Неевклидовская геометрия и ее возникновение и философское происхождение

Введение

 

            Роль математики в современной науке постоянно возрастает. Это связано с тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений

действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики, лингвистики, технических и некоторых других наук предполагает широкое использование математического аппарата. Более того, без разработки и использования последнего было бы, например, невозможно ни освоение космоса, ни создание электронно-вычислительных машин, нашедших применение в самых различных областях человеческой деятельности.

            Есть и другая сторона данного вопроса. Математика – чрезвычайно своеобразная наука, философский анализ целого ряда положений которой весьма сложен. И хотя особенности математического знания были предметом пристального внимания выдающихся философов и математиков всех времен и народов, многие методологические проблемы математики остаются недостаточно разработанными, что в свою очередь тормозит развитие как «чистой» и прикладной математики, так и других отраслей науки, в том числе философии.

           Философия в сфере математики способствует выработке адекватного понимания математического знания, решению естественно возникающих вопросов о предмете и методах математики, специфике ее понятий. Действительно философское понимание математики может предстать только как сумма выводов, сумма определений, полученных на основе анализа различных ее сторон. Правильное понимание математики не может быть получено умозрительно или путем простого сравнения случаев, которые подходят под известное интуитивное представление, и подыскания затем некоторых объединяющих их признаков. Такой метод необходим для предварительного понимания любого предмета, но сам по себе он недостаточен.

            Математики много раз иеняли представление о своей науке и делали это каждой раз под давлением определенных фактов, которые заставляли их отказаться от устоявшихся привычных воззрений.  Другими словами, современное понимание математики не может быть сформулировано как простое собрание имеющихся интуитивных представлений об этой науке, не может быть взято непосредственно из знакомства с теми или другими математическими теориями, то есть только на основе здравого смысла математика. Оно требует исследования истории математики, необходимо прибегнуть к исследованиям ее структуры, функции, отношения к другим наукам.

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

           Неевклидовы геометрии и развитие философии

 

    Философские дискуссии в математике XIX в. Были связаны в основном с развитием геометрии, а именно с истолкованием неевклидовых геометрий. В области математического анализа также возникли принципиальные трудности, но они казались легко устранимыми и некоторые из них, действительно, были устранены.

           Неевклидовы геометрии были фактом совсем другого рода. Вопрос о природе математического знания возник всвязи с ними снова и не менее остро чем в предыдущем столетии, в связи с обоснованием исчисления бесконечно малых. 11 февраля 1826 г. Профессор Казанского университета Н.И. Лобачевский представил ученому совету физико-математического факультета доклад с изложением основ геометрии. Главная идея его состояла в том, что аксиома Евклида о параллельных прямых независима от других аксиом евклидовой геометрии (невыводима из них) и, следовательно, возможно построить другую геометрию, столь же непротиворечивую, как и евклидова, если в евклидовой  геометрии заменить аксиому о параллельных на противоположное утверждение. В последующие годы Лобачевский всесторонне разработал теорию новой геометрии и указал ряд ее приложений в области математического анализа.

           Значение неевклидовых геометрий состоит прежде всего в том, что их построение и доказательство непротиворечивости представляет собой окончательное решение проблемы о параллельных, занимавшей математиков в течение двух тысячелетий.

          Но не только этому математическому значению неевклидовы геометрии обязаны своей известностью. Они явились не только крупным событием в развитии математики XIX в., но вместе с тем фактом, противоречащим всем сложившимся к тому времени представлениям о природе математического знания. Открытия Лобачевского привело математиков к коренному пересмотру представлений о собственной науке, о ее функции в системе знания, о методах построения и обоснования математических теорий. Можно сказать без преувеличения, что современное понимание математики выросло из попыток осмыслить факт неевклидовых геометрий.

