Логика высказываний

Тезисы по теме «Логика высказываний»

 

Классическая (стандартная) символическая логика (логика высказываний и предикатов) возникла на рубеже XIX – XX вв. как результат реализации программы сведения математики к логике и формализации всей математики. В новой логике ее создатели видели главное средство изгнания парадоксов из теории множеств, доказательство непротиворечивости всей классической математики и ее полной независимости от психологических и опытных допущений. Ни одна из поставленных программных задач не была решена, но новая логика получила право на существование и стала развиваться по своим законам.

 

Допущения и основные определения и логики высказываний.

 

Логика высказываний основана на определенных базисных понятиях и допущениях. Исходным в ЛВ служит понятие высказывания.

Высказывание ЛВ – предложение, выражающее простое или сложное суждение.

Субъектно-предикатная структура высказываний в ЛВ не принимается во внимание как не имеющая никакого значения для формализации доказательств. Единственное свойство высказываний ЛВ, которое учитывается, – это  их способность быть истинными или ложными суждениями. Истину и ложь принято называть логическими значениями, или значениями истинности высказываний ЛВ.

Высказывание ЛВ истинно, если и только если истинно выражаемое им суждение. В противном случае высказывание ЛВ считается ложным.

 

Понятие исчисления, синтаксиса и семантики

логики высказываний.

 

В основе всей современной логики лежит идея создания универсального логического языка, позволяющего избавить человечество от мук творчества.

Попытка заменить творческий поиск рутинными преобразованиями символов – привела к созданию современной логики, которая по своей сути символическая. Её назначение выражает следующее определение.

Символическая логика – это теория исчислений.

Исчислением принято называть формальный алгоритм построения новых символических объектов из заданных. Знаки и правила оперирования с ними в каждом исчислении тщательно определяются. Каждый введенный знак имеет свой точный смысл. Каждое правило трактуется однозначно. Благодаря такой определенности удается точно выражать логическую структуру рассуждений, логические связи между ними, эффективно преобразовывать одни рассуждения в другие.

В качестве базиса в символической логике можно выделить логику высказываний и ее расширение – логику предикатов.

В связи с возникновением в силу разного рода причин новых логик в развитии символической логики наступил новый «плюралистический» этап. Все новые логические теории объединили под общим названием «неклассическая логика».

В состав классической символической логики входят:

1. Синтаксис – правила построения формализованного языка;
2. Семантика – правила интерпретации выражений построенного языка как осмысленных;
3. Правила вывода – правила, позволяющие из посылок умозаключений выводить необходимые следствия.

Эти части являются каноническими не только для классической, но и для всех неклассических логик. Отличают два вида логик друг от друга следующие два допущения:

1. Значение истинности неквантифицированных высказываний однозначно определяется значением истинности образующих их простых (атомарных) высказываний;
2. Высказывания, имеющие одно и то же расширение (один и тот же объем или одно и то же значение истинности), считаются эквивалентными.

Если логика выполняет два допущения, значит она классическая.

Как и любой другой, язык ЛВ имеет определенный алфавит и правила построения с его помощью последовательностей знаков, называемых (правильно построенными) формулами.

Синтаксис ЛВ – алфавит и правила, определяющие:

1. какие знаки входят в множество символов алфавита ЛВ;
2. какие последовательности знаков выступают (правильно построенными) формулами ЛВ.

Правильно построенная формула ЛВ – последовательность знаков, которая может быть интерпретирована в качестве истинного или ложного высказывания.

 

Алфавит ЛВ

 

1	Знаки для обозначения простых высказываний (атомарных формул) – прописные начальные буквы латинского алфавита	А, В, С…
2	Знаки для обозначения логических союзов
	2.1 Знак логического отрицания: «неверно, что»	¬
	2.2 Знак конъюнкции: «и»	&
	2.3 Знак слабой дизъюнкции: «или»	˅
	2.4 Знак импликации: «если…  то…»	ﬤ
	2.5 Знак эквивалентности: «если и только если»	≡
	2.6 Знак сильной дизъюнкции: «либо… либо…»	≠
3	Левая и правая скобки (для указания области действия логических союзов)	(,)
4	Запятая (для разделения формул в посылках)	,
5	Знак для обозначения отношения логического следования: «выводимо, следует»	├
6	Знак обозначения логической лжи и замкнутой ветви дерева формулы	▪
7	Иных знаков, кроме указанных в п. 1-6, в ЛВ нет.

 

Правила образования формул ЛВ

 

Пусть φ и ψ обозначают (мета)переменные, пробегающие через все высказывания ЛВ. Это означает, что вместо каждой из букв греческого алфавита можно подставлять любое простое или сложное высказывание.

В терминах заданного алфавита ЛВ конструируются формулы – символические эквиваленты простых и сложных высказываний, согласно следующему определению (см. таблицу)

 

1	Простые высказывания А, В, С… – формулы  ЛВ
2	Если φ – (не обязательно атомарная) формула, то ¬φ – тоже формула ЛВ
3	Если φ и ψ – (не обязательно атомарные) формулы, то высказывания (φ & ψ), (φ ˅ ψ), (φ ﬤ ψ), (φ ≡ ψ), (φ ≠ ψ) – тоже формулы ЛВ
4	4.1 Атомарные формулы ЛВ  со знаком отрицания или без  него в скобки не заключаются
	4.2 В каждой формуле ЛВ со скобками число левых и правых скобок должно быть одинаковым
5	Иных формул, указанных в п. 1-4, в ЛВ нет

 

Понятие подформулы.

