Теория вероятностей или Теория вероятности

Теория вероятностей или Теория вероятности

 

Теория  вероятностей или теория вероятности  – это один из разделов Высшей Математики. Это самый интересный раздел Науки  Высшая Математика Теория вероятности, которая являясь сложной дисциплиной, имеет применение в реальной жизни. Теория вероятностей представляет несомненную ценность для общего образования. Эта наука позволяет не только получать знания, которые помогают понимать закономерности окружающего мира, но и находить практическое применение теории вероятности в повседневной жизни. Так, каждому из нас каждый день приходиться принимать множество решений в условиях неопределенности. Однако эту неопределенность можно «превратить» в некоторую определенность. И тогда это знание может оказать существенную помощь при принятии решения. Изучение теории вероятностей требует больших усилий и терпения.

 

Теперь  же давайте перейдем к самой теории и истории ее возникновения. Главным  понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу», или «это просто невероятно», или «есть шанс получить зачет автоматом». Такого рода фразы на интуитивном уровне оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. В свою очередь математическая вероятность дает некоторую числовую оценки вероятности того, что произойдет некоторое случайное событие.

История теории вероятностей

 

Теория  вероятностей оформилась в самостоятельную  науку относительно не давно, хотя история  теории вероятностей началась еще в  античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар  и еще некоторые ученые древней  Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятности, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка.

 

Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда такие ученые как Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли некоторые закономерности, которые возникают при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие понятия теории вероятностей: понятие вероятности как величины шанса или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые правда не были сформулированы в явном виде.  Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений.

 

Дальнейшее  развитие теории вероятностей привело  к необходимости аксиоматизации теории вероятностей и главного понятия – вероятности. Так становление аксиоматики теории вероятностей произошло в 30 гг 20 века. Самый существенный вклад в заложение основ теории внес Космогоров А.Н.

 

На сегодняшний  день теории вероятностей это самостоятельная наука, имеющая огромную сферу применения. В данном разделе сайта Вы найдете шпаргалки по теории вероятности, лекции и задачи по теории вероятностей, литературу, а также много интересных статей о применении теории вероятностей в жизни.

Определение вероятности 

 

В данной статье мы дадим следующие  понятия вероятности:

классическое определение вероятности,

геометрическое определение вероятности 

аксиоматическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности

 

Вероятность события численно характеризует степень возможности его появления в рассматриваемом опыте.

 

Пусть производится опыт с n равнозначными  исходами, образующими полную группу несовместных событий. Такие исходы называются элементарными исходами (событиями), случаями, шансами. Случай, который приводит к наступлению события А, называется благоприятным (или благоприятствующим) ему.

 

Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих этому событию, к общему числу n случаев.

 

p(A)=m/n

 

Такое определение вероятности называется классическим определение вероятности.

 

Из классического определения  следуют свойства вероятности:

0≤p(A)≤1

p(Ø)=0,

p(Ω)=1,

p(Ā)=1-p(A)

p(A+B)= p(A)+ p(B), если AB=Ø

Геометрическое определение вероятности

 

Обобщением понятия "классической вероятности" на случай опытов с бесконечным (вообще говоря, несчетным) числом исходов является понятие "геометрической вероятности". К этому понятию приводят задачи на подсчет вероятности попадания точки в некую область (отрезок, часть плоскости, часть тела и т.д.).

 

Пусть пространство элементарных событий  Ω представляет собой некоторую  область плоскости. Тогда в качестве событий могут рассматриваться  области А, содержащиеся в Ω.

 

Вероятность попадания в область  А точки, наудачу выбранной из области Ω, называется геометрической вероятностью события А и находится по формуле:

 

p(A)=S(Ω)/S(Ω),

 

где S(A) и S(Ω) площади областей А  и Ω соответственно.

 

Случай, когда Ω представляет собой  отрезок или трехмерную область, рассматривается аналогично.

Аксиоматическое определение вероятности

 

Пусть Ω - множество всех возможных  исходов некоторого опыта (эксперимента). Согласно аксиоматическому определению  вероятности, каждому события А (А  подмножество множества Ω) ставится в соответствии некоторое числу р(А), называемое вероятностью события А, причем так, что выполняются следующие три условия (аксиомы вероятностей):

р(А)≥0

p(Ω)=1

аксиома сложения

 

где Аi·Aj=Ω (i≠j),  т.е. вероятность  суммы попарно-несовместных событий  равна сумме вероятностей этих событий.

 

Из этих трех аксиом, вытекают свойства вероятности:

р(Ø)=0, т.е. вероятность  невозможного события равна нулю.

р(А)+р(Ā)=1

0≤р(А)≤1  для любого события А

р(А)≤р(В), если А подмножество В

, если 

и  Аi·Aj=Ø, i≠j

 

Если множество  Ω состоит из n равновозможных элементарных событий, то вероятность события А определяется по формуле классического определения вероятности:

 

p(A)=m/n

 

где m - число  случаев (элементов), принадлежащих  множеству В (число блогаприятствующих событию А исходов), n - число элементов множества Ω (число всех исходов опыта).

 

Таким образом, мы дали определение вероятности: классическое определение вероятности, геометрическое определение вероятности и аксиоматическое  определение вероятности.

 

Для подготовки данной статьи были использованы материалы книги: Сборник задач по высшей математике. Лунгу К.Н и др.