          В начале XIX в. в истолковании математики имели влияние два направления:

эмпиризм и априоризм. Платон в свое время различал арифметику и геометрию в соответствии с природой их понятий. Числа для Платона относятся к миру идей, в то время как  геометрические объекты являются идеальными только наполовину, так как они связаны с чувственными образами и поэтому занимают промежуточное положение между миром идей и реальным миром. Аналогичное различение арифметики и геометрии проводится и математиками XIX в. Если объекты арифметики (особенно

это касается иррациональных и мнимых чисел) рассматриваются как мысленные  образования, как сфера, где мы можем опираться исключительно на логику, то геометрические понятия неразрывно связываются с опытными представлениями. Большинством математиков первой половины XIX в. геометрия понимается чисто эмпирически как наука о реальном пространстве. Противоположное, рационалистическое воззрение на геометрию и математику в целом, которому суждено было сыграть исключительно большую роль в дискуссиях  о природе неевклидовых геометрий, было развито в конце XVIII в. Выдающимся немецким философом И. Кантом. Согласно Канту, понятия геометрии и арифметики

не являются отражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не

извлечены посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего человеку наряду с эмпирическим.

         Существуют две формы чистого созерцания – пространство и время. Пространство и время – необходимые внутренние представления, которые даны человеку даже  при абстрагировании от всего эмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени.

           Геометрические и арифметические суждения не эмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но вместе с тем они и не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми являются правила логики, поскольку они отражают содержание чувственности, хотя и не эмпирической. Математика таким образом может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуру априорных форм чувственности. Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью инткитивно ясной: по Канту, все математические доказательства «постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза»

           В теоретическом плане априориз представляет резкую оппозицию эмпиризму. Однако значение этого расхождения не следует преувеличивать. В методологических тербованиях к математике рационалисты практически сходились с эмпиристами, так как оин также требовали от математических аксиом очевидности, наглядности, интуитивной ясности, хотя теперь уже от имени априорной чувственности. Синтез геометрических аксиом посредством чистой интуиции пространства трудно отличить в практической плоскости от требования выведения этих аксиом из наблюдения твердых тел или механических движений в пространстве.

           Таким образом, в начале XIX в. мы видим наличие двух диаметрально

противоположных воззрений на сущность математики и вместе с тем определенное единство в методологических требованиях: от математических истин требовали не только их строгой доказуемости, но еще и обязательной наглядности, непосредственной данности сознанию, интуитивной ясности того или иного рода. Возвращаясь к неевклидовым геометриям, нужно отметить, что хотя открытия в науке, как бы они не были велики, сами по себе не являются вкладом в философию, одноко существуют открытия, которые влекут за собой изменения вфилософии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с другими науками.

Неевклидовы геометрии – пример одного из таких открытий, чрезвычайно редких в истории науки. До построения неевклидовых геометрий к таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можно отнести только три события, а именно появления самой идеи математики как дедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин и открытие дифференциального исчисления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

          Математика – своеобразный способ теоретического описания действительности,область знания, имеющая свой особый статус в системе наук.

           Математика является наукой, стоящей как бы отдельно от всех других наук и в этом смысле она похожа с философией. Всеобщность этих двух наук, их взаимопроникновение друг в друга и взаимоиспользование ведет к развитию общества и все остальных, так называемых специальных наук. Подобно тому как философия развивалась, обретала новые направления и идей, так и математика становилась все более развитой и всеобщей наукой.

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

 

 

1.      Е.А.Беляев, В.Я.Перминов  «Философские и методологические проблемы

математики», МГУ, 2009, - 214 с.

2.      Сборник  научных трудов «Гносеологический  анализ математической

науки», Киев Наукова думка, 2009, -130 с.

3.      Е.Д.Гражданников  «Экстраполяционная прогностика», Новосибирск, 2005,

-142 с.

4.      Н.И.Жуков  «Философские проблемы математики», Минск, 1977, -95 с.

5.      А.Г.Спиркин  «Основы философии», Москва, 2010, 592 с.

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

Введение…………………………………………………………. ……….3

 Неевклидовы геометрии и развитие философии……………................4

Заключение………………………………………………………………..9

Список используемой литературы………………………………………10