 

Для определения того, какие последовательности знаков есть формулы ЛВ, введем понятие подформула.

Подформула – формула ЛВ, входящая в состав другой формулы ЛВ.

 

Главный логический союз.

 

В каждой неатомарной формуле есть логический союз, который считается главным. Выявить его не составляет труда, если в формуле он один.

Главный логический союз неатомарной формулы ЛВ – союз, который при построении вводится последним.

Для того, чтобы проверить, представляет ли последовательность знаков формулу ЛВ и какой логический союз в ней главный, необходимо создать дерево данной формулы. Оно формируется сверху вниз при помощи последовательного выписывания всех подформул, начиная с простых высказываний. Подчеркнутая формула означает, что она есть подформула формулы, написанной строчкой ниже. Количество «этажей» дерева формулы зависит от числа содержащихся в ней логических союзов.

 

Область действия логического союза.

 

Каждый логический союз имеет определенную область действия, в качестве которой выступают все подчиняющиеся ему подформулы. Очевидно, что область действия главного логического союза составляют все подформулы данной формулы ЛВ.

Область действия логического союза образуют все подформулы данной формулы ЛВ, которые она связывает.

Скобки можно также рассматривать в качестве указания на то, какое действие, обозначаемое тем или иным логическим союзом, следует выполнять первым, какое вторым и т. д.

 

Формализация высказываний.

 

Типичная синтаксическая задача – формализация высказываний. Алгоритм ее следующий. Сначала в анализируемом высказывании находят все простые высказывания. Каждое из них обозначается новым символом, если оно не эквивалентно ни одному из уже обозначенных. Затем определяют логические союзы, связывающие эти простые высказывания. Наконец конструируют формулу, в которой каждая атомарная формула обозначает некоторое простое высказывание, а сама она выражает логическую структуру формализуемого высказывания.

Любая формула остается не более чем последовательностью абстрактных знаков, если нельзя установить каков ее логический смысл. В ЛВ формула считается осмысленной, если ей можно приписать в качестве логического значения либо «истину», либо «ложь».

Интерпретацией формулы ЛВ называется такое приписывание значений истинности всем ее атомарным подформулам, при котором каждая из них получает значение «истина» или значение «ложь» (но не оба вместе).

Анализ понятий «истина», «ложь», «значение», «смысл», обоснование правил интерпретации формул – основные задачи семантики как общего раздела логики.

Семантика ЛВ – правила интерпретации формул ЛВ как осмысленных (истинных или ложных) высказываний.

 

Понятие правильно построенной формулы, простого и сложного высказывания, аргумента и функции истинности, таблицы истинности.

 

Правила интерпретации формул ЛВ.

 

Интерпретация произвольной формулы совершается в два этапа. На первом определяются значения истинности всех ее атомарных подформул. Для этого с каждой атомарной подформулой сопоставляется определенное простое высказывание. На втором этапе вычисляется значение истинности всей формулы по определенным правилам (таблицам истинности).

 

Правила интерпретации формул ЛВ

Каждой атомарной формуле интерпретируемой формулы находится соответствующее простое высказывание из универсума (области) интерпретации. Каждой атомарной формуле приписывается значение «истина» или «ложь» согласно тому, истинны или ложны выражаемые ими простые высказывания. Значение истинности всей интерпретируемой формулы ЛВ вычисляется как функция значений истинности всех ее атомарных формул (всех ее аргументов).

 

Логические союзы как функции истинности.

Таблицы истинности.

 

Логическим отрицанием формулы φ называется противоречащая ей формула ¬φ, которая истинна, если φ – ложна, и ложна, если φ – истинна.

Назовем таблицей истинности формулы φ функцию истинности φ от всех ее атомарных подформул. При этом формула φ может быть как простым, так и сложным высказыванием. Таблица истинности логического отрицания произвольной формулы φ имеет следующий вид (для наглядности указаны аргументы и значения каждой определяемой функции).

 

Аргумент φ	Значение ¬φ
Т F	F Т

Т обозначает истину, F – ложь.

 

Из таблицы следует, что логически отрицающие друг друга формулы не могут быть вместе ни истинны, ни ложны. Если одна из них истинна, то другая ложна, и наоборот.

Конъюнкцией формул φ и ψ называется формула (φ&ψ), которая истинна, если истинна как φ, так и ψ, и которая ложна во всех остальных случаях.

Таблица истинности конъюнкции двух произвольных формул  φ и ψ имеет следующий вид

 

Первый аргумент φ	Второй аргумент ψ	Значение функции (φ&ψ)
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

 

Каждая формула может быть либо истинной, либо ложной.

Слабой дизъюнкцией формул φ и ψ называется формула (φ˅ψ), которая истинна, если истинна хотя бы одна из них, и  которая ложна, когда ложны  как φ, так и ψ.

Таблица истинности слабой дизъюнкции двух произвольных формул  φ и ψ имеет следующий вид

 

Первый аргумент φ	Второй аргумент ψ	Значение функции (φ˅ψ)
T	T	T
T	F	Т
F	T	Т
F	F	F