривает начисление и  капитализацию процентов по полугодиям. Сумма вклада 15 000 руб., годовая ставка 16%. Рассчитать сумму на счёте клиента к концу срока.

           Дано:                                                Решение:

 

PV = 15 000 руб.                Сумма на счёте клиента к концу срока:

n = 2 года                          

j = 16% = 0,16                  

m = 2                                   = 20 407,334 (руб.)

________________

FV - ?

 

Ответ: сумма на счёте  клиента к концу срока составит 20 407,334 руб.

 

Задача 5

 

Владелец  векселя номинальной стоимости 19 000 руб. и сроком обращения 1 год предъявил его банку-эмитенту для учёта за 60 дней до платежа. Банк учёл его по ставке 60% годовых. Определить дисконтированную величину, то есть сумму, полученную владельцем векселя, и величину дисконта.

Дано:                                                        Решение:

 

FV = 19 000 руб.                 Величина дисконта:

T = 1 год = 360 дней           

t = 60 дней                            (руб.)

n = 1 год                               Сумма, полученная владельцем векселя:

d = 60% = 0,6                        PV = FV – D ;

________________               PV = 19 000 – 1 900 = 17 100  (руб.)

D - ?    PV - ?

 

Ответ: - величина дисконта равна 1 900 руб.;

            - сумма, полученная владельцем  векселя, равна 17 100 руб.

 

Задача 6

 

Определить значение годовой учётной  ставки банка, эквивалентной ставке простых процентов 24% годовых (n = 1 год).

           Дано:                                      Решение:

 

i = 24% = 0,24                Эквивалентная годовая учётная ставка:

n = 1 год                           ;

______________             

 - ?

Ответ: эквивалентная годовая учётная ставка равна 19,4%.

 

Задача 7

 

На вклады ежеквартально начисляются  проценты по номинальной годовой  ставке 16%. Определить сумму вклада для накопления через 1,5 года суммы 19 000 руб.

Дано:                                         Решение:

 

FV = 19 000 руб.                  Сумма вклада: 

j = 16% = 0,16                      

m = 4                                     

n = 1,5 года = года             = 15 015,976  (руб.)

_________________

PV - ?

 

Ответ: сумма вклада равна 15 015,976 руб.

 

Задача 8

 

Банк предлагает долгосрочные кредиты  под 24% годовых с ежеквартальным начислением процентов, 26% годовых  с полугодовым начислением процентов и 20% годовых с ежемесячным начислением процентов. Определить наиболее выгодный для банка вариант кредитования.

Дано:                                              Решение:

 

 n = 1 год                        Эффективная процентная ставка:

1) m = 4   

 j =24% = 0,24                при n=1 год:  ;

 2) m = 2                         

 j =26% = 0,26               

3) m = 12                        

j = 20% = 0,2

_________________

- ?  - ? - ?

 

Ответ: выдача кредитов под 26% годовых  с полугодовым начислением процентов  банку выгоднее, т.к. эффективная  годовая процентная ставка в этом случае больше (сумма кредита возрастает на 27,7% за год).

 

Задача 9

 

Банк выдаёт кредит под 24% годовых. Полугодовой уровень  инфляции составил 3%. Определить реальную годовую ставку процентов с учётом инфляции.

Дано:                                                    Решение:

 

n = 1 год                       Индекс цен:

i = 24% = 0,24             

= 3% = 0,03          

N = 2                             Реальная годовая процентная ставка:

______________         

- ?                           

 

Ответ: реальная годовая  ставка процентов равна 16,9%.

 

Задача 10

 

Какую ставку процентов  по вкладам нужно назначить, чтобы  реальная доходность вклада с учётом инфляции 3% была 10% годовых?

       Дано:                                                         Решение:

 

= 3% = 0,03                Вывод формулы для процентной ставки:

n = 1                               

= 10% = 0,1                

________________       

i - ?

 

Ответ: нужно  назначить ставку процентов по вкладам, равную 13,3%.

 

Задача 11

 

Рассчитать уровень  инфляции за год при ежемесячном уровне инфляции 3%.

 

          Дано:                                            Решение:

 

                Индекс цен:

  N = 12 месяцев              

________________         

  - ?                            Уровень инфляции:

  - ?                              

                                          

 

Ответ: уровень инфляции за год  равен 42,6%.

 

Задача 12

 

Вклад 15 000 руб. положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 72% годовых. Определить реальный доход вкладчика, если ожидаемый ежемесячный уровень инфляции составит 3%.

                Дано:                                  Решение:

                        

PV = 15 000 руб.                   Реальная покупательная способность вклада через

j = 72% = 0,72                       определённое время:

m = 12 месяцев                     

n = 6/12 года                         

p = 3% = 0,03                         (руб.)

N = 6 месяцев                       Реальный доход вкладчика:

___________________         

 - ?                                     (руб.)

 

Ответ: реальный доход вкладчика равен 2 819,811 руб.

 

Задача 13

 

Договор аренды имущества заключён на 5 лет. Аренда уплачивается суммами S₁=19 000 руб., S₂=20 000 руб., S₃=21 000 руб. в конце 1-го, 3-го и 5-го годов. По новому графику платежей вносится две суммы: S₄=22 000 руб. в конце 2-го года и S₅ в конце 4-го года. Ставка банковского процента 5%. Определить S₅.

 

Дано:   

                                                                                                                     суммы платежей,

           S₁=19 000    S₄ =22 000     S₂=20 000       S₅ - ?       S₃=21 000     руб.

|__________|__________|__________|__________|__________|

0                 1                  2                   3                   4                 5            сроки платежей,

                                                                                                                      годы

                         наращение                                         дисконти-

рование

 

          Рис. 1. Исходный и новый графики платежей

 

На рис.1 отмечены: полужирным шрифтом – исходный график платежей, курсивом – новый график платежей. Моментом приведения выбран год, совпадающий с годом платежа суммы :  4 года.

 

Решение:

Уравнение эквивалентности: графики платежей будут эквивалентны, если сумма приведённых на какую-либо дату (на момент приведения) платежей одного графика будет равна сумме платежей другого графика, приведённых на ту же дату при неизменной ставке процентов:

                                   

Коэффициент приведения (наращения или дисконтирования):

                                               

где:  n – число лет до момента приведения:

                                                n = n₀ – n_i  ,

где:  n_i - срок  i-го платежа.

при - коэффициент наращения;

при - коэффициент дисконтирования;

при

 

(руб.)

 

Ответ: сумма второго платежа  по новому графику платежей равна 38 739,875 руб.

 

Задача 14

 

Определить размер ежегодных платежей по сложной ставке 5% годовых для  создания через 6 лет фонда в размере 19 000 000 руб.