Задача по "Экономико-математическому моделированию"

ЗАДАЧА

• Имеются выборочные данные по однородным предприятиям: энерговооруженность труда одного рабочего (квт /час) и выпуск готовой продукции (шт).
• ОПРЕДЕЛИТЬ:
• 1. Факторные и результативные признаки.
• 2. Провести исследование взаимосвязи энерговооруженности и выпуска готовой продукции.
• 3. Построить уравнение регрессии и вычислить коэффициент регрессии.
• 4. Построить графики практической и теоретической линии регрессии.
• 5. Определить форму связи и измерить тесноту связи.
• 6. Провести оценку адекватности.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

5 вариант.

	X	Y
1	5,5	15
2	6	10
3	6,5	20
4	7	25
5	7,5	30
ИТОГО Fт = 10,13

Решение:

1. (Х)  – факторным признаком является  энерговооруженность.

(Y)– результативным признаком является выпуск готовой продукции.

2. Исходные  данные поместим в следующую  таблицу.

Номер анализа	X	Y	(X –X̄)	(X – Х)²	X²	Y²	(XY)
1	5,5	15	-1	1	30,25	225	82,5
2	6	10	-0,5	0,25	36	100	60
3	6,5	20	0	0	42,25	400	130
4	7	25	0,5	0,25	49	625	175
5	7,5	30	1	1	56,25	900	225
ИТОГО	32,5	100		2,5	213,75	2250	672,5

3. Первичная  информация проверяется на однородность  по признаку-фактору с помощью  коэффициента вариации

• Проверка первичной информации на нормальность распределения с помощью правила «трех сигм». Сущность правила заключается в том, что в интервал «трех сигм» должны попасть факторные признаки. Те показатели, которые больше или меньше интервала «трех сигм», удаляются из таблицы.

В нашем примере  все единицы попадают в интервал «трех сигм».

 Для установления  факта наличия связи производится  аналитическая группировка по  признаку-фактору. Построить интервальный  ряд распределения.

При этом формула  для определения величины интервала  имеет следующий вид:

№	интервалы X	Номер анализа	Число анализов	Y	∑Y	Ȳ
1	5,5 - 6	1	1	15	15	15
2	6 – 6,5	2	1	10	10	10
3	6,5 - 7	3	1	20	20	20
4	7 – 7,5	4, 5	2	25, 30	55	27,5
ИТОГО	_	_	5	_	100	_

Построить эмпирическую линию связи. По оси абсцисс откладываются  значения интервалов факторного признака – (X) . По оси ординат откладываются значения средней величины результативного признак – (Ȳ).

Для измерения  степени тесноты связи используется линейный коэффициент связи:

связь высокая, так как r = 0,9, попадает в интервал связи (0,7 – 0,99).

Предположим, что между энерговооруженности  труда и выпуском готовой продукции  существует линейная корреляционная связь которую можно выразить уравнением прямой.

Для этого  составим новую таблицу.

№	X	Y	XY	X²	Y²	(Y – Ȳ)	(Y – Ȳ)²	Yx	(Y –Yx)	(Y – Yx)²
1	5,5	15	82,5	30,25	225	-5	25	11	4	16
2	6	10	60	36	100	-10	100	15,5	-5,5	30,25
3	6,5	20	130	42,25	400	0	0	20	0	0
4	7	25	175	49	625	5	25	24,5	0,5	0,25
5	7,5	30	225	56,25	900	10	100	29	1	1
∑	32,5	100	672,5	213,75	2250		250			47,5

Вычислим  параметры прямой Yx = a₀ + a₁X

с помощью  системы двух нормальных уравнений:

na₀ + a₁Σ(X) = Σ(Y)

    a₀∑(X) + a₁∑(X²) = ∑(XY)

5a₀ + 32,5a₁ = 100

32,5a₀ + 213,75a₁ = 672,5

Из первого  уравнения 5a₀ =100- 32,5a₁, a₀ =20- 6,5a₁. Подставим во второе уравнение системы 32,5* (20- 6,5a₁)+ 213,75a₁ = 672,5,

650- 211,25a₁+ 213,75a₁ = 672,5,

2,5а₁=22,5

а₁=9

а₀=20-6,5*9=-38,5

Конечное  уравнение Yx = -38,5 + 9(X)

В уравнении  регрессии коэффициент a₁ (коэффициент регрессии) показывает, что с увеличением энерговооруженности труда одного рабочего на  1 (квт/час)  выпуск готовой продукции возрастает на  9 шт.

Одним из важнейших  этапов исследования является измерение  тесноты связи. Для этого применяют  линейный коэффициент корреляции (r) и индекс корреляции (R). Индекс корреляции применяется для измерения тесноты связи между признаками при любой форме связи, как линейной, так и нелинейной.

Индекс корреляции равен квадрату коэффициента корреляции.  R = r²=0.81

Все показатели тесноты корреляционной связи показывают тесную связь между производительностью  труда и энерговооруженностью труда.

Можно сделать  заключение, что гипотеза о линейной форме связи подтверждена.

Проведем  оценку адекватности регрессионной  модели с помощью критерия Фишера.

Табличное значение критерия Фишера равно (Fт = 10,13). Эмпирическое значение критерия Фишера (Fэ = 12,79)сравниваем с табличным.

Если Fэ < Fт, то уравнение регрессии можно признать неадекватным.

Если  Fэ > Fт, то уравнение регрессии признается значимым. (12,79 >10,13).

Т. о. данная модель является адекватной.